On a aussi accès aux exposants de Lyapunov moyen pour la distribution canonique correspondant aux températures α : ∀i ∈ [[1,k]], hλiiα= h 1 t N X n=1 ln si(n)iclones (3.23)
On peut alors les utiliser pour mesurer l’énergie libre dynamique d’une autre façon. En effet, si la formule (3.22) est exacte dans la limite où le nombre de clones tend vers l’infini, elle n’est qu’approchée quand le nombre de clones est fini et la valeur qu’elle donne fluctue entre deux simulations. Une méthode alternative est d’utiliser l’intégration thermodynamique [87], qui est utilisée dans les simulations de dynamique moléculaire pour mesurer l’énergie libre. Elle repose sur l’égalité : hλiiα= 1 t Z(α, t) ∂ ∂αi Z(α, t) = ∂ ∂αi 1 tln Z(α, t) = ∂ ∂αi ϕ(α, t) (3.24)
On a donc accès au gradient de ϕ à partir des moyennes des exposants de Lyapunov pour α. On peut alors intégrer ce gradient (calculer sa circulation) sur un chemin γ allant de 0 à α. En utilisant le fait que ϕ(0) = 1
tlnh1i = 0, on obtient : ϕ(α, t) = Z γ:0→α ∇µ(α0, t) · dα0 = Z γ k X i=1 hλiiα0dα0i (3.25)
ce qui donne en général une bien meilleure (plus lisse) évaluation de l’énergie libre dynamique que la mesure directe (3.22) basée sur la fonction de partition, mais demande en contrepartie une connaissance fine de l’évolution de hλiiα en fonction de α.
3.5
Choix des paramètres
Lorsqu’on effectue une simulation de LWD, il y a trois paramètres à fixer : la température α, le nombre de clones Ncet l’amplitude du bruit ε. Comment les choisir ? On n’aurait pas ce problème
si on avait une mémoire et une puissance de calcul infini : on prendrait Nc = +∞ et ε = 0, et
on pourrait balayer tout l’espace des phases. Mais ce n’est malheureusement pas le cas, et on doit faire un compromis entre la vitesse de l’algorithme, la fidélité de la dynamique et la qualité de l’échantillonnage. En effet, on veut Nc le plus petit possible pour pouvoir faire la simulation
en un temps raisonnable, mais dans le même temps on veut que notre algorithme soit ergodique et trouve les structures qui maximisent notre fonction de partition, ce qui demande un grand nombre de clones. Il n’y a pas de solution idéale, et on doit adopter une approche pragmatique, basée sur une bonne connaissance de la physique du système et sur un grand nombre d’essais et d’ajustements des paramètres. Il faut notamment bien avoir en tête les conséquences d’un mauvais choix de paramètres.
Si la température α est trop grande, le système peut rester bloqué dans des trajectoires méta- stables, qui sont optimales localement mais pas globalement. Inversement, si elle est trop petite, la sélection peut ne pas être assez forte pour localiser une structure optimale mais très localisée spatialement, dans laquelle seul un clone va aller et ressortir très rapidement à cause du bruit. Le cas de l’amplitude du bruit est similaire. En effet, si ε est trop petit, les clones n’ont pas le temps de se différentier et le processus de sélection n’est pas efficace. Inversement, si le bruit
34 Chapitre 3. Dynamique biaisée par les Lyapunov (LWD)
est trop important, l’algorithme ne va pas pouvoir trouver des structures très localisées spatiale- ment, surtout si elles sont instables, et l’algorithme risque de rester bloqué dans le premier état métastable qu’il va localiser.
Pour finir, le nombre de clones dépend de ce que l’on veut observer. Généralement, un petit nombre de clones (Nc ' 100) sera suffisant pour isoler des trajectoires de chaoticité atypique,
alors qu’il faudra une population bien plus grande si l’on veut mesurer avec précision les exposants de Lyapunov moyens et l’énergie libre dynamique. Enfin, comme dans n’importe quelle simulation Monte-Carlo, la métastabilité peut poser problème. En effet, la population de clones peut rester bloquer dans un état métastable. Dans ce cas, il vaut mieux lancer plusieurs simulations en parallèle et moyenner µ(α,t) et les exposants de Lyapunov typiques sur toutes ces simulations plutôt que d’augmenter le nombre de clones.
Chapitre 4
Applications de la LWD
Dans le chapitre précédent, nous avons présenté la LWD, qui est un algorithme Monte-Carlo de dynamique des populations qui permet d’échantillonner les trajectoires avec les poids canoniques, et ainsi d’isoler des trajectoires de chaoticité atypique et de mesurer l’énergie libre dynamique. Cet algorithme a été utilisé pour étudier l’apparition du chaos dans l’application standard, la toile d’Arnold dans les systèmes presque intégrables, les solitons et les modes de respiration chaotiques dans la chaîne Fermi-Pasta-Ulam-Tsingou (FPU) [47] et la stabilité des points de Lagrange dans les systèmes gravitationnels [88]. Des algorithmes reposant sur le même principe mais utilisant une autre observable ont aussi été utilisés pour étudier une vaste gamme de problèmes [89], allant de la recherche de chemins réactionnels [90, 91] au calcul de la fonction de grandes déviations pour diverses observables dans des systèmes de particules en interaction [25,92–97].
Dans ce chapitre, nous allons présenter les systèmes qui ont été étudiés avec la LWD dans le cadre de cette thèse [88, 98]. Nous commencerons par deux particules dans un double puits. Ce sera l’occasion d’illustrer le fonctionnement de l’algorithme et de présenter sa capacité à trouver les variétés stables et instables émergeant d’un point col. Nous avons utilisé à cet effet une température distincte pour chacun des deux premiers exposants de Lyapunov. Alors que la généralisation de cet algorithme pour biaiser la dynamique avec plusieurs exposants de Lyapunov était mentionnée dans la thèse de Tailleur [99], elle n’avait jamais été implémentée auparavant. Stimulé par les travaux de Tailleur et Kurchan [47] lors de l’introduction de l’algorithme, nous avons approfondi l’étude de la chaîne FPU. Nous montrerons comment ce système réagit quand on le force à développer plusieurs exposants de Lyapunov anormalement grands. Nous observerons au passage des trajectoires où plusieurs modes de respiration chaotiques coexistent et se croisent sans s’absorber pour autant, ce qui semblait à priori impossible à observer [3].
Nous présenterons également la première mesure de l’énergie libre dynamique associée au plus grand exposant de Lyapunov dans ce système. Cette mesure, qui devrait s’accompagner d’une étude des effets de taille finie, est compatible avec une transition de phase dynamique entre des trajectoires très chaotiques, les modes de respiration chaotiques, et des trajectoires intégrables, les solitons. Les études de taille finie étant particulièrement difficile dans la chaîne FPU, nous nous tournerons ensuite vers une chaîne d’applications en forme de tente couplées.
36 Chapitre 4. Applications de la LWD −1.5 −1.0 −0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 q 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 V (q )
Figure 4.1– Représentation du potentiel V (q) = 14(q2− 1)2.
4.1
Deux particules dans un double puits
4.1.1
Variété invariante normalement hyperbolique
Les variétés invariantes normalement hyperboliques [100] (appelées NHIMs pour Normally Hy-
perbolic Invariant Manifolds) avec p directions instables sont des variétés invariantes de la dy-
namique dont les directions normales ont la structure d’un col avec exactement p directions instables. Ces structures peuvent être isolées avec la LWD. En effet, on constate que le clonage de la LWD avec α1= 1 compense exactement les dilatations de volume induites par l’évolution
temporelle pour les trajectoires quittant les cols avec une direction instable [101]. Le clonage stabilise donc la variété instable des NHIMs avec une direction instable, et l’algorithme la vi- site uniformément. De même, prendre αi = 1 pour i = {1, . . . ,k} stabilise la variété instable
des NHIMs avec k directions instables. Nous allons illustrer cette propriété de la LWD sur un système simple : deux particules dans un double puits.
4.1.2
Présentation du système
On considère un double puits décrit par le potentiel V (q) = 1 4(q
2
− 1)2. Les deux puits du
potentiel sont donc centrés en q = −1 et en q = 1 (voir la figure 4.1). Chaque particule i a deux degrés de liberté : sa position qi et son impulsion pi. Le système complet a donc quatre degrés
de liberté et son hamiltonien est
H(q, p) = X i=1,2 p2 i 2 +(q 2 i − 1)2 4 . (4.1)
Les équations du mouvement sont alors ˙qi= ∂H ∂pi = pi ˙pi= − ∂H ∂qi = −q i(q2i − 1) (4.2) Ce système a un point col avec deux directions instables, donné par q1 = p1 = q2 = p2 = 0,
ainsi que quatre points cols avec une direction instable, donnés respectivement par q1= p1= 0,