Des concepts et th´eor`emes principaux utiles pour notre d´efinition de

Cette sous-section d´ebute par le rappel de la d´efinition du concept d’´evolution viable.

Dans le cas d’un syst`eme contrˆol´e dont l’´evolution de l’´etat d´epend de cet ´etat, mais ´ega-lement d’actions ext´erieures maˆıtrisables, le sous-ensemble form´e des ´etats desquels part au moins une solution viable est appel´enoyau de viabilit´e. Ce sous-ensemble peut ˆetre ca-ract´eris´e par des conditions de tangentialit´e. Les probl`emes d’optimisation en horizon infini comme la fonction de temps de crise minimal peuvent ˆetre r´esolus par la d´etermination de noyaux de viabilit´e de syst`emes auxiliaires.

L’´evolution de l’´etat du syst`eme peut ´egalement ˆetre influenc´ee par des perturbations non

4Voir section1.3.

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maˆıtrisables. Ces perturbations peuvent ˆetre interpr´et´ees comme le fait d’une nature indiff´e-rente ou comme l’´ecart entre la dynamique r´eelle et la dynamique mod´elis´ee, dˆu `a nos igno-rances de certains comportements du syst`eme. Dans ce contexte non coop´eratif, le concept d’´etat viable qui suppose implicitement que tous les processus de r´egulation peuvent ˆetre choisis, n’a plus de sens. Le concept pertinent est celui de noyau discriminant qui peut

´egalement ˆetre caract´eris´e par des conditions de tangentialit´e. Les fonctions valeurs associ´ees

`a ces jeux diff´erentiels peuvent ˆetre calcul´ees `a l’aide de noyaux discriminants ou d’intersec-tions de noyaux de viabilit´e de syst`emes auxiliaires.

Le concept d’´evolution viable

Soit X ⊂ Rⁿ l’espace des ´etats du syst`eme. Les ´evolutions x(t) d´ecrivent l’´etat du syst`eme en fonction du tempst ∈R₊ := [0,+∞[.

Aubin (1991) d´efinit le concept d’´evolution viable dans un ensemble de contraintesK ⊂X [80].

D´efinition 2.1.3.1 La trajectoire d’une ´evolution viable est contenue dansK:

∀t ≥0, x(t)∈K. (2.1)

Etude d’un syst`eme contrˆol´e´

Description de la dynamique. L’´evolution de l’´etat du syst`eme d´epend de cet ´etat, mais elle peut ´egalement ˆetre influenc´ee par des actions ext´erieures appel´eescontrˆoles. Ces con-trˆoles sont appel´escommandeslorsqu’ils sont le fait d’acteurs our´egulonslorsque la source n’est pas vraiment identifi´ee. L’´evolution de l’´etat du syst`eme est donc gouvern´ee par un syst`eme dynamique de la forme :

( x⁰(t) =f(x(t), u(t)) (action)

u(t)∈U(x(t)) (retroaction) (2.2)

prenant en compte le fait que les diff´erents contrˆoles u qui peuvent intervenir au temps t appartiennent `a un ensemble U(x(t)) qui d´epend de l’´etat du syst`eme au temps t. Soit Y l’espace des contrˆoles, la correspondanceU : X Y d´ecrit les contraintes d´ependant de l’´etat sur les contrˆoles.

Partant d’un point initial donn´ex0, il peut exister plusieurs ´evolutions possibles correspondant aux diff´erents contrˆoles op´er´es au cours du tempst→u(t).

Une solution du syst`eme (2.2) est une ´evolution t → x(t)telle qu’il existe une fonction de

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contrˆole mesurablet →u(t)telle que les conditions de (2.2) soient v´erifi´ees presque partout.

La correspondanceS associe `a tout ´etat initialx ∈ Xle sous-ensemble S(x)⊂ C(0,∞;X) des solutions issues dex.

Nous aurons besoin de la d´efinition d’un syst`eme contrˆol´e Marchaud dans les ´enonc´es des th´eor`emes suivants :

D´efinition 2.1.3.2 SoientU : X Y etf : X ×Y → X. (U, f) est un syst`eme contrˆol´e Marchaud si Graph(U)est ferm´e,f est continue,f etU ont des croissances lin´eaires⁵ et les ensembles{f(x, u)|u∈U(x)}sont convexes pour toutx∈Dom⁶(U).

Caract´erisation d’un ensemble viable. Un ensemble K est viable si pour tout x ∈ K, il existe une solution de (2.2) partant dexet viable dansK. Intuitivement, un ensemble est viable s’il existe en chaque point de sa fronti`ere, une d´eriv´ee tangente `a ce sous-ensemble qui permet `a la trajectoire de rentrer `a l’int´erieur ou de poursuivre sur la fronti`ere.

La notion de tangentialit´e est d´efinie `a partir de celle de cˆone contingent⁷:

D´efinition 2.1.3.3 Le cˆone contingent `aK enxest l’ensemble T_K(x) :={v ∈X|lim inf

h→0⁺

d_k(x+hv)

h = 0}, (2.4)

o`ud<sub>K</sub>(y)est la distance dey `aKd´efinie par d_K(y) := inf

z∈Kky−zk.

5SoitF :X Xune correspondance. Notons kF(x)k:= sup

y∈F(x)

kyk,

F a une croissance lin´eaire s’il existe une constante positivectelle que

∀x∈Dom(F), kF(x)k ≤c(kxk+ 1).

Cette hypoth`ese ´evite l’explosion en temps fini des solutions puisqu’elles sont born´ees par une expo-nentielle.

6Le domaine d’une fonction multivoqueU est d´efini par

Dom(U) :={x∈X|U(x)6=∅}. (2.3)

.

7introduit par Georges Bouligand et Francesco Severi au d´ebut des ann´ees 1930.

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Sixappartient `a l’int´erieur deK, le cˆone contingent `aK enxen l’espaceX tout entier.

SiK est une vari´et´e diff´erentielle, le cˆone contingent co¨ıncide avec l’espace tangent et siK est convexe, il co¨ıncide avec l’espace tangent de l’analyse convexe.

Theor`eme 2.1.3.1 Soit(U, f)un syst`eme contrˆol´e Marchaud. SoitK ⊂Dom(U)ferm´e.

Alors K est viable pour le syst`eme contrˆol´e (2.2) si et seulement si la correspondance de r´egulationR_K d´efinie par

∀x∈K,R_K(x) := {u∈U(x)|f(x, u)∈T_K(x)} (2.5) a des valeurs non vides pour toutx∈K.

Caract´erisation du noyau de viabilit´e. SoitK ⊂ Dom(U), le noyau de viabilit´e de K pour le syst`eme contrˆol´e (2.2), not´e Viab(K), est le sous-ensemble des ´etats initiauxx<sub>0</sub> ∈K tels qu’il existe au moins une solutionx(.) ∈ S(x<sub>0</sub>)du syst`eme (2.2) partant de x₀et viable dansK.

Theor`eme 2.1.3.2 Soit(U, f)est un syst`eme contrˆol´e Marchaud. SoitK ⊂Dom(U)ferm´e.

Alors le noyau de viabilit´e deK existe et est ´egal au plus grand sous-ensemble ferm´e de K viable pour (2.2).

Les ´equilibres, les trajectoires de solutions p´eriodiques, les ensembles limites et les attrac-teurs, s’ils existent, sont contenus dans le noyau de viabilit´e.

Caract´erisation du noyau de viabilit´e d’ordre T. Le noyau de viabilit´e d’ordre T est l’ensemble des ´etatsx ∈ K tels qu’il existe au moins une solution de (2.2) partant de xet viable dansK pour toutt∈[0, T]. Il est not´e Viab(K, T).

Les deux th´eor`emes suivants montrent l’´equivalence entre les noyaux de viabilit´e d’ordreT et les ensembles de niveaux du noyau de viabilit´e d’un syst`eme auxiliaire.

Soit la fonction temps de sortie maximal d´efinie par τ_K^](x) := sup

x(.)∈S(x)

τ_K(x(.)) = sup

x(.)∈S(x)

inf{t ∈[0,∞[|x(t)∈/ K}.

Nous rappelons les d´efinitions d’´epigraphe et d’hypographe d’une fonction ´etendue (Fig.

2.1) :

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FIG. 2.1 – L’´epigraphe de la fonction ´etendueV : X → R∪ {+∞}est colori´e en gris dans la figure de gauche. L’hypographe de la fonction ´etendueV :X →R∪ {−∞}est colori´e en gris dans la figure de droite.

D´efinition 2.1.3.4 Une fonction ´etendue est une fonctionV :X →R∪ {+∞}.

Son domaine est l’ensemble des points o`uV est finie :

Dom(V) := {x∈X|V(x)6=∞}.

V est non triviale si son domaine n’est pas r´eduit `a l’ensemble vide.

Son ´epigraphe est d´efini par :

Ep(V) :={(x, λ)∈X×R|V(x)≤λ}.

L’hypographe d’une fonctionV :X →R∪ {−∞}est d´efini par : Hyp(V) :={(x, λ)∈X×R|V(x)≥λ}.

Theor`eme 2.1.3.3 Soit (U, f) un syst`eme contrˆol´e Marchaud et soit K ⊂ X ferm´e, alors pour toutT ≥0, les noyaux de viabilit´e d’ordreT sont caract´eris´es par :

Viab(K, T) ={x∈K|τ_K^](x)≥T}.

SoitF la correspondance d´efinie parF(x) := {f(x, u)|u∈U(x)}.

Associons `aF la correspondanceψ_F :K×R+ X×Rd´efinie par ψ_K(x, w) :=

(

F(x)× {−1} si w >0

co(F(x)∪ {0})×[−1,0] si w= 0. (2.6)

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Theor`eme 2.1.3.4 Supposons que (U, f) est un syst`eme contrˆol´e Marchaud et que K ⊂ Dom(U) est ferm´e, alors l’hypographe de la fonction temps de sortie maximal τ_K^] est la noyau de viabilit´e deK×R+pour la correspondanceψ_F :

Hyp(τ_K^]) = Viab_ψK(K×R+).

Probl`emes d’optimisation en horizon infini. Ces probl`emes sont ´etudi´es par Aubin et Frankowska (1996) [86]. L’objectif est de d´eterminer la fonction valeur associ´ee `a un probl`e-me d’optimisation en horizon infini. Nous rappelons la d´efinition de l’´epid´eriv´ee contingente avant d’´enoncer le th´eor`eme qui lie l’´epigraphe de la fonction valeur au noyau de viabilit´e d’un syst`eme auxiliaire.

D´efinition 2.1.3.5 SoitV :X →R∪ {+∞}une fonction ´etendue non triviale etx apparte-nant `a son domaine, l’´epid´eriv´ee contingenteD↑V(x)v´erifie

∀y∈X,D_↑V(x)(y) := lim inf

h→0⁺,y⁰→y

V(x+hy⁰)−V(x) h

et l’´epigraphe de l’´epid´eriv´ee contingenteD↑V(x)est ´egal au cˆone contingent `a l’´epigraphe deV en(x, V(x))

du probl`eme d’optimisation intertemporelle de la fonctionnelle actualis´ee Z ∞

t

e^atW(x(τ), u(τ))dτ

sur toutes les solutions(x(.), u(.))du syst`eme contrˆol´e (2.2) partant au tempstdex<sub>0</sub>. Le th´eor`eme suivant montre l’´equivalence entre l’´epigraphe de la fonction valeur du probl`eme d’optimisation intertemporelle et le noyau de viabilit´e de l’ensemble Dom(U)×R+

pour le syst`eme auxiliaire associ´e `a la correspondanceG:X×R X×R, d´efinie par G(x, w) := {(f(x, v), λ)|v ∈U(x)et

λ+aw ∈[−c(kxk+ 1),−W(x, v)]}. (2.7)

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Theor`eme 2.1.3.5 Supposons

– (U, f)est un syst`eme contrˆol´e Marchaud,

– W : (x, v) ∈ Graph(U) → W(x, v) ∈ R+ est une fonction semi-continue inf´erieure-ment, positive et convexe par rapport `av,

– ∃c >0tel que∀(x, v)∈Graph(U),W(x, v)≤c(kxk+ 1), – le domaineK :=Dom(U)est ferm´e,

alors,V(t, x)et la plus petite fonction semi-continue inf´erieurementVαv´erifiant : – la propri´et´e de monotonie :∀x₀ ∈Dom(V_α), il existe un solution du syst`eme contrˆol´e

(2.2) partant dex₀ `at = 0et satisfaisant seulement si c’est une solution optimale du probl`eme d’optimisation intertemporelle :

Z ∞

Dans ce cas, cette solution v´erifie le principe d’optimalit´e :

∀t ≥0,e^atV_α(ˆx(t)) =

alors, les solutions optimales au probl`eme d’optimisation intertemporelle sont gouvern´ees par la loi de r´egulation optimale,

pour presque toutt≥0, u(t)∈R_α(x(t)).

Exemple d’optimisation en horizon infini : la fonction temps de crise. La fonction temps de crise a ´et´e introduite par Doyen et Saint-Pierre (1997) [87]. Le temps de crise associ´e `a

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une ´evolution est le temps pass´e hors de l’ensemble des contraintes. Soit(U, f)un syst`eme contrˆol´e et, K, un ensemble de contraintes, tout point x ∈ X peut ˆetre caract´eris´e par le temps de crise minimal :

C_K(x) := inf

x(.)∈S(x)µ(t|x(t)∈/ K) (2.12)

avecµmesure de Lebesgue.

Le temps de crise minimal est la fonction valeur associ´ee `a un probl`eme d’optimisation en horizon infini :

le th´eor`eme suivant est un corollaire du th´eor`eme2.1.3.

Theor`eme 2.1.3.6 Si (U, f) un syst`eme contrˆol´e Marchaud et K ⊂ X ferm´e et v´erifiant K ∩ Dom(U) 6= ∅, alors l’´epigraphe de la fonction temps de crise C_K est le noyau de viabilit´e deX×R⁺pour la correspondanceG:

Ep(C_K) = Viab_G(X×R+).

Etude d’un jeu dynamique´

Description de la dynamique. Comme dans le cas d’un syst`eme contrˆol´e (2.2), l’´evolution de l’´etat du syst`emex(t)d´epend de cet ´etat et du contrˆoleu∈U(x(t)). Nous supposons, en outre, que cette ´evolution est influenc´ee par des perturbations p ∈ P(x(t)). Ces perturba-tions peuvent ˆetre interpr´et´ees comme le fait d’une nature ind´ependante et indiff´erente⁸, ou comme l’´ecart entre la dynamique r´eelle et la dynamique mod´elis´ee, dˆu `a nos ignorances de certains comportements du syst`eme. L’´evolution de l’´etat du syst`eme est donc gouvern´ee par un syst`eme dynamique de la forme :



prenant en compte le fait que, comme les contrˆoles, les diff´erentes perturbationspqui peuvent intervenir au tempst appartiennent `a un ensembleP(x(t))qui d´epend de l’´etat du syst`eme

8ces perturbations sont appel´eestychesdans [88, Aubin (1997)].

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au tempst.

Une solution du syst`eme (2.14) est une ´evolutiont → x(t)telle qu’il existe une fonction de contrˆolet →u(t)et une fonction associ´ee aux perturbationst→ p(t)mesurables telles que les conditions de (2.14) soient v´erifi´ees presque partout.

Les th´eor`emes suivants sont vrais pour des jeux dynamiquesMarchaud:

D´efinition 2.1.3.6 SoitU :X Y,P :X Zetc:X×Y ×Z →X,(U, P, c)est un jeu dynamique Marchaud si Graph(U)et Graph(P)sont ferm´es, les valeursU(x)etP(x)sont convexes,cest continue et convexe par rapport `auetp,U etP ont des croissances lin´eaires.

Caract´erisation d’un ensemble discriminant. NotonsP l’ensemble des s´elections conti-nuesx→p(x)˜ ∈P(x)de la correspondanceP qui est non vide lorsqueP est semi-continue inf´erieurement et `a valeurs convexes d’apr`es le th´eor`eme de Michael [89, Aubin et Fran-kowska (1990)].

Un ensembleK est discriminantsi pour toute s´election continue p(x)˜ ∈ P(x)et pour tout x∈K, il existe au moins une solutionx(.)v´erifiant

( x⁰(t) = c(x(t), u(t),p(x(t)))˜

u(t) ∈ U(x(t)) (2.15)

partant dexet viable dansK⁹.

Theor`eme 2.1.3.7 Soit(U, P, c)un jeu dynamique Marchaud. SoitK ⊂Dom(U)ferm´e.

Supposons que P est semi-continue inf´erieurement, alors K est un ensemble discriminant pour le jeu dynamique (2.14) si et seulement si la correspondance∆_K : Graph(P|_K) Y d´efinie par

∀(x, p)∈Graph(P|_K), ∆_K(x, p) :={u∈U(x)|c(x, u, p)∈T_K(x)} (2.16) a des valeurs non vides pour toutx∈K et toutp∈P(x).

Caract´erisation du noyau discriminant. SoitK ⊂Dom(U), le noyau discriminant deK pour le jeu dynamique (2.14), not´e Disc(K), est le plus grand sous-ensemble ferm´e de K discriminant pour (2.14).

Sous les hypoth`eses du th´eor`eme2.1.3.7, le noyau discriminant est un ensemble discriminant.

9Autrement dit,xviable dansK pour la dynamiquef(x, u) :=c(x, u,p(x)).˜

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La caract´erisation du noyau discriminant en tant que sous-ensemble d’´etats initiaux deK sa-tisfaisant une certaine propri´et´e est plus d´elicate que dans le cas du noyau de viabilit´e [90, Cardaliaguet (1994)].

Cardaliaguet (1994) lie les concepts de noyaux de viabilit´e et noyaux discriminants en pr´esentant les noyaux discriminants comme des intersections de noyaux de viabilit´e [90] :

Theor`eme 2.1.3.8 Supposons que le jeu dynamique(U, P, c)est Marchaud, queK ⊂Dom(U) est ferm´e et queP est semi-continue inf´erieurement. Posons

K₀ :=K et∀i≥0, K_i := \

Probl`emes d’optimisation en horizon infini. Dans le cas du syst`eme contrˆol´e, l’´epigraphe de la fonction valeur est le noyau de viabilit´e d’un syst`eme auxiliaire<sup>10</sup>. Pour un jeu diff´eren-tiel, l’objectif est de caract´eriser la fonction valeur en tant que noyau discriminant, autrement dit, en tant qu’intersection de noyaux de viabilit´e d’apr`es la th´eor`eme2.1.3.8.

Soit la fonction semi-continue inf´erieurement

W : (x, u, p)∈X×Y ×Z →W(x, u, p)∈R+

`a laquelle est associ´e le coˆut actualis´e en horizon temporel infini Z ∞

0

e^aτW(x(τ), u(τ), p(τ))dτ ∈[0,+∞].

L’objectif est de d´eterminer la fonction V qui v´erifie le crit`ere de monotonicit´e suivant appel´e monotonicit´e discriminante : pour toute s´election continuep(x)˜ ∈ P jou´ee par la na-ture et tout ´etatx₀ ∈Dom(V), il existe une solutionx(.)de (2.15) partant dex₀et monotone dans le sens

∀t≥0, e^atV_α(x(t))−V_α(x₀) + Z t

0

e^aτW(x(τ), u(τ),p(x(τ)))dτ˜ ≤0. (2.17) Les deux th´eor`emes suivants montrent l’´equivalence entre l’´epigraphe de cette fonction et le noyau discriminant de l’ensemble des contraintes Dom(U)∩Dom(P)×R⁺ pour le jeu

10Th´eor`eme2.1.3.5.

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dynamique d´efini par la correspondanceG:X×R X×R

G(x, w) := {(c(x, u, p), λ)|u∈U(x), p∈P(x)et

λ+aw ∈[−γ(kxk+ 1),−W(x, u, p)]}. (2.18) Theor`eme 2.1.3.9 Supposons

– (U, P, c)est un jeu dynamique Marchaud, – P est semi-continue inf´erieurement,

– W : (x, u, p) ∈ X × Y × Z → W(x, u, p) ∈ R+ est une fonction semi-continue inf´erieurement, positive et convexe par rapport `au,

– V :X →R+∪ {+∞}est une fonction ´etendue positive semi-continue inf´erieurement, – ∃γ >0tel que

( i)∀(x, u, p)∈X×Y ×Z, W(x, uγ, p)≤γ(kxk+ 1)

ii)∀x∈Dom(V), infu∈U(x), p∈P(x)D↑V(x)(c(x, u, p))≥ −γ(kxk+ 1) (2.19) Alors les deux propri´et´es suivantes sont ´equivalentes :

1. V poss`ede la propri´et´e de monotonicit´e discriminante.

2. V est une fonction discriminante : soit ∆_P : X × Z Y d´efinie pour (x, p) ∈ Graph(P)par

∆P(x, p) :={u∈U(x)|D↑V(x)(c(x, u, p)) +W(x, u, p) +aV(x)≤0}, alors

∀x∈X, ∀p∈P(x),∆_V(x, p)6=∅.

Si V ne satisfait aucune des conditions du th´eor`eme pr´ec´edente, il existe une plus petite fonction semi-continue inf´erieurement plus grande ou ´egale `aV satisfaisant la propri´et´e de monotonicit´e discriminante. Ce r´esultat est un corollaire du th´eor`eme2.1.3.8.

Theor`eme 2.1.3.10 Les hypoth`eses sont celles du th´eor`eme2.1.3.9. Partant d’une fonction semi-continue inf´erieurement non triviale V⁰ : X → R⁺ ∪ {+∞}, les fonctions V^j sont d´efinies par r´ecurrence :

V^j+1 := sup

p∈P˜

V_p,α˜^j ,

avecV_p,α˜^j plus petite fonction semi-continue inf´erieurement positive plus grande ou ´egale `a V<sup>j</sup> et monotone par rapport `aW(x, u,p(x))˜ pour le syst`eme (2.15).

Alors, la fonction semi-continue inf´erieurement V^∞ := sup

j≥0

V^j

est la plus petite fonction semi-continue inf´erieurement plus grande ou ´egale `aV satisfaisant la propri´et´e de monotonicit´e discriminante.

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