Conception d’impulsions radiofréquences

Différentes classes d’impulsions sont employées en imagerie par RMN, dépendant de l’application. Par exemple, les impulsions sinc et Shinnar-Leroux (SLR) sont privilégiées pour une sélection de coupe droite, et les impulsions adiabatiques pour la bascule de l’aimantation d’un angle précis, comme dans le cadre d’inversions ou de refocalisations. Dans ce qui suit, les outils de génération des impulsions employées dans ce manuscrit sont décrits. L’ensemble des impulsions seront centrées et définies par une ligne de temps normalisée τ = 2t/τRF− 1,

et d’amplitude maximale Bpic₁ .

Impulsions conventionnelles symétriques

CHAPITRE 2. IMAGERIE PAR RÉSONANCE MAGNÉTIQUE NUCLÉAIRE

• Une impulsion rectangulaire se définit par :

B₁BP(τ ) = B₁pic×    1 si |τ | < 1, 0 sinon. (2.43)

avec un profil spectral de type sinc, et T BW = 1,28.

• Une impulsion type sinc se définit, en posant Γ = T BW/4, par :

B₁sinc(τ, Γ) = B₁pic×    sin(Γ×2πτ ) Γ×2πτ si |τ | < 1, 0 sinon. (2.44)

avec un profil spectral idéal rectangulaire. Cependant, l’impulsion étant à support tem- porel fini, des lobes à l’extérieur de la bande passante peuvent apparaître. Une apodisa- tion par une fonction de type Hamming ou Hanning permet de limiter ce phénomène.

• Une impulsion gaussienne se définit par :

Bgauss₁ (τ, σ) = B₁pic      e−2σ2τ 2 si |τ | < 1, 0 sinon. (2.45)

Usuellement, cette impulsion est tronquée selon un paramètre δ tel que :

B₁gauss(τ = 0, σ) = B₁gauss(τ = τ_RF, σ) = B₁pic/δ, (2.46) avec τ_RF= 2σp

2 ln(δ).

Sous l’hypothèse d’un facteur de troncature δ suffisamment important (par exemple

δ > 100), l’effet de la troncature temporelle (convolution par une fonction sinc dans le

domaine fréquentiel) peut être négligé, et la transformée de Fourier de l’équation (2.45) est :

FT(B₁gauss) = B₁picσ√2πe−2(πσf )2, (2.47) fournissant alors une largeur à mi-hauteur FWHM = p

2 ln(2)/πσ. Ainsi, pour une impulsion gaussienne tronquée, T BW = τRF× FWHM = 4

p

ln(δ) ln(2)/π.

Impulsions Shinnar-Le Roux

Une des limitations des impulsions sinc, bien que capables de fournir une sélection de coupe qualitativement droite, provient du comportement du profil fréquentiel lors d’une commande d’angle de bascule élevé. En effet, la correspondance par transformation de Fourier entre profil spectral et profil temporel repose sur l’approximation d’un angle de bascule faible (< 30◦), 26

même si le comportement reste fidèle jusqu’à des angles d’environ 60◦. Néanmoins, ce point pose problème pour les excitations à angles élevés du fait que les profils de coupes se dégradent, tel que pour les saturations ou encore pour les inversions et les refocalisations sélectives.

Les impulsions SLR ont une forme pouvant s’apparenter à celles des impulsions sinc, mais leur conception est basée sur une méthode de synthèse de filtre [52]. Elles aboutissent à une robustesse remarquable en termes de qualité de sélection de coupe lorsque l’angle de bascule de l’impulsion atteint des valeurs élevées. Néanmoins, leur conception n’est pas aussi triviale que pour une impulsion sinc. En effet, une impulsion SLR répond à un cahier des charges pour une bascule de l’aimantation optimisée, et tient compte de la non-linéarité des équations de Bloch, aspect jusqu’ici négligé dans le cas de l’excitation aux petits angles.

L’impulsion est discrétisée en une série de sous-impulsions rectangulaires suffisamment courtes pour approximer la bascule globale d’angle θ par une série de sous-rotations instan- tanées, chacune d’entre elles étant suivies d’un temps de précession en présence de gradients :

Rtotal(θ, G, ∆t) = R(θ1)R(G, ∆t)...R(θN)R(G, ∆t), (2.48)

avec N le nombre de sous-impulsions composant l’impulsion, et R matrice de rotation. La rotation peut aussi s’exprimer par une représentation dans le « spin-domain » à partir des paramètres de Cayley-Klein, α et β, par la matrice :

QR= " α −β∗ β α∗ # , (2.49) sous la condition : αα∗+ ββ∗ = 1. (2.50)

Cette matrice de rotation est appliquée à un vecteur complexe nommé « spineur », ayant pour condition initiale s₀= [0 1]T.

Chaque terme peut s’exprimer à partir des angles d’Euler χ, ψ et η représentant la rotation dans l’espace, selon les notations de Goldstein [59], tel que :

α = ei(χ+ψ)/2cos(η/2), (2.51)

β = iei(χ−ψ)/2sin(η/2). (2.52)

Ainsi, l’application d’une impulsion rectangulaire se représente par une matrice de rota- tion, en négligeant les termes de relaxation, tel que :

    Mxy M_xy∗ Mz     + =     (α∗)2 −β2 _2α∗_β −(β∗)2 _α2 _2αβ∗ −(αβ)∗ _{−αβ αα}∗_{− ββ}∗         Mxy M_xy∗ Mz     − , (2.53)

CHAPITRE 2. IMAGERIE PAR RÉSONANCE MAGNÉTIQUE NUCLÉAIRE

où les exposants+ _et− _{désignent respectivement l’aimantation après et avant l’impulsion. Il}

est à noter que c’est à partir de la formalisation en équation (2.53) que la conception selon le type d’impulsion (excitation, refocalisation, etc.) débute puisqu’elle impose des contraintes sur α et β [52]. Par ailleurs, la décomposition en sous-impulsions rectangulaires de durée ∆t et d’amplitude |B_1,j| permet d’écrire :

θj = γ|B1,j|∆t, (2.54)

φj = arg(B1,j), (2.55)

avec θ_j la bascule d’une sous-impulsion, et φ_j sa phase.

Dans cette représentation, les angles d’Euler peuvent se simplifier par η_j = θ_j, χ_j = −ψ_j, et χj− ψj = φj. Il est alors possible de réduire la matrice de rotation d’une sous-impulsion

à :

QR,j =

"

cos(θ_j/2) ie−iφj_sin(θ

j/2)

ieiφj_sin(θ

j/2) cos(θj/2)

#

. (2.56)

Par ailleurs, l’effet de précession d’un temps ∆t après une sous-rotation peut se décrire, en présence d’un gradient de sélection de coupe ~G, par :

QP,j = QP = z1/2 " 1 0 0 z−1 # , (2.57) avec z = eiγ ~G·~r∆t.

Enfin, chaque sous-impulsion consiste en l’application successive des matrices de rotation et de précession, et l’impulsion totale se décrit par le spineur :

sN = N Y j<N QR,jQPs0, (2.58) se réduisant à la forme : sN = zN/2 " AN(z−1) BN(z−1) # , (2.59)

avec A_N et B_N deux polynômes d’ordre N − 1.

L’opération consistant à calculer l’impulsion totale à partir des polynômes est nommée « transformation de SLR ». Dans le cas de la génération d’une impulsion SLR, le problème est conceptualisé de façon inverse : les polynômes A_N et B_N sont définis, puis l’impulsion calculée récursivement par transformée de SLR inverse (SLR−1) par :

sj−1= z(j−1)/2 " Aj−1(z−1) Bj−1(z−1) # , (2.60) 28

avec : γ|B1,j∆t| = 2 × arctan Bj(0) Aj(0) ! , (2.61) φj = arg −i Bj(0) Aj(0) ! . (2.62)

Afin d’aboutir à l’impulsion B₁(t), une méthode par approche de synthèse de filtre pour la détermination des coefficients du polynôme B_N est employée, et la réponse fréquentielle correspond alors au profil de coupe désiré. Puis, le polynôme AN est déterminé afin de

respecter la condition de l’équation (2.50) par :

|A_N(z−1)| =q1 − B_N(z−1_)B∗

N(z−1). (2.63)

Enfin, la phase de AN(z−1) est le plus souvent calculée de façon à être minimale, et ainsi

minimiser l’énergie de l’impulsion résultante, selon :

AN(z−1) = |AN(z−1)|eiH(log(|AN(z −1_)|))

, (2.64)

avec H l’opérateur de transformée de Hilbert [60].

La synthèse du filtre est effectuée après définitions des paramètres T BW , de la bande de transition (F T W ), et D∞ la fonction représentant les taux d’oscillation admis dans les

bandes passantes (δ1) et atténuées (δ2), tel que :

T BW × F T W = D∞, (2.65)

avec :

D∞(δ1, δ2) = L2(a1L21+ a2L1+ a3) + a4L21+ a5L1+ a6, (2.66)

où L₁ = log(δ₁), L₂ = log(δ₂), et [a₁, · · · , a6] coefficients empiriques établis en [52].

À partir de ces paramètres, l’étape finale est effectuée par la synthèse d’un filtre à réponse impulsionnelle finie.

Impulsions adiabatiques

Les impulsions adiabatiques répondent à une nécessité de bascule précise et spatiale- ment uniforme de l’aimantation, en dépit des imperfections du champ RF. Diverses raisons peuvent occasionner une telle non-uniformité, comme le profil d’émission non-optimal (émis- sion par antenne de surface), ou encore des effets diélectriques induisant des interférences destructives dans le cas où la longueur d’onde de l’impulsion devient de l’ordre de la taille du volume imagé [61, 62]. Ces impulsions sont d’un grand intérêt dans le cas d’inversions et de refocalisations où la qualité du processus (e.g., écho de spin ou quantification T₁ par

CHAPITRE 2. IMAGERIE PAR RÉSONANCE MAGNÉTIQUE NUCLÉAIRE

inversion-récupération) dépend d’une bascule efficiente.

En lieu et place d’une bascule par un champ RF orienté de façon orthogonale à (Oz) et à la fréquence de résonance, il s’agit de considérer une impulsion modulée par une porteuse

ωRF(t) telle que :

~

B1(t) = B1e(t)e

−iωRF(t)t_e~0

x, (2.67)

En reprenant l’équation (2.14), le champ effectif dans le référentiel tournant est alors :

~ Bef f(t) = B1ee~0x+  B0− ωRF(t) γ  ~ e0 z, (2.68)

et l’angle entre l’axe (Oz) et ~Bef f(t) est noté :

ψ(t) = arctan   B₁e(t) B0−ωRF_γ(t)  . (2.69)

Ce formalisme redéfinit la bascule de l’aimantation dans la mesure où celle-ci va suivre le champ effectif ~Bef f(t) au cours du temps. Pour une inversion, une impulsion adiabatique doit

basculer l’aimantation de ψ(0) = 0 à ψ(τRF) = π, on parle alors d’une impulsion adiabatique

« full passage ». Une saturation bascule de ψ(0) = 0 à ψ(τ_RF) = π/2, et on parle alors d’une impulsion « half passage » [63]. Cet outil nécessite alors d’autres hypothèses d’optimalité, aussi appelée condition d’adiabadicité et définie par :

    dψ dt      γ| ~Bef f(t)|, (2.70)

traduisant un besoin d’une évolution suffisamment lente de l’aimantation pour suivre ~Bef f

lors de l’application de l’impulsion, ainsi qu’une amplitude suffisamment forte du champ RF. Ce dernier aspect représente le désavantage majeur des impulsions adiabatiques, puisque le seuil d’adiabadicité en terme d’amplitude maximale est le plus souvent élevé. De surcroît, elles possèdent souvent une sensibilité aux inhomogénéités de champ B₀, perturbant alors le champ ~Bef f appliqué.

Sur un imageur, il est usuellement plus aisé de moduler la phase de l’impulsion plutôt que la fréquence de résonance. Cette modulation est rendue possible en redéfinissant l’impulsion avec porteuse par :

B1(t) = B1e(t)e−iφ(t), (2.71)

avec φ(t) = ωRF(t)t.

Différentes classes d’impulsions adiabatiques existent comme les BIR [64], ou encore les Hyperbolic-Secant (HS) [65]. Cette dernière classe est majoritairement employée en tant

qu’impulsion d’inversion [66,67], et, avec τ = 2t/τ_RF− 1, est définie par :

B1(τ ) =

(

B₁picsech(βτ )n+iµ si |τ | < 1,

0 sinon , (2.72)

avec n l’ordre de l’impulsion HS, β = sech−1(1/δ) tel que |B₁(0)| = |B₁(τ_RF)| = B₁pic/δ (δ

paramètre de troncature), sech(x) = 2(ex+ e−x)−1 et µ = T BW × π/(2β).