Comsol Multiphysics - Modélisation du comportement biomécanique du disque intervertébral

Le logiciel COMSOL Multiphysics est un logiciel de calcul scientifique conçu pour la résolution des problèmes scientifiques par la méthode des éléments finis. Ce logiciel en-globe un module CAO pour la création des géométries, un environnement de modélisation physique comportant une base de données d’équations qui permettent la modélisation de plusieurs problèmes physiques, un environnement de calcul numérique et une interface d’af-fichage et de post-traitement des résultats.

La particularité de COMSOL Multiphysics est son aptitude à résoudre des modèles constitués de plusieurs problèmes physiques couplées entre elles par certains paramètres.

I.1 Principe de résolution

À tout problème à résoudre, COMSOL associe une EDP définie sur un domaine Ω continu ayant la forme générique suivante

eee_a^∂

2~u

∂t² + ddd_a^∂~^u

∂t +~∇. (−ccc : ∇∇∇(~u) − ααα.~u+ γγγ) + βββ : ∇∇∇(~u) + aaa.~u = ~f dans Ω ~N.(−ccc : ∇∇∇(~u) − ααα.u + γ) + +βββ : ∇∇∇(~u) + qqq.~u = ~g − hhh^T.µ sur ∂Ω

hhh.~u =~r sur ∂Ω Avec

~u le vecteur des inconnues eee_a le coefficient de masse d

dd_a le coefficient d’amortissement ccc le coefficient de diffusion α

αα le coefficient de flux convectif conser-vatif

γγ le terme source flux conservatif β ββ le coefficient de convection a aa le coefficient d’absorption ~f le terme source ~_N _{la normale sortante} q

qq le coefficient des conditions de Neu-mann

~g le terme source des conditions Neu-mann

h le coefficient des conditions de Diri-chlet

~r le terme source des conditions de Diri-chlet

Suivant le maillage choisi par l’utilisateur, COMSOL écrit cette équation dans chaque noeud en utilisant le vecteur de degrés de liberté U dont les composantes sont les valeurs des inconnues en chaque nœud. Le problème discrétisé est de la forme

~L_U,˙~_~U,¨_~U,t− NNN_F ~ U,t .~Λ =~0 vecM ~ U,t=~0 Avec

~L le vecteur résidu de l’équation N

NN_F la matrice jacobienne des forces des sollicitations ~

M le vecteur résidu des sollicitations

~Λ le vecteur discrétisé des multiplicateurs de Lagrange

Les valeurs de u en tout point d’un élément Ω^e sont calculées à l’aide des fonctions d’interpolation.

Les multiplicateurs de Lagrange sont des variables introduites pour que la résolution du problème respecte des contraintes physiques supplémentaires. C’est le cas lors de la résolution des système d’EDP par couplage fort.

I.2 Couplage fort et couplage faible

Pour résoudre les problèmes de couplage multi-physiques, Comsol dispose de deux mé-thodes de couplage : un couplage faible (ou ségrégé) et un couplage fort. Dans le couplage faible, les différentes équations du problème sont résolues séquentiellement. Pour chaque équation à résoudre, Comsol définit un vecteur d’inconnues et une matrice de rigidité. Dans le cas du couplage fort, les différentes équations sont résolues simultanément. Un seul vec-teur d’inconnues est défini dans ce type de couplage. Ce vecvec-teur contient l’ensemble des inconnues du système à résoudre. De la même manière, une seule matrice de rigidité global est définie et elle englobe tous les coefficients nécessaires pour la résolution. Comsol calcule un jacobien globale pour la résolution du système dans ce type de couplage.

Il est noté que pour la résolution d’un problème multiphysique, le couplage fort nécessite moins d’itérations mais prend plus de temps itération.

I.3 Linéarité des équations

Si les équations sont linéaires, c’est-à-dire si aucun coefficient de l’EDP ne dépend du vecteur des inconnues, la résolution se fait par un solveur linéaire.

La version utilisée du logiciel de calcul (COMSOL 5.3) dispose de 8 solveurs linéaires dont quatre sont directs et quatre sont itératifs. La différence des caractéristiques des solveurs per-met à l’utilisateur de trouver le meilleur compromis stabilité-mémoire adapté au problème.

Si au moins un des coefficients d’une EDP dépend du vecteur des inconnues ou de ses dérivées partielles, l’équation est dite non linéaire. Dans ce cas, Comsol utilise un solveur non linéaire qui applique l’algorithme de Newton pour linéariser le problème. Le système linéarisé est ensuite résolu par un solveur linéaire.

I.4 Dépendance au temps

Si les dérivées par rapport au temps du vecteur des inconnues sont nulles, COMSOL procède à une analyse stationnaire qui s’intéresse à la solution du problème à l’état d’équi-libre.

Dans le cas contraire, l’analyse du problème est temporelle. L’analyse temporelle consiste à suivre l’évolution de la solution du problème au cours du temps. Pour l’analyse temporelle d’un problème sur COMSOL, le solveur utilise par défaut un schéma de temps implicite basé selon le choix de l’utilisateur sur l’algorithme BDF (Backward differenciation formula) ou l’algorithme α-généralisé. Cependant, l’utilisateur peut choisir un schéma explicite basé sur l’algorithme de Range-Kutta.

L’algorithme BDF résout des problèmes à condition initiale, ou problème de Cauchy. La formule générale de cet algorithme s’écrit

∑

^(ak.y_n+k) = h.β. f (tn+s, y_n+s) Avec

β l’ordre de l’algorithme

a_k le coefficient choisi pour atteindre un ordre maximal s h le pas de temps

Pour les deux premiers ordres, la formule BDF s’écrit

— premier ordre (ou méthode d’Euler) correspond à β = 1; a₀= a₁= 1 y_n+1= y_n+ h. f (t_n+1, y_n+1)

— second ordre correspond à β = 2; a₀= 1, a₁= 4, a₂= 3 y_n+2= ⁴ 3^.yⁿ⁺¹⁺ 1 3^.yⁿ⁺ 2 3^{h. f (t}ⁿ⁺²^{, y}ⁿ⁺²⁾

Les cinq premiers ordres de l’algorithme BDF peuvent être utilisés sur COMSOL. Cet algorithme est stable mais il est caractérisé par des grandes effets d’amortissement numé-rique surtout pour les premiers ordres. Il est bien adapté aux des problèmes complexes et aux systèmes d’équations aux dérivées ordinaires (ODE).

L’algorithme α-généralisé a des propriétés similaires à un algorithme BDF de second ordre, mais il se caractérise par un paramètre α qui contrôle l’amortissement pour les grandes fréquences. Bien que cet algorithme soit moins stable que BDF, il est plus précis et cause moins d’amortissement. Cet algorithme est convenable pour les problèmes à grandes dissi-pations (acoustique, structure ...).

I.5 Critère de convergence

Le passage d’un pas de calcul au pas suivant est effectué après validation d’une condi-tion appelée critère de convergence.

Pour une analyse stationnaire le critère de convergence s’écrit s 1 n_ddl nddl

∑

i=1 |E_i| |U_i| 2 < R

Pour une analyse temporelle le critère de convergence est donné par v u u u u t 1 n_ddl n_ddl

∑

i=1   ~_E_i A_i+ R. _U~_i   2 < 1 Avec ~

U le vecteur approximation de la solution ~

E l’erreur estimée sur ce vecteur n_ddl le nombre de degrés de liberté

R la tolérance relative définie par l’utilisateur

Dans le document Modélisation du comportement biomécanique du disque intervertébral (Page 146-150)