Comportement des donn´ees num´eriques

Notre ´etude se situe dans le cadre d’une approche de champ moyen. Dans ce contexte, la valeur attendue pour les exposants critiques gouvernant l’annulation du param`etre d’ordre est 2 [Sta71]. Ceci est un r´esultat g´en´erique qui d´ecoule des propri´et´es d’analyticit´e des fonctionnelles de densit´e obtenues en champ moyen. Du fait de cette analyticit´e, les fonctions thermodynamiques peuvent s’exprimer comme des d´eveloppements de Taylor des observables. En effectuant un changement de variable pla¸cant un point critique au point 0 de l’espace des observables, `a l’approche de ce point les ordres sup´erieurs du d´eveloppement deviennent n´egligeables. La construction de la coexistence de phase peut finalement s’effectuer sur des polynˆomes pour lesquels seul l’ordre le plus bas pr´esentant les propri´et´es requises est conserv´e.

Consid´erons, en toute g´en´eralit´e, un syst`eme `a N observables {ak} associ´ees `a autant de pa- ram`etres intensifs {λk}. Pour un chemin tel que les param`etres {λk>1} sont fix´es, un ´eventuel ´equilibre de phase s’obtient par construction de Maxwell sur la courbe λ1(a1). La construction s’effectue si cette courbe pr´esente une r´egion d’inversion de pente. A l’approche du point critique, une courbe de cette forme finit par se r´eduire `a un polynˆome de degr´e 3. Avec le changement de variable appropri´e, la courbe λ1(a1) s’exprime alors comme une fonction impaire de la forme y(x) = cx + dx3 _{= x(c + dx}2_{), o`u les coefficients c et d d´ependent du chemin consid´er´e, c’est `a} dire de la valeur des param`etres intensifs {λk>1}. Si c et d sont de signe oppos´e, cette fonction pr´esente un renversement de pente se prˆetant `a la construction de Maxwell. Comme on a affaire `a une fonction impaire, les points correspondant `a cette construction sont donn´es par l’intersection de y(x) avec l’axe des abscisses de part et d’autre du point x = 0, c’est `a dire en x = ±p|c/d|. La distance entre les deux phases vaut donc δ = 2p|c/d|. Si l’on fait varier la valeur d’un des pa- ram`etres λk>1qui d´efinissent le chemin consid´er´e, le rapport c/d ´evolue de fa¸con analytique. Pour un d´eplacement infinit´esimal du chemin, cette ´evolution est lin´eaire. Sachant que la distance δ s’an- nule pour le chemin correspondant `a la valeur critique λc

k, on a la relation : c/d ∝ (λck− λk). Ainsi, `a l’approche du point critique, la distance entre les phases suit la loi de puissance δ ∝ |λc

k− λk|1/2, pour laquelle l’exposant critique vaut 2.

Par cons´equent, une ´etude au-del`a du champ moyen (par exemple une simulation num´erique de type gaz sur r´eseau) serait n´ecessaire pour mettre en ´evidence une ´eventuelle diff´erence entre les exposants critiques ββ et βµq.

Concernant notre approche, la connaissance du comportement critique en champ moyen consti- tue un test des r´esultats num´eriques obtenus pour la coexistence de phase. Deux m´ethodes diff´erentes ont ´et´e employ´ees pour ajuster les donn´ees num´eriques par des lois de puissance de la forme δ ∝λc

q− λq  1/βλ

. Pour la premi`ere, on supposait λcinconnu et un fit `a deux param`etres (λc et βλ) devait ˆetre effectu´e. La position du point critique ´etait alors donn´ee par l’annulation de δ suivant la loi de puissance obtenue. Cependant, pour un fit `a deux param`etres, la m´ethode des moindres carr´es peut dans ce cas aboutir `a une grande plage de r´esultats si ces param`etres sont fortement corr´el´es : or nous avons constat´e que c’est ici le cas. En effet, la surface corres- pondant `a l’´ecart quadratique obtenu dans le plan (λc, βλ) pr´esente un vall´ee ´etendue et non un minimum bien localis´e. Bien que compatible avec un exposant critique 2, le r´esultat restait essen- tiellement ind´etermin´e. Dans un second temps, le point critique a ´et´e d´etermin´e par une m´ethode ind´ependante (expos´ee dans la partie 4.1.4 ) et le fit ne portait alors plus que sur la valeur de l’exposant critique βλ.

Les r´esultats obtenus s’accordent avec la valeur d’exposant critique 2 attendue en champ moyen. C’est ce qui est montr´e sur les figures 4.17 et 4.18 pr´esentant les comportements critiques corres- pondant respectivement `a des valeurs fix´ees de β et de µn.

Remarquons pour finir que la connaissance du comportement critique en champ moyen fournit une m´ethode suppl´ementaire pour la d´etermination des points critiques. Il suffit en effet d’appliquer la d´emarche inverse `a celle qui vient d’ˆetre pr´esent´ee, c’est `a dire de fitter les donn´ees num´eriques de fa¸con `a d´eterminer le param`etre λc, pour une valeur de βλ fix´ee `a 2.

4.3.2 Comportement des donn´ees num´eriques 69

)

δ

ln (

)

µ

-

µ

ln (

Fig. <sub>4.17 – Traits pleins avec points : ´evolution `a temp´erature fix´ee de µ3 − µ3c en fonction</sub> de δ (distance s´eparant les deux phases `a l’´equilibre : voir texte) pour diff´erentes valeurs de la temp´erature : T = 10, 10.5, 11, 11.5, 12, 12.5, 13, 13.5, 14M eV . A l’approche des points critiques correspondants, les relations entre (µ3−µc3) et δ ob´eissent `a des lois de puissance avec un exposant critique ββ= 2. Ces lois de puissances forment les droites trac´ees en points-tirets.

)

δ

ln (

-T)

ln (T

Fig.<sub>4.18 – Points : ´evolution de T −Tcen function de δ (distance s´eparant les phases) `a l’approche</sub> des points critiques pour diff´erentes valeurs de µn fix´ees. Les points noirs sont espac´es d’un pas ∆T = 0.02M eV , et les cercles d’un pas ∆T = 0.1M eV . Les valeurs de µn choisies sont les valeurs critiques obtenues pour diff´erentes temp´eratures (correspondant alors `a Tc pour le chemin consid´er´e) : µn= µ<q(Tu), µ<q(T = 12M eV ), µ<q (T = 10M eV ). Les droites en traits pleins donnent les lois de puissances d’exposant βµ = 2 correspondantes.