Cas d’un syst`eme ` a deux fluides

Pour finir, ´evoquons bri`evement un cas simple de syst`eme `a deux fluides. En supposant une transformation de volume (expansion ou compression isotherme) appliqu´ee `a un fluide de Van der Waals additionn´e d’un gaz parfait, l’on obtient un autre exemple de cas o`u une transition d’ordre 1 conduit `a une ´evolution continue des observables. Ceci est illustr´e qualitativement par la figure 2.7.

Pour la transformation consid´er´ee, le nombre de particules de chacun des deux fluides est conserv´e : il en r´esulte une contrainte de proportion constante. Pour un fluide de Van der Waals pur, une ´evolution en volume pour une temp´erature sous-critique se traduit par une r´egion de coexistence, correspondant `a un plateau de pression pour la courbe P (V ). Pour un gaz parfait, il n’existe pas de transition de phase et la pression est toujours inversement proportionnelle au volume. Ainsi, lorsqu’on m´elange un fluide de Van der Waals (1) et un gaz parfait (2) de fa¸con `a fixer la proportion ρ1/ρ2, les pressions associ´ees `a chacun des deux fluides s’additionnent de telle sorte que le plateau caract´erisant la transition de phase du fluide (1) pur disparaˆıt. Il en r´esulte une ´evolution continue du volume V (P ), avec une rupture de pente en entr´ee et sortie de la r´egion de coexistence. C’est ce qu’illustre la partie gauche de la figure 2.7.

Ce comportement est encore une fois li´e `a la contrainte impos´ee `a un param`etre d’ordre. En effet, la densit´e ρ1 du fluide de Van der Waals est un param`etre d’ordre de la transition liquide gaz ; or sa valeur est li´ee `a celle de ρ2, dont l’´evolution est continue. Ainsi la contrainte ρ1/ρ2= constante supprime toute possibilit´e d’´evolution discontinue pour ρ1.

Afin d’avoir une repr´esentation claire du rˆole jou´e par cette contrainte, faisons apparaˆıtre le chemin particulier de la transformation qui lui correspond dans un espace non-contraint. Ceci consiste `a consid´erer les densit´es ρ1 et ρ2comme ind´ependantes, c’est `a dire `a prendre en compte une dimension suppl´ementaire dans l’espace des observables. Il en va de mˆeme pour l’espace des variables intensives associ´ees. Pla¸cons-nous dans l’ensemble grand-canonique tel que les valeurs moyennes de ρ1et ρ2sont contrˆol´ees par les param`etres intensifs α1et α2. La fonction de partition correspondante est not´ee ZV(β, α1, α2). En l’absence d’interaction entre les deux fluides, dans cet ensemble leurs contributions se factorisent de telle sorte que l’on a :

ln ZV(β, α1, α2) = ln ZV(1)(β, α1) + ln ZV(2)(β, α2) (2.76) avec Z_V(1) et Z_V(2) les fonctions de partition grand-canoniques pour chaque fluide pur. Chacune des densit´es ρ1 et ρ2 est donn´ee par la pente de ln ZV dans la direction correspondante, suivant l’´equation d’´etat :

ρi(β, αi) = ∂αiln ZV(β, α1, α2) (2.77)

La fonction ln ZV(β, α1, α2) est repr´esent´ee sur la partie droite de la figure 2, dans le plan (α1, α2) pour une valeur sous-critique de la temp´erature soit β > βc. Dans ces conditions, le fluide de Van der Waals pr´esente une transition liquide-gaz d’ordre 1. La surface obtenue poss`ede un pli, c’est `a dire une rupture de pente dans la direction α1 `a la valeur de transition (α1)t(β) (ind´ependamment de α2). Les valeurs moyennes ρ1 et ρ2 en chaque point (α1, α2) sont donn´ees par les pentes de cette surface. Nous voyons ainsi que ρ2 doit former une surface continue, et ρ1 pr´esenter un saut de part et d’autre de la ligne α1 = (α1)t(β). Nous avons repr´esent´e la valeur

2.4.3 Cas d’un syst`eme `a deux fluides 25 1

P

P

P

V

Van der Waals

Gaz parfait Mélange

/ V

ln Z

ρ

/ρ

Van der Waal + Gaz Parfait

Deux fluides :

Contrainte sur la proportion

Fig._{2.7 – Evolution continue d’une transformation portant sur un m´elange de deux fluides (1) et} (2) en proportion ρ1/ρ2constante. La temp´erature est fix´ee de telle sorte que le fluide de Van der Waals (1) pr´esente une transition de phase d’ordre 1. Le fuide (2) est un gaz parfait, ne donnant lieu `a aucune singularit´e. A gauche : disparition du plateau de pression due `a la somme des deux contributions. A droite : repr´esentation du chemin suivi par une transformation ρ1/ρ2= constante, correspondant `a la contrainte d’un param`etre d’ordre de la transition (voir texte).

r´esultante du rapport ρ1/ρ2. A cause de la discontinuit´e de ρ1, ce rapport prend ´egalement des valeurs distinctes de part et d’autre de chaque point de transition : il s’agit d’un param`etre d’ordre. Lorsque l’on ´etudie un syst`eme pour lequel le nombre de particules de chaque esp`ece est fix´e, on impose la constance du param`etre d’ordre ρ1/ρ2. Par cons´equent, si dans une transformation de volume la ligne de coexistence est atteinte, elle ne peut ˆetre travers´ee en un point mais doit ˆetre long´ee jusqu’`a ce que la valeur fix´ee de la proportion des fluides rejoigne celle d’une phase pure. C’est ce qu’illustre le chemin trac´e sur les surfaces ln ZV(β, α1, α2) et ρ1/ρ2(β, α1, α2) de la figure 2.7.

Ainsi, la discontinuit´e li´ee `a une transition d’ordre 1 ne se retrouve pas n´ecessairement dans l’´evolution des observables lors d’une transformation thermodynamique mettant en jeu une telle transition. En particulier, cette ´evolution est n´ecessairement continue lorsqu’une loi de conservation s’applique `a l’un des param`etres d’ordre de la transition. Nous en discuterons les cons´equences pour la mati`ere nucl´eaire dans le chapˆıtre 4.

Chapitre 3

Thermodynamique de la mati`ere

nucl´eaire

L’´etude de la transition de type liquide-gaz que pr´esente la mati`ere nucl´eaire passe par l’expres- sion des fonctions thermodynamiques n´ecessaires `a la description d’un ensemble de nucl´eons. Ce chapˆıtre expose comment peut se formuler une telle description. Pour commencer, nous introdui- sons l’approche de champ moyen : cette approximation permet de traiter le syst`eme en interaction comme un ensemble de particules ind´ependantes. En utilisant ensuite pour mod´eliser l’interac- tion entre nucl´eons une interaction effective de type Skyrme, nous obtenons l’´energie moyenne du syst`eme sous forme d’une fonctionnelle de la matrice densit´e `a un corps. Il est alors possible d’´etudier la statistique de la mati`ere nucl´eaire de fa¸con analogue `a celle d’un gaz de Fermi. Le formalisme grand-canonique en permet une approche simple qui, dans le cadre de la limite ther- modynamique, donne acc`es de fa¸con ´equivalente aux diff´erents ensembles statistiques.

3.1

Approche de champ moyen

L’approximation de champ moyen consiste `a d´ecrire un syst`eme de particules en interaction mutuelle comme un ensemble de particules ind´ependantes plong´ees dans un potentiel, donn´e par l’op´erateur de champ moyen ˆW .