Loi de comportement

Les lois de comportement permettent d’exprimer les contraintes en fonction des d´eformations pour un milieu donn´e. Dans la croˆute sup´erieure, le comportement des mat´eriaux `a basse pres-sion ( 0 - 1 MPa) et basse temp´erature (0 - 300➦C) implique des mod`eles de type ´elastique ou ´elastoplastique. A haute pression et haute temp´erature, comme c’est la cas dans la croˆute inf´erieure, les mod`eles s’appuient g´en´eralement sur une loi de type visco´elastique (Figure 4.1). Pour notre ´etude, nous utiliserons les mod`eles ´elastiques qui ont l’avantage d’ˆetre moins coˆuteux en temps de calcul et permettent de tester rapidement diff´erents param`etres. Nous nous baserons aussi sur une mod´elisation de type ´elastoplastique car nous limiterons l’´etude de la d´eformation `a la croˆute sup´erieure.

Figure 4.1 – Enveloppe rh´eologique d’une lithosph`ere continentale. La croˆute sup´erieure et la partie sup´erieure du manteau lithosph´erique ont un comportement cassant (fragile) alors que la croˆute inf´erieure et le manteau profond sont ductiles. Le comportement cassant est r´egi par les lois d’´elasticit´e (parties en gris) jusqu’au seuil de plasticit´e (droite passant par 0). Le comportement ductile est d´ecrit par des lois de visco´elasticit´e (Ranalli, 1995).

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Rh´eologie ´elastique

A faible pression (0 - 0,5 MPa) et basse temp´erature (0➦C - 100➦C), les roches ont un comportement approximativement ´elastique qui suit une relation lin´eaire entre la contrainte et la d´eformation, celle-ci ´etant instantan´ee et r´eversible (Ranalli, 1995) (Figure 4.2). La loi de comportement ´elastique, dite loi de Hooke, s’´ecrit :

σij = Cijkl· ǫkl (4.7)

o`u σij et ǫkl repr´esentent les tenseurs sym´etriques des contraintes et des d´eformations respectivement, et Cijkl les ´el´ements de la matrice de rigidit´e.

Figure 4.2 – Evolution de la d´eformation en fonction de la contrainte pour diff´erents types de rh´eologie, d’apr`es Dubois (2006). (1) ´elastique pur avec rupture ; (2) visco´elastique ; (3) ´elastoplastique id´eal (sans ´ecrouissage) ; (4) ´elastoplastique avec rupture ; (5) ´elastoplastique avec ´ecrouissage positif ou durcissement (augmentation de la contrainte avec la d´eformation).

Une roche dont la rh´eologie est ´elastique jusqu’`a sa rupture est dite fragile (cas 1 de la figure 4.2). A la diff´erence, une roche ductile subit, `a partir d’un seuil de contrainte, une d´eformation irr´eversible avant son ´eventuelle rupture (cas 4 de la figure 4.2). La d´eformation

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est permanente mˆeme apr`es le relˆachement de la contrainte. Elle est due `a la cr´eation de dislocations dans le r´eseau cristallin `a l’´echelle atomique.

Rh´eologie ´elastoplastique

Avec l’augmentation de la pression (0,5 - 1 MPa) et de la temp´erature (100➦C - 350➦C), la rh´eologie des roches devient ´elastoplastique. Les lois de comportement utilis´ees sont celles d’un solide ´elastique parfaitement plastique (non ´ecrouissable). Le mod`ele analogique le plus simple est celui de Saint-Venant (Ranalli, 1995). Il correspond `a celui d’un ressort lin´eaire et d’un patin en s´erie (Figure 4.3). Le solide se comporte de mani`ere ´elastique tant que le seuil σsn’est pas atteint. Au-dessus de ce seuil, une partie de la d´eformation devient irr´eversible et un ´ecoulement plastique s’´etablit en fonction de la composante d´eviatorique de la contrainte, selon un crit`ere de plasticit´e. Ce comportement est simplifi´e par rapport `a celui des roches car la contrainte n’´evolue plus au del`a du seuil. En effet, en m´ecanique des roches, les ph´enom`enes d’´ecrouissage positif (durcissement) ou n´egatif (adoucissement) sont `a prendre en compte.

Figure 4.3 – Mod`ele analogique de Saint-Venant repr´esentant la rh´eologie ´elastoplastique non ´ecrouissable. Sous la contrainte σ, le solide se d´eforme de fa¸con ´elastique jusqu’`a ce que le seuil σs

soit atteint, marquant le d´ebut de la d´eformation plastique. A droite : ´evolution de la d´eformation (ǫ) en fonction de la contrainte (σ).

Il existe plusieurs crit`eres qui rendent compte de diff´erents type de plasticit´e. Les crit`eres ne faisant pas intervenir la pression hydrostatique sont ceux de :

❼ Tresca, qui consid`ere que l’´ecoulement plastique se produit lorsque la diff´erence de contrainte maximum atteint une valeur critique qui d´epend des param`etres rh´eologiques du milieu.

❼ von Mises, o`u le seuil est constant et ind´ependant de la pression. Les crit`eres sensibles `a la pression hydrostatique sont ceux de :

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❼ Mohr-Coulomb, qui consid`ere que la limite d’´elasticit´e est atteinte de fa¸con lin´eaire lorsque le cisaillement sur la surface d’un solide atteint une valeur seuil qui d´epend de la contrainte normale appliqu´ee `a cette mˆeme surface (Hibbitt et al., 1998).

❼ Drucker-Prager, qui consid`ere que le seuil de plasticit´e ´evolue en fonction de la contrainte moyenne. Ce crit`ere permet de traduire l’augmentation de la r´esistance des roches en fonction de l’accroissement de la pression de confinement (Jaeger & Cook, 1979; Ver-nant, 2003).

Nous utiliserons le crit`ere de Mohr-Coulomb, de type friction interne, qui a l’avantage de caract´eriser le comportement des mat´eriaux tels que les roches, sables et c´eramiques. Le crit`ere est bas´e sur le cercle de Mohr qui repr´esente, dans le plan des contraintes principales maximale (σ1) et minimale (σ3), l’´etat de la contrainte lors de la rupture. La ligne de rupture est d´efinie par la tangente au cercle de Mohr (Figure 4.4).

Figure 4.4 – Mod`ele de rupture de Mohr-Coulomb. Tout point du cercle repr´esente l’´etat des contraintes sur un plan dont la normale forme un angle θ avec la direction de la contrainte prin-cipale maximale. La droite repr´esente la ligne de rupture. Le vecteur S est la contrainte cisaillante maximale. σm est la moyenne des contraintes maximale et minimale, donc le centre du cercle. φ : angle de friction interne caract´erisant la rupture ; c : coh´esion du mat´eriau.

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Le mod`ele de Mohr-Coulomb est d´efini par :

τ = c − σ tan φ (4.8)

o`u τ est la contrainte cisaillante, c la coh´esion du mat´eriau, σ la contrainte normale, et φ l’angle de friction interne. Pour plus de d´etails sur la rh´eologie des roches et la m´ecanique des mat´eriaux solides, on pourra se r´ef´erer aux ouvrages de r´ef´erence tels que ceux de Jaeger & Cook (1979), Lemaitre & Chaboche (1985) et Ranalli (1995).

Loi de frottement

Les failles sont simul´ees par des discontinuit´es sur lesquelles est appliqu´ee la loi de Cou-lomb, d´efinie par :

τcrit = µσn (4.9)

o`u τcrit est la contrainte cisaillante critique, σn la contrainte normale `a la faille et µ le coefficient de friction. La contrainte normale est transmise int´egralement et uniquement lorsque les deux surfaces sont en contact le long de la faille.