3.7 Comparaison de la VCA avec un calcul en champ moyen
3.7.2 Comparaison avec la VCA
On pose cette quantité égale à zéro, pour en trouver les extremums. Cela nous donne :
$ valeur physique du paramètre d’ordre M pour le système décrit.
3.7.2 Comparaison avec la VCA
Voyons comment se comparent les résultats obtenus par la méthode de champ moyen.
avec ceux obtenus par la méthode VCA. La figure 3.8 présente les résultats de calculs du paramètre d’ordre antiferromagnétique en fonction de l’interactionU, effectués à l’aide de la méthode de champ moyen, pour différentes valeurs d’anistropie. La figure 3.9 présente ce même calcul, effectué cette fois à l’aide de la méthode de VCA.
64 Chapitre 3 : Méthodologie On constate en premier lieu que les courbes correspondant à des systèmes d’anisotro-pies différentes sont beaucoup plus similaires entre elles dans le cas du calcul en champ moyen que dans le cas du calcul VCA. En effet, alors que les courbes champ moyen pla-fonnent toutes à une même valeur maximale de 1.0 avec l’accroissement de l’interaction U, et sont pratiquement superposées les unes autres, elles atteignent des plateaux dis-tincts dans le cas de la VCA, avec des valeurs variant de 0.275 à 0.875.
Pour ce qui est du comportement lorsque l’interaction tend vers zéro, on constate que les courbes plongent plus doucement vers zéro dans le cas du calcul VCA que dans le cas du calcul réalisé par champ moyen. Mentionnons par ailleurs, dans le cas du calcul VCA, l’existence d’un seuil critique deU pour les valeurs de ty >1. Dans un système à emboî-tement parfait comme celui-ci (demi-remplissage), on s’attendrait à ce que le U critique soit soit nul pour toute valeur de ty (pas de seuil). Par conséquent, le seuil observé ici est probablement le fait d’un effet de taille finie de l’amas.
0.3
Figure 3.8 – Paramètre d’ordre antiferromagnétique, selon U, calculé avec la méthode de champ moyen. Les plateaux atteints par les courbes se poursuivent pour U >10.
Comparons maintenant les résultats obtenus par les deux méthodes pour le calcul du paramètre d’ordre antiferromagnétique en fonction de l’anisotropie. Les figures 3.10 et 3.11 présentent visuellement les résultats obtenus.
On constate en premier lieu, qu’avec le calcul en champ moyen, la variation de l’aniso-tropie cause beaucoup moins de variation dans l’amplitude du paramètre d’ordre qu’avec
§3.7. Comparaison de la VCA avec un calcul en champ moyen 65
Figure 3.9 – Paramètre d’ordre antiferromagnétique, selon U, calculé avec la méthode VCA sur un amas de taille 2x4. Les plateaux atteints par les courbes se poursuivent pour U >10.
Figure3.10 – Paramètre d’ordre antiferromagnétique, selon ty, calculé avec la méthode de champ moyen
le calcul VCA. Alors que pour le champ moyen, entre ty = 0.2 et ty = 1.0, la valeur du paramètre d’ordre varie au maximum (pour U=2.0) d’environ 0.1, elle varie de 2.5 et plus pour toutes les courbes réalisées grâce à la VCA. Cela confirme explicitement que la VCA est plus sensible aux changements d’anisotropie que le champ moyen utilisé.
On constate également que, pour le champs moyen, l’amplitude maximale atteinte par le paramètre d’ordre est similaire pour les courbes U = 6.0 àU = 14.0 et que seules les courbes U = 4.0 (à peine toutefois) et U = 2.0 se distinguent sensiblement par des
66 Chapitre 3 : Méthodologie
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
Para. d’ordre |<AF>|
Anisotropie ty
(AF), U=2.0 (AF), U=4.0 (AF), U=6.0 (AF), U=8.0 (AF), U=10.0 (AF), U=12.0 (AF), U=14.0
Figure3.11 – Paramètre d’ordre antiferromagnétique, selon ty, calculé avec la méthode VCA sur un amas de taille 2x4
valeurs maximales plus basses pour le paramètre d’ordre. Pour la VCA, on trouve un comportement similaire àty = 0.2 mais au fur et à mesure que l’anisotropie diminue (ie.
que ty tend vers 1.0), les courbes s’espacent et tendent vers des plateaux d’amplitudes différentes.
Une autre différence est marquante entre les deux méthodes de calcul : alors que dans le cas du champ moyen les courbes deviennent des plateaux pour ty tendant vers zéro, les plateaux se manifestent pour ty tendant vers 1.0 dans le cas de la VCA.
Puisque l’on est en droit de s’attendre à ce qu’un système isotrope favorise davantage la présence d’antiferromagnétisme qu’un système anisotrope, on peut conclure que les résultats obtenus par VCA s’approchent davantage de la réalité que ceux obtenus par champ moyen. Il y a donc une plus-value substantielle à utiliser la méthode VCA plutôt que la méthode de champ moyen.
Chapitre 4
Résultats
Au chapitre 2, nous avons expliqué en détail comment le modèle de Hubbard sera utilisé pour décrire les matériaux de la famille des sels de Bechgaard ou, de manière plus générale, les composés quasi-unidimensionnels. Au chapitre 3, nous avons vu comment la méthode VCA peut résoudre le modèle de Hubbard décrit au chapitre 2 et permettre le calcul d’observables caractérisant la présence d’onde densité de spin ou de supraconduc-tivité dans les solutions.
Dans le présent chapitre, nous verrons en détail quels calculs ont été effectués et quels résultats ont été obtenus. Pour ce faire, nous débuterons par une discussion générale sur les paramètres qui s’offrent à nous au moment d’effectuer les calculs et sur les choix qui ont été effectués. Nous poursuivrons par une analyse des résultats obtenus à anisotropie fixe, pour différentes valeurs de l’interaction U, et verrons à quel diagramme de phase pression-température cela conduit. Nous analyserons ensuite comment une variation du degré d’anisotropie du système avantage/désavantage la présence d’onde densité de spin et de supraconductivité dans le système.
67
68 Chapitre 4 : Résultats