Commande cin´ematique

La plupart des commandes vues jusque l`a sont des commandes cin´ematiques [Espiau92, Malis99, Corke01] : les auteurs partent du principe que le robot peut ˆetre mod´elis´e par un int´egrateur pur. En d’autres termes, les effets dynamiques tels que les flexibilit´es ou les retards sont n´eglig´es. La raison en est que le but de ces commandes n’est pas la rapidit´e mais la robustesse : l’objectif est, en partant d’une image initiale, d’arriver `a coup sˆur `a l’image de r´ef´erence en garantissant la constante visibilit´e des primitives dans l’image et une trajectoire du manipulateur r´ealisable en pratique. Le gain est r´egl´e de mani`ere `a ce que le robot se d´eplace relativement lentement par rapport `a ses possibilit´es maximales et donc son comportement dynamique peut ˆetre simplifi´e.

Nous d´etaillons dans ce qui suit 2 types de commandes cin´ematiques : la 3D et la 2D. Pour ce qui est des commandes hybrides, comme le 2D1/2, nous invitons le lecteur

`a se r´ef´erer aux publications correspondantes.

Figure 1.7 – Commande cin´ematique 3D.

Commande cin´ematque 3D

Le but de l’asservissement est d’amener le robot de la position courante pˆ vers la position d´esir´ee p^∗ par rapport `a la cible (voir figure 1.7). Soit pˆle vecteur de mesure :

ˆ p=

_ct_co

cr_c∗c

o`u <sup>c</sup>t<sub>co</sub> est le vecteur de translation entre le rep`ere cam´era courantRc et le rep`ere li´e `a l’objet Ro exprim´e dans Rc. Le vecteur ^cr_c∗c repr´esente les coordonn´ees dans Rc de la rotation entre le rep`ere cam´era d´esir´eR^∗_c etRc. D’autre partp^∗est la valeur de r´ef´erence du vecteur de mesure :

p^∗ = _c∗

t_c∗o O_3×1

o`u ^c∗t_c∗o est la translation d´esir´ee entre R_c^∗ et Ro exprim´ee dans R^∗_c. Pour la partie rotation, lorsque pˆ=p^∗ on a bien^cr_c∗c =O_3×1.

Soit e la fonction de tˆache d´efinie par e = ˆp−p^∗. La matrice d’interaction L^T_p qui relie la d´eriv´ee temporelle de la mesure pˆau torseur cin´ematique T du rep`ere cam´era est donn´ee par :

L^T_p =

−I3 [^ct_co]×

O₃ L^T_r

avec L^T_r, le Jacobien 3×3 reliant les vitesses des coordonn´ees de la rotation ^cr_c∗c aux coordonn´ees du vecteur vitesse de rotation du rep`ere cam´era (les 3 derni`eres coordonn´ees de T). Dans le cas particulier o`u on utilise la d´ecomposition angle/axe uθ pour la

rotation, on a (voir [Malis98]) :

avec k, un r´eel positif qui est le gain de l’asservissement et Lˆ^T_p une estimation de L^T_p connue aux erreurs de mod´elisation pr`es. Si on suppose que le robot r´eagit instan-tan´ement et sans dynamique, on a p˙ˆ=L^T_pT^c. Ore˙= ˙ˆp−p˙^∗ = ˙ˆp=L^T_pT^c. En injectant (1.2) dans cette ´equation et en supposant que L^T_p est parfaitement connue, on obtient

˙

e =−ke donc e(t) = e(0)e^−kt o`u e(0) est la valeur de la fonction de tˆache `a l’instant t = 0.

Finalement, on en d´eduit la loi de variation de la mesure en fonction du temps : _c

t_co(t) = ^c∗t_c∗o+e^−kt(^ct_co(0)−^c∗t_c∗o)

cr_c∗c(t) = ^cr_c∗c(0)e^−kt Remarques :

— La trajectoire ^ct_co(t) est une droite dans le rep`ere cam´era. C’est donc ´egalement une droite dans l’image. On en d´eduit que l’origine du rep`ere Ro attach´e `a la cible a une trajectoire rectiligne dans l’image. C’est le seul point pour lequel on est sˆur que sa trajectoire ne sortira pas de l’image.

— ^cr_c∗c(t) d´ecrit ´egalement une droite. Si on a choisit la d´ecomposition angle/axe, la trajectoire d´ecrite par ^cr_c∗c(t) suit l’axe de la rotation entre l’image initiale et l’image finale. Le rep`ere cam´era va donc tourner autour de cet axe, d´ecrivant ainsi une g´eod´esique. Un autre choix pour la d´ecomposition de la rotation est possible mais seule la d´ecomposition angle/axe garantit une trajectoire optimale.

— Le comportement de cet asservissement – en utilisant la d´ecomposition angle/axe – est tr`es proche de celui de la commande 2D1/2 (voir l’´etat de l’art de [Zanne03]).

La sup´eriorit´e de la commande 2D1/2 par rapport `a cette commande 3D r´eside dans le fait qu’il n’est pas n´ecessaire de connaˆıtre le mod`ele g´eom´etrique de la cible. De plus, il est possible de prouver la stabilit´e de la commande 2D1/2 en pr´esence d’incertitudes ce qui n’est pas possible avec la commande 3D.

Commande cin´ematique 2D

Dans la commande cin´ematique 2D, les mesures F sont directement des param`etres issus de l’image, comme par exemple les coordonn´ees des barycentres des points dans l’image. Nous traiterons ce cas particulier dans cette partie car les points sont les primi-tives les plus couramment employ´ees.

Soit Fˆ= [x1 y1 ... xn yn]^T le vecteur2n×1 des mesures dans l’image avec(xi yi) les coordonn´ees des points dans l’image. La matrice d’interaction L^T_F relie la vitesse de Fˆ au torseur cin´ematique T du rep`ere cam´era :

F˙ˆ =L^T_FT

avec L^T_F constitu´ee de n matrices L^T_(x,y) (1.1) empil´ees. Soit la fonction de tˆache e = Fˆ−F^∗. La loi de commande la plus couramment rencontr´ee est la suivante :

T^c =−kLˆ^T_F⁺e

avec Lˆ^T_F⁺ = ( ˆL^T_F)⁻¹ si n = 3 et Lˆ^T_F⁺ = ( ˆL^T_F^TLˆ^T_F)⁻¹Lˆ^T_F^T la pseudo-inverse de Lˆ^T_F si n >3. k est le gain positif de l’asservissement et Lˆ^T_F est une estim´ee deL^T_F connu aux erreurs de mod´elisation pr`es.

T^c est envoy´e `a la commande du robot qui est suppos´e r´eagir instantan´ement et sans dynamique. On a donc F˙ˆ=L<sup>T</sup><sub>F</sub>T avec T =T<sup>c</sup> =−kLˆ<sup>T</sup><sub>F</sub><sup>+</sup>e. D’o`u :

F˙ˆ =−kL^T_FLˆ^T_F⁺e Comme e˙ =F˙ˆ, on a finalement :

˙

e=−kL^T_FLˆ^T_F⁺e

Si n = 3 et si on suppose qu’on a parfaitement mod´elis´e la matrice d’interaction, alors Lˆ^T_F =L^T_F et donc e˙= −ke ce qui conduit `ae(t) =e(0)e<sup>−kt</sup> o`u e(0) est la valeur de e

`a l’instant t = 0.

Si n >3, il y a plus de contraintes (2n) dans l’image que de degr´es de libert´e (6).

La matrice L^T_FLˆ^T_F⁺ n’est pas l’identit´e et il apparaˆıt des couplages entre les trajectoires.

N´eanmoins, le comportement de l’asservissement sera tel que les trajectoires des points dans l’image seront^≪le plus possible^≫des droites au sens des moindres carr´es. Avec cette loi de commande il n’est pas possible de prouver la convergence deFˆ versF^∗n´eanmoins, dans la pratique on constate un bon comportement lorsque l’erreur est faible.

N´eanmoins, on peut d´emontrer la convergence vers 0 de la fonction de tˆache apr`es avoir fait intervenir une matrice de combinaison C de rang 6 qui permet de r´eduire la fonction de tˆache `a 6´etats commandables dans l’image : e=C( ˆF −F^∗). Si on d´efinit C = ˆL^T_F^∗+, l’estim´ee de la pseudo-inverse de la matrice d’interaction calcul´ee au point d´esir´e F^∗, alors la loi de commande devient T^c =−kLˆ^T_F^∗+( ˆF −F^∗). Le comportement de e est r´egit par l’´equation :

˙

e=−kLˆ^T_F∗

+L^T_Fe (1.3)

La convergence est garantie pour Lˆ^T_F^∗+L^T_F > 0. Par contre, lorsque e est nul, il n’y a aucune garantie que Fˆ soit ´egal `a F<sup>∗</sup>. Cel`a se produit lorsque ( ˆF −F^∗) est dans le noyau deLˆ^T_F^∗+. Le lecteur pourra se r´ef´erer `a [Chaumette98] pour une ´etude comparative qualitative des 2 lois de commandes lorsque n >3.

Remarques :

Figure 1.8 – Sch´ema-bloc d’un asservissement visuel 2D.

Figure 1.9 – Sch´ema-bloc ´equivalent d’un asservissement visuel 2D.

— Lorsquen= 3, il existe plusieurs configurations pour lesquelles la matrice d’inter-action est singuli`ere, en particulier lorsque les 3 points sont align´es dans l’image ou encore s’ils appartiennent `a un cylindre dont l’axe co¨ıncide avec l’axe optique de la cam´era [Papanikolopoulos95].

— Dans cette partie, pour la commande 3D comme pour la commande 2D, nous avons n´eglig´e l’effet dˆu au d´eplacement de la cible. Certains travaux ont tent´e d’estimer ce d´eplacement afin d’introduire dans la loi de commande une com-pensation de son effet [Wilson96, Bensalah96]. Cette estimation se base souvent sur un mod`ele de d´eplacement de la cible `a vitesse constante coupl´e `a un filtre de Kalman. On peut n´eanmoins noter que si aucune information n’est disponible quant `a la dynamique de la cible, une telle estimation n’est d’aucune utilit´e.