état uniforme ;
Classe 2 presque toutes les conditions initiales convergent en temps fini vers des états éventuellement distincts mais tous périodiques dans le temps ;
Classe 3 il n’y a pas de convergence simple visible, l’évolution semble être aléatoire mis à part une éventuelle micro-structuration ;
Classe 4 rapidement des structures simples et localisées se mettent en place, qui inter-agissent entre elles de manière compliquée.
Cette classification a l’avantage de distinguer deux notions de complexité distinctes : la classe 3 correspond aux automates cellulaires «chaotiques», ceux dont le comporte-ment est dit complexe car difficilecomporte-ment prévisible et la classe 4 correspond aux automates cellulaires complexes, ceux dont le comportement est dit complexe car il en émerge des interactions très structurées qui semblent algorithmiquement complexes. Cependant, cette classification n’est pas très satisfaisante. Tout d’abord, ce sont les paires constituées d’un automate cellulaire et d’une configuration initiale qui sont classifiées et non les automates cellulaires eux-mêmes. D’autre part, le manque de formalisation de cette classification la rend inutilisable en pratique : S. Wolfram lui-même classe certains automates cellulaires dans plusieurs classes dans ses publications.
K. Čulik II et S. Yu [37] ont proposé une formalisation de cette classification et ont montré que l’appartenance aux classes est indécidable. Les classes sont définies ainsi : Classe 1 toute configuration initiale finie converge vers la configuration uniformément
quiescente en un temps fini ;
Classe 2 toute configuration initiale finie a une évolution ultimement périodique ; Classe 3 pour toute paire de configurations finies, savoir si l’automate cellulaire atteint
la seconde configuration à partir de la première en un temps fini est décidable ; Classe 4 tous les autres automates cellulaires.
Bien formalisée, cette classification présente toutefois de sérieux inconvénients. On considère des configurations finies, ce qui distingue un état quiescent particulier, on clas-sifie donc plutôt un couple constitué d’un automate cellulaire et d’un état quiescent. Les automates cellulaires sans état quiescent atteignent alors la classe 4 censée être de com-plexité maximale. D’autre part, si l’automate cellulaire considéré force une certaine mono-tonie sur les configurations finies (si la croissance de la taille du motif non quiescent d’une configuration finie est strictement croissante ou strictement décroissante), l’automate se retrouve au plus dans la classe 3 voire dans la classe 2. Enfin, des automates comme les translations se retrouvent dans la classe 3 car leur comportement est périodique à une translation près et donc non périodique au sens strict du terme.
D’autres propositions ont été faites pour formaliser la classification de S. Wolfram. Notre but n’étant pas ici d’être exhaustifs, nous nous contenterons de résumer les pro-blèmes clés rencontrés dans ces approches. Un premier point concerne les classes 3 et 4, les automates cellulaires chaotiques et complexes : que veut-on mettre dans ces classes ? Un second point est de savoir ce qu’on veut réellement classifier : les automates cellulaires bien sûr mais sur quelle famille de configurations ? Un dernier point enfin concerne le problème de la classification des translations : on ne désire pas les trouver au-dessus de la
classe 2 ; de même pour un produit cartésien de translations car ces automates cellulaires engendrent des comportements très simples.
L’approche topologique
La classe 3 de la classification de S. Wolfram est considérée comme la classe des automates cellulaires chaotiques. Des exemples typiques de tels automates cellulaires sont présentés sur la figure 1.5. De nombreuses classifications ont été proposées pour mieux cerner ces automates cellulaires.
Une des premières propositions dans ce sens est celle de R. H. Gilman [35]. L’idée in-téressante de cette classification est de reprendre les résultats obtenus en théorie des sys-tèmes dynamiques et de les adapter au cas des automates cellulaires. Pour cela, l’ensemble des configurations est muni de la distance associée à la topologie de Cantor (topologie produit sur Z de la topologie triviale sur l’ensemble d’états), définie pour tout couple de configurations C, C′, par d(C, C′) = 1/2min{kpk∞|Cp6=C′
p}. Grâce à cette distance, on peut
exprimer les notions d’équicontinuité et d’expansivité2. R. H. Gilman définit, à l’aide de
ces notions et de la théorie de la mesure, une classification en trois classes : Classe 1 équicontinuité en certains points ;
Classe 2 équicontinuité presque partout mais pas classe 3 ; Classe 3 expansivité presque partout.
On peut aussi noter l’introduction plus récente, par P. Kůrka [61], d’une classification purement topologique, sans mesure, en quatre classes :
Classe 1 équicontinuité ;
Classe 2 des points d’équicontinuité mais pas classe 1 ; Classe 3 sensibilité aux conditions initiales ;
Classe 4 expansivité.
Le principal problème de ces classifications dans le cadre de la topologie de Cantor est la classification des translations dans les classes correspondant aux automates cellulaires les plus complexes. Pour résoudre ce problème, G. Cattaneo et al. [63] ont proposé des définitions plus fines des automates cellulaires chaotiques en conservant la topologie de Cantor. Indépendamment, E. Formenti [11] a défini une autre topologie, dite topologie de Besicovitch, dans laquelle les classifications précédentes sont beaucoup plus satisfaisantes.
Dans le prolongement de ces travaux3, B. Martin II [13] a étudié les avantages de
réintro-duire les outils de théorie de la mesure utilisés pas R. H. Gilman dans le cadre de cette nouvelle topologie.
L’approche algébrique
La classe 4 de la classification de S. Wolfram est considérée comme la classe des automates complexes dans les évolutions desquels apparaissent des structures simples et
2
La définition formelle de ces notions dépassant le cadre de cette thèse, le lecteur intéressé est invité à se reporter à la thèse de E. Formenti [11].
3
Une autre voie prometteuse est la nouvelle topologie reposant sur la complexité de Kolmogorov introduite par J. Cervelle [14].
1.2. CLASSIFICATIONS 37
1.2. CLASSIFICATIONS 39