Classification, calculabilité et complexité

Les classifications présentées ci-dessus reposent sur des notions de complexité va-riables : complexité visuelle des diagrammes espace-temps pour Wolfram, propriétés topo-logiques et de mesure ou encore propriétés géométriques et algébriques pour le groupage. La classification de K. Čulik II et S. Yu utilise un critère de décidabilité pour définir sa classe la plus haute. Nous proposons ici deux problèmes de décision qui nous semblent pertinents pour étudier la complexité algorithmique des automates cellulaires et nous discutons des limites de cette approche.

Indécidabilité de l’apparition d’un motif

Plutôt que l’accessibilité entre configurations finies proposée par K. Čulik II et S. Yu, nous proposons d’utiliser la famille de problèmes de décision CA-PAT. Par motif de

di-mension d de rayon r sur Q on entend une application de J−r, rKd dans Q.

CA-PAT_A

Paramètre un automate cellulaire A

Entrée une configuration initiale ultimement périodique C de

A et un motif fini M sur Q_A de rayon r ;

Question est-ce que le motif M apparaît dans l’évolution de A

partant de C ?

Contrairement au précédent, ce problème est adapté à tous les automates cellulaires (avec ou sans état quiescent) et élude le problème de la croissance monotone des motifs non quiescents des configurations.

La complexité de CA-PATA varie avec A depuis une complexité linéaire en la taille du

motif M et indépendante de C pour l’automate cellulaire constant, jusqu’à être indéci-dable, de même degré Turing que le problème de l’arrêt des machines de Turing, pour les

automates cellulaires capables de simuler4 des machines de Turing. La classe des

auto-mates cellulaires pour lesquels la complexité est de même degré Turing que le problème de l’arrêt correspond intuitivement aux automates cellulaires complexes au sens de la classe 4 de S. Wolfram : les interactions entre les particules sont si compliquées qu’elles sont imprévisibles.

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en un sens raisonnable... nous étudions en détail les problèmes liés à l’universalité et aux simulations dans le dernier chapitre.

Complexité de vérification d’un triangle de calcul

Plutôt que de s’intéresser à l’apparition d’un motif dans un diagramme espace-temps infini, on peut se demander quelle est la complexité de construction du diagramme espace-temps lui-même. Une manière de formaliser cette question est de considérer la famille de problèmes de décision CA-TRI.

CA-TRI_A

Paramètre un automate cellulaire A de rayon de voisinage r

Entrée une durée T , un motif initial M de rayon rT et un état

q de QA;

Question est-ce que le motif M évolue en q par A en temps T ?

La complexité en temps de CA-TRIA est bornée polynomialement en T car il suffit

de calculer tout le triangle de calcul engendré par M. En dimension d, cela représente

PT −1

t=1(2rt + 1)d applications de la règle locale de transition.

La complexité en temps de CA-TRIA varie avec A depuis une complexité constante

pour l’automate cellulaire constant, en passant par une complexité linéaire en T pour les automates cellulaires périodiques, jusqu’à la P -complétude (pour une réduction raison-nable) pour les automates cellulaires les plus compliqués. La classe des automates cellu-laires pour lesquels le problème est P -complet correspond intuitivement aux automates cellulaires complexes au sens de la classe 3 de S. Wolfram. La règle locale de transition mélange fortement l’information au point de rendre les évolutions très difficiles à prédire. Limites de ces approches

Ces deux problèmes de décision pourraient certainement donner lieu à des classifica-tions intéressantes. Cependant, le manque de connaissances sur les classes de complexité structurelle sous-polynomiale ou les degrés Turing récursivement énumérables limite la définition de classes pertinentes ou la démonstration de résultats élémentaires.

Le groupage, dans sa forme classique et dans les généralisations que nous en proposons, définit une sorte de réduction entre automates cellulaires qui possède de bonnes proprié-tés. En particulier, les deux problèmes de décision précédents sont compatibles avec le groupage, car – pour une réduction raisonnable – si un automate cellulaire est plus simple qu’un autre au sens du groupage alors le problème de décision CA-PAT, respectivement CA-TRI, du premier se réduit à celui du second.

CHAPITRE

2

GROUPAGES

On s’intéresse ici à la généralisation du groupage selon I. Rapaport, tel qu’il a été présenté au chapitre précédent. Après une présentation des objectifs de cette généralisation, un cadre formel est proposé pour étudier différents groupages. Une première tentative engendre une classification dont les automates cellulaires intrinsèquement universels sont un maximum global. Enfin, un raffinement de cette première proposition donne lieu à une classification du même type mais mieux structurée, la relation de préordre engendrant une structure de demi-treillis pour le produit cartésien. On s’intéresse alors aux idéaux de ce demi-treillis dont certains correspondent à des familles naturelles d’automates cellulaires.

Sommaire

2.1 Vers une extension du groupage . . . . 48 2.1.1 Algorithmique . . . . 48 2.1.2 Automates cellulaires unidirectionnels . . . . 48 2.1.3 Automates cellulaires nilpotents . . . . 49 2.1.4 Universalité intrinsèque . . . . 49 2.1.5 Synthèse . . . . 50 2.2 Interlude formel . . . . 51 2.2.1 Axiomatisation . . . . 51 2.2.2 Préordre . . . . 54 2.2.3 Universalités . . . . 55 2.3 Première esquisse du groupage . . . . 56 2.3.1 Transformations géométriques . . . . 57 Transformations de diagrammes espace-temps . . . . 57 Trois transformations sympathiques . . . . 58 Caractérisation des transformations sympathiques . . . . 63 2.3.2 Axiomatisation . . . . 67 Première tentative . . . . 67 Deuxième tentative . . . . 70 2.4 Une extension du groupage carré . . . . 71 2.4.1 Définitions . . . . 71 2.4.2 Espace des phases . . . . 72 2.4.3 Exploration . . . . 73 Liens avec le premier groupage . . . . 73 Chaînes infinies incomparables . . . . 75 Le bas de l’ordre . . . . 76 Le haut de l’ordre . . . . 77 Problèmes de décision associés . . . . 79 2.4.4 Familles classiques d’automates cellulaires . . . . 80 2.4.5 Structure . . . . 81 2.5 Un groupage fortement structuré . . . . 83 2.5.1 Transformations géométriques généralisées . . . . 83 Caractérisation des transformations sympathiques . . . . 84 2.5.2 Axiomatisation . . . . 85

2.5.3 Exploration . . . . 85 Liens avec le groupage précédent . . . . 85 Demi-treillis et idéaux . . . . 85

2.1 Vers une extension du groupage

Le groupage, tel qu’il a été défini au chapitre précédent, est un outil original et intéres-sant pour étudier les évolutions des automates cellulaires. En particulier, certaines familles d’automates cellulaires intuitivement simples sont bien situées dans le bas de l’ordre et sé-parées les unes des autres. De plus, les groupages d’automates cellulaires algébriquement

simples, comme les automates cellulaires linéaires sur Zp, sont simples à décrire

algé-briquement, ce qui permet leur étude. Cependant, le groupage ne prend pas en compte certaines transformations géométriques des diagrammes espace-temps raisonnables de la littérature que nous détaillons ci-dessous.

2.1.1 Algorithmique

La forme de changement d’échelle la plus courante dans les constructions algorith-miques sur automates cellulaires est une variante du groupage défini au chapitre précé-dent. Au lieu de conserver uniquement les états nécessaires au calcul des transitions – en dimension 1 il s’agit du segment inférieur du carré d’états – on conserve tous les états. On trouve ce type de changement d’échelle par exemple dans l’article sur la reconnaissance des nombres premiers par automates cellulaires de P.C. Fischer [18]. La figure 2.1 illustre le principe de cette transformation.

ql,1,1 ql,1,2 ql,1,3 ql,2,1 ql,2,2 ql,2,3 ql,3,1 ql,3,2 ql,3,3 qc,1,1 qc,1,2 qc,1,3 qc,2,1 qc,2,2 qc,2,3 qc,3,1 qc,3,2 qc,3,3 qr,1,1 qr,1,2 qr,1,3 qr,2,1 qr,2,2 qr,2,3 qr,3,1 qr,3,2 qr,3,3 qc,4,1 qc,4,2 qc,4,3 qc,5,1 qc,5,2 qc,5,3 qc,6,1 qc,6,2 qc,6,3 qr,4,1 qr,4,2 qr,5,1 ql,4,2 ql,4,3 ql,5,3

Fig.2.1 – Transformation géométrique de P. C. Fischer

Ce type de transformation, très utile algorithmiquement, ne nous intéresse pas car, si le transformé d’un diagramme espace-temps est bien un diagramme espace-temps, lorsqu’on applique la transformation à l’ensemble des diagrammes espace-temps d’un automate cellulaire, on obtient un automate cellulaire partiel : toutes les configurations initiales possibles n’apparaissent pas parmi les diagrammes espace-temps transformés.