Sous-automate. Le sous-automate à k états ⌊A⌋k d’un automate cellulaire A de
dimension d et d’ensemble d’états J1, nK est l’automate cellulaire dont la règle globale
de transition est la restriction de GA à l’ensemble J1, kKZd
(i.e. G⌊A⌋k = GA). À une
permutation des états près, tout automate de A peut être obtenu ainsi. Le sous-automate n’est défini que lorsque la restriction à J1, kK de la règle de transition est bien à image dans J1, kK.
Théorème 9. Soit n un entier. Une application de J1, nKZd
dans lui-même est la règle globale de transition d’un automate cellulaire si et seulement si elle appartient à la clôture des règles globales de transition des automates cellulaires autarciques et des translations élémentaires par les opérations de composition, produit cartésien et sous-automate. Démonstration. Les automates cellulaires autarciques et les translations élémentaires sont des automates cellulaires. De plus, les opérations de composition, produit cartésien et sous-automate appliquées à des automates cellulaires produisent des automates cellulaires. Aussi, tout élément de la clôture est bien un automate cellulaire.
Réciproquement, soit A un automate cellulaire de dimension d, d’ensemble d’états
J1, nK et de voisinage {v1, . . . , vν}. Considérons l’automate cellulaire partitionné
Ap =
Zd, J1, nKν, {v1, . . . , vν} , cν ◦ δA
où cν est l’application de J1, nK dans J1, nKν définie pour tout état x par cν(x) = (x, . . . , x).
Par construction A est un sous-automate de Ap où cν est l’application injective de QA
dans QAp qui convient (i.e. cν ◦ GA = GAp◦ cν). Soit π une extension de γ ◦ cν en une
application bijective de J1, nνK dans lui-même (i.e. vérifiant pour tout x ∈ J1, nK l’égalité
π(x) = γ(cν(x))). Soit G la règle globale de transition définie par G = γ ◦ GAp◦ γ−1. On
peut alors exprimer GA de la manière suivante
GA =j
π−1◦ G ◦ πk
n .
Il suffit donc de montrer que G est exprimable dans la clôture. Comme Ap est un automate
partitionné, sa règle globale de transition peut être décomposée en une étape d’envoi de
messages suivie de l’application autarcique de la fonction de transition, ici cν◦ δA. L’étape
d’envoi des messages est un produit de translations. On sait que les translations sont
toutes exprimables dans la clôture. Posons ψ = γ ◦ cν ◦ δA◦ γ−1. On peut alors exprimer
la règle globale de transition de A de la façon suivante
GA=j
π−1◦ ψ ◦ (σ−v1 × · · · × σ−vν) ◦ πk
n .
Ce qui conclut la démonstration.
Cas des automates cellulaires réversibles
Une manière naïve d’énumérer les automates cellulaires réversibles consiste à énumé-rer toutes les paires d’automates cellulaires et à tester pour chaque paire (A, B) si la composition A ◦ B est l’automate cellulaire identité (i.e. l’automate cellulaire I vérifiant
pour toute configuration C l’égalité GI(C) = C), auquel cas l’automate cellulaire A est
réversible et B est un inverse possible pour A. Certes cette méthode est intrinsèquement inefficace, mais le résultat d’indécidabilité de J. Kari [39] assure qu’il n’existe aucune
méthode efficace. Cependant, nous proposons ici une nouvelle caractérisation des auto-mates cellulaires réversibles qui nous semble plus satisfaisante pour la compréhension de la réversibilité.
Considérons la caractérisation du paragraphe précédent. Les trois opérations de com-position, produit cartésien et sous-automate appliquées à des automates cellulaires réver-sibles produisent des automates cellulaires réverréver-sibles.
◮ En effet, pour les opérations de composition et de produit cartésien, c’est une conséquence évi-dente du théorème de G. Hedlund [19]. Pour l’opération de sous-automate, c’est une conséquence du corollaire 1. En effet, comme un automate cellulaire réversible est injectif, son sous-automate est nécessairement injectif et donc lui aussi réversible.
De ces considérations, on déduit qu’en conservant uniquement les translations élémen-taires et les automates cellulaires autarciques réversibles comme objets de base, la clôture engendre un sous-ensemble des automates cellulaires réversibles. Nous montrons qu’en fait ils sont tous engendrés.
Théorème 10. Soit n un entier. Une application de J1, nKZd
dans lui-même est la règle globale de transition d’un automate cellulaire réversible si et seulement si elle appartient à la clôture des règles globales de transition des automates cellulaires autarciques réversibles et des translations élémentaires par les opérations de composition, produit cartésien et sous-automate.
Démonstration. L’une des implications vient d’être discutée dans le texte. Considérons la seconde implication. soit A un automate cellulaire réversible de dimension d,
d’en-semble d’états J1, nK et de voisinage {v1, . . . , vν}. Soit B l’automate cellulaire inverse de
l’automate A. Sans rien changer à la discussion, on peut supposer que {v1, . . . , vν} est
aussi le voisinage de B et que v1 = 0 car dans le cas contraire il suffit de recommencer
avec un voisinage plus grand pour A, quitte à ajouter des vecteurs de voisinage inutiles. Considérons l’automate cellulaire partitionné
Ap =
Zd, J1, n + 1K2ν
, {v1, . . . , vν} , ψ où ψ est défini partiellement de la manière suivante :
Transition. Pour tout ν-uple d’états (x1, . . . , xν) de J1, nK, posons y = δA(x1, . . . , xν), ψ ((x1, n + 1), (x2, n + 1) . . . , (xν, n + 1)) = ((x1, y), (x2, y) . . . , (xν, y)) .
.tr an sit io
N Pour tout ν-uple d’états (y1, . . . , yν) de J1, nK, posons x = δB(y1, . . . , yν),
ψ ((x, y1), (x, y2), . . . , (x, yν)) = ((n + 1, y1), (n + 1, y2) . . . , (n + 1, yν)) .
Nettoyage. Pour tout état y de J1, nK,
ψ ((n + 1, y), (n + 1, y), . . . , (n + 1, y)) = ((y, n + 1), (y, n + 1) . . . , (y, n + 1)) . L’application partielle ψ ainsi définie est injective, on la complète en une application
bijective. L’automate cellulaire partitionné Ap est donc réversible. Soit Bp l’automate
cel-lulaire partitionné réversible défini comme Ap mais avec pour voisinage {−v1, . . . , −vν}.
1.2. CLASSIFICATIONS 33
cν(x) = ((x, n + 1), . . . , (x, n + 1)). Par construction, A est un sous-automate de
l’auto-mate produit Ap◦ Bp◦ Ap où cν est l’application injective qui convient. Soit π une
exten-sion de γ ◦ cν en une application bijective de J1, (n + 1)2νK dans lui-même (i.e. vérifiant
pour tout x ∈ J1, nK l’égalité π(x) = γ(cν(x))). Soit G la règle globale de transition définie
par G = γ ◦ GAp◦ GBp ◦ GAp◦ γ−1. On peut alors exprimer GA de la manière suivante
GA =j
π−1◦ G ◦ πk
n .
Il suffit donc de montrer que G est exprimable dans la clôture. Pour cela, on va montrer
que G′ = γ ◦ GAp◦ γ−1 est exprimable, car le cas de G′′ = γ ◦ GBp◦ γ−1 est symétrique
et on a G = G′ ◦ G′′◦ G′. Comme Ap est un automate partitionné, sa règle globale de
transition peut être décomposée en une étape d’envoi de messages suivie de l’application autarcique de la fonction de transition, ici ψ. L’étape d’envoi des messages est un produit de translations. On sait que les translations sont toutes exprimables dans la clôture.
Posons ψ′ = γ ◦ ψ ◦ γ−1. La fonction ψ′ est la règle globale de transition d’un automate
cellulaire autarcique réversible car ψ est bijective. On peut alors exprimer la règle globale de transition de A de la façon suivante
GA =j
π−1◦ ψ′◦ (σ−v1 × · · · × σ−vν) ◦ ψ′◦ (σ v1 × · · · × σ vν) ◦ ψ′◦ (σ−v1 × · · · × σ−vν) ◦ πk
n .
Ce qui conclut la démonstration.
Alors que dans la caractérisation du paragraphe précédent on peut prendre pour voisi-nage le voisivoisi-nage minimal de l’automate cellulaire et ainsi borner la taille de la plus petite expression qui le décrit, ici le voisinage requis est inconnu de par l’indécidabilité de la réversibilité. Aussi, il est indécidable de savoir si une expression dans la première clôture est exprimable dans la seconde. En outre, lorsque cette opération est possible, elle peut faire croître la taille de l’expression dans des proportions non bornées.
1.2 Classifications
Une des motivations principales de l’étude mathématique des automates cellulaires est de comprendre et de maîtriser leurs évolutions afin, entre autre, de fournir des outils pertinents pour étudier les automates cellulaires qui apparaissent dans un cadre de mo-délisation. Une approche consiste à établir des classifications de ces objets qui tiennent compte de leurs propriétés, séparant les automates cellulaires simples des automates cel-lulaires complexes, pour une certaine idée de complexité.
1.2.1 Genèse
L’approche expérimentale
La première proposition de classification est certainement celle présentée en 1984 par S. Wolfram [29]. Cette classification résulte d’une approche expérimentale des automates cellulaires. Voici comment l’auteur présente cette classification dans un récent ouvrage :
« [. . . ] Indeed, among all kinds of cellular automata, it seems that the patterns which arise can almost always be as-signed quite easily to one of just four basic classes [. . . ]
These classes are conveniently numbered in order of in-creasing complexity, and each one has certain immediate dis-tinctive features.
In class 1, the behavior is very simple, and almost all initial conditions lead to exactly the same uniform final state.
In class 2, there are many different possible final states, but all of them consist just of a certain set of simple structures that either remain the same forever or repeat every few steps.
In class 3, the behavior is more complicated, and seems in many respects random, although triangles and other small-scale structures are essentially always at some level seen.
And finally [...] class 4 involves a mixture of order and ran-domness: localized structures are produced which on their own are fairly simple, but these structures move around and interact with each other in very complicated ways. [. . . ] »
S. Wolfram [91, chapitre 6, pp. 231–235]
L’étude de S. Wolfram se place dans un cadre précis. Ses constatations sont fondées sur l’observation de diagrammes espace-temps (nécessairement partiels) d’automates cel-lulaires de dimension 1, à deux états et, en particulier, les 256 automates à voisinage de von Neumann, les automates cellulaires élémentaires, dont des diagrammes espace-temps sont présentés sur la figure 1.4. De ces observations et de nombreuses autres, S. Wolfram exhibe un partitionnement des automates cellulaires en quatre classes :
1.2. CLASSIFICATIONS 35