Afin d’appliquer les estimateurs précédents aux historiques du marché, il faut préci- ser comment choisir le paramètrernqui donne le nombre de données utilisées dans la
statistique d’ordre pour estimerα et la fonction à variation lente. Il existe une vaste littérature sur ce sujet appelé le tail index estimation problem. Pour des exemples de quelques ouvrages et articles de synthèses, voir [3,17,49,146].
Le choix d’une proportion fixe (par exemple un échantillon de 10% [57], dern “
? n, ou d’autres choix [110]) est rarement satisfaisant en pratique (voir [146, §. 3] pour une discussion).
L’une des approches les plus simples consiste à tracer la courbe pk,αˆkq, qui s’appelle
un graphe de Hill (Hill plot, voir par exemple la figure 2.2). Cependant, les courbes sont rarement constantes, et cette approche est difficile à mettre en œuvre (voir [17, §. 4.2.2, p. 104] ou [56]). Un autre type de graphe, appelé alternative Hill plot, est de tracer pθ,αˆrnθsq, 0 ď θ ď 1 [133], et de construire un estimateur de α à partir des
moyennesα “ pu ´ 1q˜ ´1k´1řuk
i“k`1αˆi pouru ą 1.
Figure 2.2 – Graphe de Hill pour les pertes de l’actif BNP Paribas.
Un autre diagnostic graphique est le sum plot, où le graphe pk,řki“1Yiq, avec Yi
définie par Yi “ iplog Lpn´i`1q ´log Lpn´iqq, est linéaire pour les petites valeurs de
linéaire [50].
L’article [10] propose une estimation en utilisant comme estimateur celui qui est le plus proche d’estimateurs de α, construits par simulation Monte Carlo, en utilisant des variables aléatoires de Pareto pour de multiples valeurs de α.
Une autre série d’approches est d’utiliser un test d’adéquation (goodness-of-fit ) sur les statistiques `Lpkq
˘
kěrn, après d’éventuelles transformations du lemme 1. Nous
pouvons par exemple utiliser le fait que les variables k lnpLpn´kq{Lpn´k`1qq suivent
des lois exponentielles indépendantes de paramètresα. Cette approche a été suggérée par B. Hill [88] (voir aussi [17, §. 4.2.1, p. 103] et [84]). Mais P. Hall et A. Welsh ont montré dans [84], que cette procédure tend à surestimer rn pour les grands
ensembles si la fonction à variation lente` dans2.1 n’est pas constante. S. Alfarano et T. Lux notent dans [3] qu’utiliser des tests d’adéquations sur les lois exponentielles (Kolmogorov-Smirnov, Anderson-Darling, χ2) ne donne pas toujours des résultats
probants. Dans [35], C.W. Cheong propose d’utiliser les statistiques de Cramer- von Mises et de Waston, et applique cela à des données financières de la bourse malaisienne.
Dans [77] et [18], il est montré que l’estimateur de Hill appartient à une classe plus large d’estimateurs, où le coefficient ˆγ “ 1{ˆα est celui qui minimise la fonction
x ÞÑ k ÿ j“1 wj,k ˆ lnˆ Ln´j`1 Ln´k ˙ ´ xlnˆ k ` 1 j ˙˙2 , wi,j “ 1 pk `1q{j.
Le choix optimal de k est cependant discuté lorsque la fonction à variation lente ` dans (2.1) n’est pas constante.
Enfin, une très large classe d’estimateurs dern repose sur un équilibre entre l’erreur
Monte Carlo et le biais induit par l’estimateur (voir les références dans l’ouvrage [17] par exemple). Mais cette approche repose sur l’hypothèse que la fonction à variation lente n’est pas constante. Le modèle le plus traité est celui introduit par P. Hall dans [83] où la fonction `pxq de (2.1) admet le développement proportionnel à 1 ` Cx´β ` opx´βq avec C ‰0. Ces résultats montrent en particulier que le r
n optimal
dépend fortement de la vitesse à laquelle la fonction `pxq converge vers sa limite. Il est donc illusoire d’espérer estimer précisément le rn optimal sans chercher à
estimer cette vitesse de convergence. Étant donné le faible nombre de données dont nous disposons, il est peu probable que l’on puisse obtenir avec précision de telles informations.
Toutes les pistes mentionnées dans cette partie devront être explorées dans le futur, afin d’analyser la meilleure approche en termes de performance. Un point important vient du faible nombre de données disponibles pour faire nos estimations. Il est donc inutile de chercher une méthode très fine, puisque les erreurs statistiques seront dans tous les cas importantes. Du point du vue du problème soulevé par Alphability, il s’agit de trouver le bon compromis entre précision et coût numérique. C’est pour- quoi nous nous concentrons maintenant sur une méthode très simple inspirée de la discussion ci-dessous.
2.5
Etude empirique : estimation des paramètres de
la loi puissance, calcul de la VaR
L’étude numérique utilise des données du marché fournies par Alphability. Il est à mentionner que ces données, bien que couvrant dix années, restent peu nombreuses puisque l’on n’étudie que les données journalières (prix de clôture), d’où un faible nombre de données disponibles pour les estimations. Il est donc inutile de chercher une méthode très fine, puisque les erreurs statistiques seront dans tous les cas im- portantes. Afin de réaliser un bon compromis entre précision et coût numérique, nous allons opter pour une méthode d’estimation simple inspirée de la discussion ci-dessus.
Nous considérons ici l’estimation des paramètres de la loi puissance sur le cours de l’actif BNP Parisbas, en prenant des fenêtres de 252 jours.
L’estimateur de l’indice γ “ 1{α, que nous utilisons dans notre étude, est donné par le calcul de la pente sur le graphe de Pareto (figure2.1) avec une technique de moindres carrés sur un intervalle, qui se concentre sur la queue de distribution mais qui ne prend pas en compte les valeurs les plus grandes des pertes, qui sont les plus entachées d’erreurs.
Ainsi, nous considérons que pour i P ri0, i1s,
log Lpiq“ ´γlog
ˆ i n ` 1
˙
` K ` i
oùi est le terme d’erreur, K une constante,
i0 “ tp0nu et i1 “ tp1nu avec p0 “0.95 et p1 “0.99.
Comme nous l’avons déjà remarqué,Lpijq « q
Lpi
j{nq « qLppjq pour j “0, 1. Ainsi, γ
etK sont estimés comme la pente ˆγLS et la constante ˆKLS qui minimisentři1
i“i0
2
i.
Nous posons, par la suite, αˆLS
“1{ˆγLS. Ce choix ne correspond pas à l’estimateur de Hill [88]. Cependant, ce dernier représente une version pondérée de l’estimateur moindre carrés, et nous utilisons simplement une version non pondérée. Cet estima- teur est mieux adapté à notre cas vu le faible nombre de données.
En effet, sur une fenêtre de 252 jours, seulement environ la moitié des données correspond à des pertes, et donc entre 5 et 10 données seulement sont utilisées pour estimer la queue de distribution. Ainsi, notre choix de ne pas considérer les quantiles supérieurs à 99% s’avère pertinent pour éviter que les valeurs les plus grandes perturbent trop l’estimation deγ.
L’estimation de la constante limite de la fonction à variation lente est donnée par l’estimateur de Weissman, en prenant ˆC “ LαˆLS
ptna0uqp1 ´ a0q. Dans ce cas, Lptna0uq «
qLpa
0q et donc F pxq «1 ´ ˆC{xαˆ
LS
pourx ě qLpa
Finalement, comme montré dans la section 2.2 du chapitre précédent, la Value-at- Risk, à un jour et à un niveau de confiance a, estimée à partir de la loi puissance est donnée par la formule (1.7) :
y VaRpaqt “ ˜ ˆ C 1 ´ a ¸p ˆαLSq´1 . La Value-at-Risk monétaire associée est donnée par :
y
VaRpaqt peq “ St
¨ ˝1 ´ exp ˜ ´ ˆ C 1 ´ a ¸p ˆαLSq´1˛ ‚.
La figure 2.3 représente le prix, la volatilité et la VaR monétaire à un jour et un niveau de confiance de 99% sur le cours de la BNP Paribas. Une corrélation assez nette entre la VaR et la volatilité annuelle peut être observée sur cette figure.
Figure 2.3 – VaR monétaire à 99% pour l’action BNP Paribas sur une fenêtre glissante de 252 jours avec les estimateursαˆLS et ˆC.
Les paramètres de la loi puissance évalués sur une fenêtre glissante de 252 jours sont représentés dans la figure 2.4. Nous observons une très forte fluctuation des
valeurs estimées de α et C au cours du temps. La méthode est assez instable et imprécise, principalement à cause du faible nombre de données utilisées pour estimer ces paramètres. Nous observons néanmoins un phénomène de compensation entre les grandes valeurs deα et les petites valeurs de C (et inversement), qui conduit au final à une amplitude de fluctuations des valeurs de VaR plus réduite.
Figure 2.4 – Prix, écart-type, ˆαLS et ˆC pour l’action BNP Paribas pour une fenêtre glissante de 252 jours.