Choix du maillage

Afin de choisir la taille du maillage et évaluer l’erreur commise lors de la simulation du transfert de matière, nous avons appliqué la méthode numérique précédemment décrite

III.2 Etude numérique 65

sur différents maillages. Une cellule de calcul de 100 µm de longueur et 30 µm de largeur a été découpée en 125 × 30, 250 × 30, 125 × 75, 160 × 75 et 125 × 100 mailles. Les deux premiers maillages sont raffinés au niveau du film dans la direction perpendiculaire à l’écoulement, et réguliers dans le sens de l’écoulement comme le montre le tableau III.1 au travers des valeurs des pas d’intégration dx et dy. Les suivants sont réguliers dans les deux directions. Le cas simulé présente des gouttes de 53 µm de longueur. L’influence du

Tab. III.1 – Influence du maillage sur les résultats de simulation. Nombre de mailles dx (µm) dy (µm) Ug (m/s) Uc(m/s) (kgasimuVU C)/Vg (1/s) 125 × 30 0.80 0.30-1.66 0.1401 0.0877 122.6 250 × 30 0.40 0.30-1.66 0.1391 0.0872 121.2 125 × 75 0.80 0.40 0.1534 0.0945 95.7 160 × 75 0.625 0.40 0.1533 0.0945 94.0 125 × 100 0.80 0.30 0.1537 0.0949 91.4

maillage sur l’hydrodynamique et le transport de matière a été étudiée. En effet, le code JADIM et celui développé pour le calcul du champ de concentration ont été exécutés sur chacun de ces maillages. Pour cela, plusieurs critères ont été estimés dans chaque cas de simulation et comparés : les vitesses de la goutte et de la phase continue respectivement obtenues à partir des équations III.26 et III.27, et le coefficient de transfert de matière qui est directement corrélé au profil de concentration dans la goutte en fonction du temps comme nous le verrons par la suite (section III.2.2.2).

Ug = RR ϕ · (~u · ~n) dxdy RR ϕdxdy (III.26) Uc= RR (1 − ϕ) · (~u · ~n) dxdy RR (1 − ϕ)dxdy (III.27)

Le tableau III.1 montre les valeurs de ces trois critères pour les 5 maillages étudiés. On obtient des résultats très différents en augmentant le nombre de mailles selon la lar- geur du domaine de calcul. En effet, si l’on compare les critères estimés avec le maillage le plus grossier et le plus fin, on constate peu de changement au niveau des vitesses (10 % d’augmentation) mais une diminution du coefficient de transfert de matière de 30 %. On observe également qu’une augmentation du nombre de mailles suivant la longueur affecte peu les valeurs des critères. Ainsi, on peut conclure de cette étude rapide que les résultats

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des simulations sont indépendants du maillage quand le domaine de calcul de 100 µm × 60 µm est représenté par au moins 125 × 75 mailles.

Cette différence entre les résultats est principalement due à l’erreur de troncature in- duite par la discrétisation du terme convectif (équation III.21). Cette erreur agit comme un terme diffusif : on la caractérise alors comme une diffusion artificielle appelée « diffusion numérique » [Chung 2002]. La valeur du coefficient de diffusion numérique est liée à la finesse du maillage : plus les mailles sont petites, plus l’erreur de troncature est faible. La diffusion numérique s’ajoute à la diffusion massique, aboutissant à une surestimation des flux de matière. Cet effet est particulièrement gênant à l’interface puisque le transport de matière dans cette zone ne s’opère que par diffusion.

La figure III.2 illustre clairement l’impact de la diffusion numérique au travers des profils temporels de concentration dans la goutte ( ¯Cg est la concentration moyenne dans la

goutte) obtenus en imposant différents coefficients de diffusion massique D (D_d= Dc= D).

En effet, en considérant le maillage le plus grossier, soit 125 × 30 mailles pour représenter une surface de 100 µm × 30 µm, on constate que même en imposant un transport de matière par diffusion nul (D = 0 m2/s), le soluté transfère d’une phase à l’autre : ceci est purement un effet de la diffusion numérique. Cette figure illustre aussi le fait que le profil de concentration est indépendant du coefficient de diffusion massique tant que D < 10−9 m2/s. Cela signifie que l’ordre de grandeur du coefficient de diffusion numérique est de 10−9 m2/s, ce qui correspond à l’ordre de grandeur des coefficients de diffusion massique dans les liquides.

Enfin, la figure III.3 (a) montre qu’en travaillant avec plus de 75 mailles pour repré- senter la largeur du domaine de calcul, le profil de concentration en soluté dans la goutte est indépendant du maillage utilisé en fixant D = 10−9 m2/s (33 % d’augmentation du nombre de mailles selon la largeur produit moins de 5 % de variation des résultats de simulation). Ceci suggère que la diffusion numérique pour de tels maillages est négligeable par rapport aux coefficients de diffusion massique pour la plupart des liquides. La figure III.3 (b) montre également que le profil de concentration dans la goutte obtenu avec 125 × 30 mailles en fixant D = 10−9_m2_{/s est équivalent à celui obtenu avec 125 × 100 mailles}

en fixant D = 5 × 10−9 m2/s. On peut donc estimer que le coefficient de diffusion numé- rique dans le premier cas est d’environ 4 × 10−9 m2/s. Ainsi, la somme des coefficients de diffusion massique et numérique est encore du bon ordre de grandeur pour représen-

III.2 Etude numérique 67

Fig. III.2 – Profil de concentration moyenne dans la goutte pour différentes valeurs de coefficient de diffusion. (a) U_g = 0.0977 m/s, Lg= 53 µm, dx = 0.8 µm, dy = 0.3-1.66 µm.

(b) Ug = 0.2314 m/s, Lg = 150.4 µm, dx = 0.8 µm, dy = 0.3-1.66 µm.

(a) (b)

Fig. III.3 – Impact du maillage sur le profil de concentration moyenne dans la goutte.

(a) (b)

ter le phénomène de diffusion dans les liquides. Fondamentalement, ce résultat n’est bien entendu pas satisfaisant car il ne permet pas de discriminer les effets numériques de ceux purement physiques. Cependant, comme nous l’avons précédemment indiqué, l’objectif de cette étude est de fournir des informations d’ordre qualitatif pour comprendre le mécanisme de transfert massique en micro-canal et prédire l’évolution de sa cinétique en fonction des

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paramètres de l’écoulement. Par conséquent, malgré l’impact de la diffusion numérique sur les simulations, nous avons employé un maillage grossier (30 mailles pour représenter 30 µm selon la largeur) afin de garantir des temps de calcul raisonnables.

III.2.2 Résultats

III.2.2.1 Impact de la structure hydrodynamique locale de l’écoulement sur