4. Avancées en Modélisation : Profils, Information Interindividuelle et Agrégation 123
5.3. Systèmes de Contraintes Basés sur les Préférences et Problèmes d’Aide à la
5.3.4. Choix et Incohérence dans les Systèmes de Contraintes Basés sur les Préférences
5.3.4.1. La Problématique d’Aide face à l’Incohérence en Situation de Choix
Ces problèmes d’aide au choix peuvent être couplés à une problématique d’aide face à l’incohérence (§ 3.2.3.5), de manière à retourner en cas d’incohérence une réponse à la fois plus explicative que le simple “non”, et pertinente pour les préférences exprimées.
Partons donc de notre instance initiale (R = (V, D, C), {c≽[α, z]}α, z). Comme nous l’avons vu, lors d’inconsistance, plusieurs explications sont possibles : Le problème d’explication de l’incohérence retourne un sous-ensemble de contraintes C’ ⊆ C contradictoires. Le problème de relaxation cohérente retourne un ensemble de contraintes C’ ⊆ C tel que le problème de satisfaction de contraintes en R’ = (V, D, C’) soit consistant. Le problème de satisfaction de
contraintes relaxables, retourne une solution x non réalisable de R, sachant que SCSP(R) = ∅, et un sous-ensemble C’ de C tel que x ∈ SCSP(R’) avec R’ = (V, D, C \ C’).
Ces problèmes ne tiennent cependant pas compte des préférences disponibles sur les cou-ples de solutions du système de contraintes. Une possibilité est de faire usage de l’interaction homme-machine pour concevoir une nouvelle instance (R ’, {c≽’[α, z]}α, z) de problème de choix, à partir de l’instance initiale (R , {c≽[α, z]}α, z), tel que SCSP(R’) est non vide. C’est
d’ailleurs dans un tel cadre que le terme « problème sur-contraint » a été introduit. Les pro-blèmes sur-contraints permettent de combler ce manque, en convertissant certaines contraintes dures de C en contraintes souples de propriété Csoft via un dialogue avec les utilisateurs, puis en agrégeant les contraintes de Csoft avec une VB-contrainte souple de type somme pondérée, les poids étant eux aussi obtenus par un dialogue. La présence de la relation binaire de préfé-rence ≽ nécessite en plus que Csoft soit agrégée avec ≽ pour obtenir ≽’. Cette synthèse préfé-rentielle se fait aussi par un dialogue.
Mais, un gain considérable en temps de calcul peut être obtenu en traitant ces deux pro-blèmes (problème de choix et recherche d’explication) simultanément, comme faisait remar-quer VERFAILLIE & LOBJOIS [1999]. Cependant, comment tenir réellement compte des préfé-rences fournies sur DV (via {c≽[α, z]}α, z), pour automatiser cette intuition qui nous dit qu’« en cas d’inconsistance, fournir une solution – non réalisable donc – avec une explication de son incohérence qui soit la plus petite possible en terme d’importance vis-à-vis des préféren-ces. » ? Comment relaxer le système de contraintes R de manière à pouvoir identifier des so-lutions non réalisables certes, mais de bonne qualité pour {c≽[α, z]}α, z, et adéquates à la si-tuation d’incohérence ?
Avant toute investigation, les concepteurs et utilisateurs sont en droit de s’interroger sur la signification des contraintes dures de leur système de contraintes basé sur les préférences, et leurs spécificités par rapport aux contraintes souples. Nous avons vu au § 3.2.3.5 que la faisa-bilité d’une instance n’avait pas toujours le même sens profond que la faisafaisa-bilité du système réel étudié. Certaines contraintes dures véhiculent ce sens. Mais qu’en est-il des autres ? Lorsqu’elles expriment des niveaux d’aspiration ou des niveaux de qualité minimale, il est alors légitime de pouvoir les relaxer. Cette réflexion permettra de mieux comprendre les
rela-tions entre les différentes contraintes dures, et de rechercher les liens entre contraintes dures et contraintes souples. Des préférences en termes de relaxation pourront alors résulter de cette réflexion, ainsi que des relations de dépendances entre contraintes dures et souples.
En présence de préférences, un autre problème se pose. Pour des relaxations équivalentes, il est nécessaire de comparer les sous-ensembles de solutions réalisables des systèmes de contraintes relaxées pour choisir l’explication. Prenons un exemple illustré par la Figure 23 :
Figure 23 : Illustration de l’incohérence sur un système de contraintes dont les solutions sont totalement préordonnées.
Considérons un P-CS (R = (V, D, C), {c≽[α, z]}α, z) avec :
C = {c1, c2, c3, c4} ; ≽ est un préordre total ; Rinconsistant ⇔SCSP(R) = ∅, et SCSP((V, D, Ci)) ≠ ∅ en notant Ci = C \ {ci} pour tout i = 1, …, 4. Supposons en plus qu’en termes de relaxa-tion, moins il y a de contraintes supprimées, plus la relaxation est interessante. De plus, sup-primer ci est équivalent à supsup-primer cj pour tout 1 ≤ i , j ≤ 4. En regardant la Figure 23, la meilleure relaxation serait celle qui supprime la contrainte c2, car SCSP((V, D, C2)) propose des solutions de meilleure qualité que SCSP((V, D, Ci)) pour tout i ∈ {1, 3, 4}.
Ainsi, dans le cadre d’un préordre total ≽, un problème de relaxation cohérente, tenant compte de ≽, devrait retourner C2. Pour pouvoir identifier la meilleure relaxation entre plu-sieurs relaxations équivalentes, le problème se base sur le principe suivant :
∀ A, B ⊆ DV, A est préféré à B ⇔ les solutions de meilleure qualité pour A sont aussi les solutions de meilleure qualité pour A ∪ B.
A est indifférent à B ⇔ les solutions de meilleure qualité pour A sont équivalentes aux solutions de meilleure qualité pour B.
La recherche d’explication, à partir d’une relation binaire de préférence ≽, est donc basée sur la comparaison de sous-ensembles de DV.
Mais dans le cas général, est-il toujours possible de comparer les meilleures solutions de deux sous-ensembles non vides A et B de DV ? Si la réponse est négative, y a-t-il des condi-tions, un cadre ? Dans le cas transitif complet, les axiomes de comparaison d’ensembles sous-jacents à l’optimisation consistent à comparer les sous-ensembles via leurs meilleurs élé-ments. La relation binaire définie sur P(S) par le principe ci-dessus est un préordre total.
Hors du cadre transitif, ces axiomes ne sont plus immédiats. Identifions le problème par un exemple : La Figure 24 présente le cas de deux ensembles A = {x, y, z} et B = {x, y, t} possé-dant chacun un ensemble maximal : M(A, ≽) = {x}, M(B, ≽) = {y}, mais où leur union ne possède pas d’ensemble maximal : M(A ∪ B, ≽) = ∅.
S(c3) S(c4) S(c2) S(c1) DV Légende : • Le rectangle schématise l’ensemble des solutions DV. • Chaque disque désigne
l’ensemble des solutions réali-sables d’une contrainte. • Le dégradé exprime les
préfé-rences : Plus la couleur est foncée, plus la valeur de la solution est élevée.
Figure 24 : Illustration de difficultés rencontrées lorsque deux ensembles maximaux sont comparés.
Des cas d’école peuvent aussi être construit, où l’union des ensembles maximaux de A et B n’a pas d’ensemble maximal. Par exemple, pour A = {x, y} et B = {z, t}, nous avons M(M(A, ≽) ∪ M(B, ≽), ≽) = ∅. A moins d’utiliser des axiomes de choix identifiant pour tout sous-ensemble A non vide un sous-ensemble de choix non vide, comme les e.r.o.m.i. ou les e.r.m.m.i. (§ 3.4.4), il n’existe pas toujours un ensemble de choix pour une axiomatique donnée. Dans ce cas, pour envisager d’utiliser une axiomatique de choix SA, il est nécessaire d’identifier la structure minimale pour ≽ telle que CSA(A) ≠ ∅ ∀ A ⊆ DV, et de s’y restreindre.
Les axiomes de comparaison d’ensembles permettent de répondre aux questions suivantes : – Pour tout sous-ensemble A, B non vide de DV, est-ce que pour tout élément x de B il existe
un élément y de A vérifiant que y ≽ x ?
– Est-ce que pour tout élément x de CSA(B), il existe un élément y de CSA(A) vérifiant que y ≽ x ?
Plus généralement,
– Est-ce que l’on compare A et B ? CSA(A) et CSA(B) ? Est-ce la même chose ? Dans quels cas est-ce la même chose ? Comment la comparaison se fait-elle ? Élément par élément ? Sous-ensemble par sous-ensemble ? En évaluant où se trouvent les meilleurs éléments de l’union CSA(A ∪ B) ou CSA(CSA(A) ∪ CSA(B)) ?
Cette comparaison aboutit à une relation binaire de préférence sur P(S).
5.3.4.2. Rationalisabilité et Aide face à l’Incohérence en Situation de Choix
La comparaison des ensembles de choix de sous-ensembles d’un ensemble structuré par une relation binaire de préférence (S, ≽) donné, a fait l’objet de beaucoup d’études en TCS120. Les travaux ont porté principalement sur l’ensemble optimal, et depuis peu sur l’ensemble maximal (SUZUMURA [1983], SEN [1997]).
Un des problèmes étudié est le suivant : Ils cherchent à caractériser les relations non binai-res de préférence rnp(S) = (A, C), pour lesquelles il existe une relation binaire de préférence ≽rnp dont l’ensemble optimal (resp. maximal) en chaque sous-ensemble A ∈ A est égal à
C(A) : pour tout A ∈ A, B(A, ≽rnp) = C(A) (resp. : M(A, ≽rnp) = C(A)). Une telle relation non binaire de préférence est dite rationalisable. La relation binaire ≽rnp est obtenue, via la rela-tion non binaire rnp(S) de différentes façons appelées axiomes des préférences révélées. En voici deux :
≽rnp = {(x, y) ∈ C(A) × A, pour tout A ∈ A}, et ≽rnp = {(x, y) ∈ C(A) × (A \ C(A)), pour tout A ∈ A} .
Notre problème suppose donnée une relation binaire de préférence ≽, une axiomatique de choix SA, et considère la relation non binaire de préférence associée rnpSA, ≽(S) obtenue via la formule (3–13) donnée au § 3.4.6.3. Nous cherchons alors à savoir, (a) si cette relation non binaire de préférence est complète (§ 3.3.4), et (b) si les opérations ensemblistes, comme l’inclusion, l’union et l’intersection induisent des propriétés particulières sur les ensembles de
120 Ces études ont été menées dans le cadre des relations non binaires de préférence et des fonctions de choix (§ 3.3.4). Nous renvoyons à toute la riche littérature sur le sujet : SEN [1970, chap. 1*], [1971], [1986], [1993b], [1997a], SUZUMURA [1983, chap. 2], parmi d’autres.
Remarque : les arcs réflexifs ont été omis. x z y t B A
choix. Notre but à terme, est de savoir quand il est possible et acceptable de comparer deux ensembles de choix de deux sous-ensembles non vides A, B de S.
La TCS a établi des conditions nécessaires et suffisantes sur ≽ pour que la relation non bi-naire de préférence rnpSA, ≽(S) soit complète, lorsque SA est l’optimalité (resp. la maximalité). Ainsi, nous avons les propriétés suivantes (SEN [1970], SUZUMURA [1983]) :
(a) Il existe un ensemble optimal pour tout sous-ensemble non vide de (S, ≽) ssi ≽ est P-acyclique complet.
(b) Il existe un ensemble maximal pour tout sous-ensemble non vide de (S, ≽) ssi ≽ est fortement P-acyclique.
Plusieurs autres résultats et axiomes pertinents sont disponibles en TCS. Nous ne nous in-vestirons pas ici.
Au delà de ces questions de comparaison d’ensembles, d’autres problèmes doivent être ré-solus avant d’arriver à une problématique technique ayant des bases solides, et à partir des-quelles des algorithmes pourront émerger.