Choix d’une approche multiéchelle

Dans le présent travail, on se propose de développer une approche multiéchelle de l’os cortical tenant compte de l’échelle de MCM. Pour ce faire, la méthode des réseaux de neurones précédemment décrite dans le chapitre 2 a été appliquée pour modéliser l’ultrastructure osseuse. Pour modéliser les échelles microscopiques et macroscopiques, les équations d’homogénéisation développées par Martinez et al [MARTINEZ et al, 2011] ont été utilisées et couplées à l’algorithme de réseaux de neurones.

L’approche multiéchelle proposée par Martinez et al. [MARTINEZ et al, 2011] est présentée ci-dessous.

1.3.1. Niveau 1 : constituants élémentaires

Les formes tensorielles des bornes inférieures et supérieures classiques de Voigt (V) et Reuss (R) pour les composites collagène/eau et minéral/eau sont estimées par les équations suivantes [YOON et COWIN, 2008a]:

(3.1) (3.2) (3.3)

Chapitre 3 : Modélisation multiéchelle du tissu osseux

__________________________________________________________________________________________ (3.4)

(3.5)

avec désignant respectivement les tenseurs de rigidité des composites collagène/eau et minéral/eau, sont les tenseurs de souplesse collagène/eau et minéral/eau, et sont les fractions volumiques d'eau dans les composites de collagène/eau et minéral/eau et désignant respectivement les tenseurs de rigidité et la fraction volumique de l’eau dans le composite extrafibrillaire minéral/eau [MARTINEZ et al, 2011].

Le module de cisaillement et le module de compressibilité du collagène/eau et du minéral/eau sont déterminés avec la méthode des bornes de Voigt (V) et Reuss (R), par les équations (3.6) et (3.7):

Collagène/eau (3.6)

Minéral/eau (3.7)

1.3.2. Niveau 2 : Fibrille de collagène minéralisée

Dans cette étape, la FCM est considérée comme un composite dans lequel les molécules TC (matrice) sont renforcées par des plaquettes en forme de cristaux (inclusion). Les cristaux sont supposés être périodiquement répartis le long des grands axes des molécules TC. Nemat et al., [NEMAT-NASSER et HORI, 1999] ont proposé une méthode pour calculer le tenseur de rigidité effective du composite, avec des inclusions régulièrement réparties comme suit :

(3.8) où est le tenseur de rigidité effective de la FCM, sont respectivement les tenseurs de rigidité des composites, minéral-eau et collagène-eau obtenus dans l’étape (1).

est le tenseur identité, la fraction volumique des cristaux HA dans la FCM, défini à un opérateur périodique pour des inclusions de cristaux HA dans une matrice du collagène.

Chapitre 3 : Modélisation multiéchelle du tissu osseux

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1.3.3. Niveau 3 : Fibre de collagène minéralisée

La FECM est considérée comme un composite avec des FCMs de forme cylindrique uniformément répartis dans une matrice du minéral et d’eau. Le tenseur de rigidité effective de la fibre est décrit par l’équation (3.9) de la même manière que pour la FCM :

(3.9)

est la fraction volumique des FCMs dans la FECM, est l’opérateur périodique correspondant à des cylindres (FCMs) de longueur infinie dans une matrice du minéral avec un tenseur de rigidité .

1.3.4. Niveau 4 : lamelle

Le tenseur de rigidité de la lamelle Cl est décrit par l’équation (3.10): la lamelle est supposée un matériau composite à matrice extrafibrillaire de minéral et d’eau combinée avec des inclusions cylindriques (FECM) périodiquement réparties [NEMAT-NASSER et HORI, 1999]:

(3.10) ΦF est la fraction volumétrique de fibres.

1.3.5. Niveau 5 : lamelle avec canalicules

Afin de modéliser la porosité dans les lamelles, des pores sous forme de canalicules ont été introduits. Les canalicules (vides) sont des formes cylindriques périodiquement réparties avec une rigidité nulle [MARTINEZ et al, 2011]. Le tenseur de rigidité des lamelles avec canalicules peut-être exprimé par l'équation suivante [NEMAT-NASSER et HORI, 1999]:

(3.11) est la porosité canaliculaire, est l'opérateur périodique des inclusions cylindriques de longueur infinie dans la matrice de tissu lamellaire.

Chapitre 3 : Modélisation multiéchelle du tissu osseux

__________________________________________________________________________________________ Le tenseur de rigidité d'un regroupement des lamelles composé de trois couches orientées différemment dans trois directions LRC des canalicules, longitudinale (L), radiale (R) et circonférentielle (C), est calculé en utilisant les équations suivantes [CHOU et al, 1972]: l’équation (3.22) est appliquée lorsque et sont 1, 2, 3 ou 6.

(3.13)

où est la fraction volumique de couches, l’indice correspondant respectivement

à .

dans le cas où et , .

Dans le cas où et sont 4 ou 5, les composants seront estimés en utilisant les équations (3.14) et (3.15):

(3.14)

avec :

(3.15)

1.3.7. Niveau 7 : lamelles avec lacunes

À ce niveau d’échelle, la porosité lacunaire est ajoutée dans les lamelles avec la même hypothèse de niveau 5 proposée par [MARTINEZ et al, 2011]: les lacunes sont des formes ellipsoïdales périodiquement réparties dans la matrice des lamelles. Le tenseur de rigidité des lamelles avec les lacunes est estimé par l'équation (3. 26):

(3.16) est la porosité lacunaire et est l'opérateur périodique des inclusions ellipsoïdales.

Chapitre 3 : Modélisation multiéchelle du tissu osseux

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1.3.8. Niveau 8 : ostéons

Yoon et Cowin [YOON et COWIN 2008b] considèrent que le tissu lamellaire est orthotrope. Cependant, l'agencement du tissu forme des ostéons de forme à peu près cylindrique, ce qui donne une symétrie transversalement isotrope. Cela permet de donner une valeur moyenne des bornes supérieure et inférieure de la tissue lamelle comme estimation des constants élastiques isotropes de tenseur de rigidité de l’ostéon .

1.3.9. Niveau 9 : superposition des ostéons

L'équation de Martínez et al. [MARTINEZ et al, 2011] est utilisée pour estimer le tenseur de rigidité :

(3.17)

où et sont respectivement les tenseurs de rigidité des nouveaux ostéons formés et des anciens ostéons, est la fraction volumique d’ostéons nouvellement formés. est le tenseur de polarisation pour des inclusions cylindriques liées au tenseur d’Eshelby ; le tenseur de rigidité de la matrice est obtenu en utilisant l'équation suivante [SOUVOROV et DVORAK, 2002]:

(3.18) est résolu itérativement avec une valeur initiale de =

1.3.10. Niveau 10 : l’os cortical

L'interprétation de Benveniste de l'approche de Mori-Tanaka pour les inclusions vides est adoptée dans cette étude pour calculer le tenseur de rigidité du tissu cortical [BENVENISTE, 1987].

(3.19)

Chapitre 3 : Modélisation multiéchelle du tissu osseux

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Conclusion

Dans ce chapitre nous avons donné une vision claire sur la structure hiérarchique multiéchelle de l’os : les constituants de l’os à chaque niveau d’échelle, du nano au macro, les travaux multiéchelle réalisés sur ce problème et les différentes méthodes utilisées. Cette étude bibliographique nous a permis d’adopter les équations développées par Martinez et al. [MARTINEZ et al, 2011] pour modéliser le comportement des échelles micro à macro. Cette approche proposée par Martinez et al ne prend pas en compte l’échelle MCM et ne modélise pas les cross-links. Pour pallier cette insuffisance, on propose une modélisation multiéchelle hybride complète de l’os cortical, couvrant la description de tous les niveaux hiérarchiques: constituants élémentaires (collagène, minéral, cross-links)-ultrastructure (MCM, FCM, FECM)-micro-méso-macro. La description et l’implémentation de cette approche est présentée dans le chapitre 4.