Changement de variable, intégration par parties

9.1. Changement de variable.

Théorème : Soit Φ une fonction de classe C¹ de I = [a, b] dans R. Pour toute fonction f continue de J = Φ(I) dans E, on a :

∫

_Φ^Φ₍⁽_a^b₎^{)f(x).dx =}

∫

_a^b

^{f (}

^Φ

^{( t )).}

^Φ

^{'( t ). dt}

^.

Preuve : Les fonctions y →

∫

_Φ^Φ₍⁽_a^y₎^{)f(x).dx et y →}

∫

_a^y

^{f (}

^Φ

^{( t )).}

^Φ

^{'( t ). dt}

sont définies et de classe C¹ sur [a, b], la première en tant que composée. Elles ont même dérivée f(Φ(y)).Φ’(y) et même valeur en a.

Remarque : En pratique, ce théorème s’utilise dans les deux sens :

− dans le sens

∫

_a^b

^{f (}

^Φ

^{( t )).}

^Φ

^{'( t ). dt}

⁼

∫

_Φ^Φ₍⁽_a^b₎^)f(x).dx , il suffit de poser x = Φ(t) et le changement de variable « se fait tout seul » dans la forme différentielle ω = f(Φ(t)).Φ’(t).dt = f(x).dx.

− dans le sens

∫

_α^β

^{f ). ( x dx}

⁼

∫

_a^b

^{f (}

^Φ

^{( t )).}

^Φ

^{'( t ). dt}

^{, où a = Φ−1(α) et b = Φ−1(β}), il faut s’assurer que Φ est C¹ et strictement monotone.

Voici une généralisation partielle du théorème précédent :

Exercice 1 : Soit Φ une fonction de classe C¹ et strictement monotone de I = [a, b] dans R. Pour toute fonction f réglée de J = Φ(I) dans E, on a :

∫

_Φ^Φ₍⁽_a^b₎^{)f(x).dx =}

∫

_a^b

^{f (}

^Φ

^{( t )).}

^Φ

^{'( t ). dt}

^.

[Ind. : utiliser des sommes de Riemann ; adapter la méthode précédente est possible, mais délicat.]

Exercice 2 : How I want a drink, alcoholic of course…

1) Calculer

∫

₀¹

¹

⁻

^{x ² . dx}

^,

∫

₀^x

¹

⁻

^{t ² . dt}

. 2) Trouver lim_n

∑

9.2. Intégration par parties.

« Si vous ne savez pas quoi faire, intégrez par parties ! » PJH

En apparence, l’intégration par parties est une recette de cuisine, dont la démonstration, dans les cas usuels, tient en deux lignes. En réalité, l’intégration par parties sert à peu près à tout. Cette disproportion entre la simplicité du résultat et l’étendue de ses applications m’a toujours paru mystérieuse. J’ai tâché de l’expliquer, mais je ne suis pas sûr d’y être arrivé.

Proposition (Leibniz, Taylor) : Soient u et v deux fonctions [a, b] → C de classe C¹ ; on a :

∫

_a^b

^{u ( x ). v '( x ). dx}

⁼

^{[ u ( x ). v ( x ) ]}

^{ba −}

∫

_a^b

^{u '( x ). v ( x ). dx}

^.

Preuve : u.v est une fonction de classe C¹ sur [a, b], et (u.v)’ = u’.v + u.v’.

Il reste à intégrer via le théorème de Newton-Leibniz.

Remarque : La formule précédente peut se résumer ainsi :

∫

_a^b

^{u. dv}

⁼

^{[ ]}

^{u.vba −}

∫

_a^b

^{v. du}

en introduisant les formes différentielles u(x)v’(x).dx et u’(x)v(x).dx.

En termes de formes différentielles, ω = d(uv) = u.dv + v.du est une forme fermée et exacte, que l’on peut intégrer sur tout arc paramétré Γ joignant A(u(a), v(a)) à B(u(b), v(b)) ; si l’on choisit pour Γ l’arc M(x) = (u(x), v(x)), il vient :

∫

_Γ

^ω

= u(b).v(v) – u(a).v(a) =

∫

_a^b

^{[ u ( x ) v ' ( x )}

⁺

^{u ' ( x ). v ( x )]. dx}

^.

Tout cela peut paraître oiseux, mais sera interprété ci-dessous.

Généralisations :

1) Extension aux fonctions vectorielles.

On peut supposer u vectorielle et v scalaire : u ∈ C¹(I, E), v ∈ C¹(I, K), où E est un K-espace de Banach, ou l’inverse. Plus généralement encore, si E, F, G sont trois espaces de Banach et (x, y) → [x, y] une application bilinéaire continue de E×F dans G, alors si u ∈ C¹(I, E) et C¹(I, F),

∫

_a^b

^{[ u ( x ). v ' ( x )]. dx}

⁼

^{[ u ( x ). v ( x ) ]}

^{ba −}

∫

_a^b

^{[ u ' ( x ). v ( x )]. dx}

^.

Cela s’applique pour un produit scalaire, vectoriel, matriciel, etc. Attention à l’ordre ! 2) Extension aux fonctions C¹ par morceaux.

3) Extension aux fonctions « à dérivée réglée ». La formule d’intégration par parties s’étend aussi au cas où u(x) =

∫

_a^x

^{f ). ( t dt}

^{et v(x) =}

∫

_a^x

^{g ). ( t dt}

, f et g étant réglées et jouant le rôle de u’ et v’ resp.

Proposition : Soient f et g deux fonctions réglées [a, b] → C, u(x) =

∫

_a^x

^{f ). ( t dt}

et v(x) =

∫

_a^x

^{g ). ( t dt}

^.

Alors

∫

_a^b

^{u ( x ) g ( x ). dx}

⁼

^{[ u ( x ). v ( x ) ]}

^{ba −}

∫

_a^b

^{f ( x ). v ( x ). dx}

^.

Preuves résumées.

1) Soit par étapes, commençant par f et g fonctions caractéristiques de sous-segments [a, c) et [a, d), puis f et g en escaliers, puis passer à la limite.

2) Par sommes de Riemann. Si σ = (xi) est une subdivision de [a, b], écrire :

Remarque :Ces extensions ont à mes yeux moins d’intérêt que la remarque suivante, qui relève des

« preuves sans mots » chères à certains pédagogues anglo-saxons.

Interprétation géométrique de l’intégration par parties.

La preuve de

∫

_a^b

^{u. dv}

⁼

^{[ ]}

^{u.vba −}

∫

_a^b

^{v. du}

est tellement courte qu’elle masque la signification intuitive de la formule.

Or cette formule a une interprétation géométrique très simple, du moins lorsque les fonctions u et v sont strictement croissantes.

La figure ci-contre représente le graphe de la fonction φ = v o u⁻¹ : [u(a), u(b)] → [v(a), v(b)].

Considérons la bijection réciproque

ψ = u o v⁻¹ : [v(a), v(b)] → [u(a), u(b)]

Or il est intuitivement évident que :

∫

_u^u₍⁽_a^b₎^{)φ(s).ds +}

∫

_v^v₍⁽_a^b₎^)ψ(t).dt = u(b).v(b) – u(a).v(a).

Or les changements de variable s = u(x) et t = v(x) donnent :

∫

_u^u₍⁽_a^b₎^{)φ(s).ds =}

∫

_a^b

^{φ ( u ( x )). u ' ( x ). dx}

⁼

∫

_a^b

^{v ( x ). u ' ( x ). dx}

^.

∫

_v^v₍⁽_a^b₎^{)ψ(t).dt =}

∫

_a^b

^{ψ ( v ( x )). v ' ( x ). dx}

⁼

∫

_a^b

^{u ( x ). v ' ( x ). dx}

^{. Cqfd !}

Supposons maintenant u croissante et v croissante sur [a, c], puis décroissante sur [c, b], alors le graphe de :

φ = v o u⁻¹ : [u(a), u(b)] → [v(a), v(b)]

est la réunion des graphes des deux fonctions : ψ1 = u o v₁⁻¹ : [v(a), v(c)] → [u(a), u(c)]

et ψ2 = u o v₁⁻¹ : [v(b), v(c)] → [u(c), u(b)],

où v₁ et v₂ sont les restrictions de v à [a, c] et [c, b] resp.

On a toujours :

∫

_u^u₍⁽_a^b₎^{)φ(s).ds =}

∫

_a^b

^{φ ( u ( x )). u ' ( x ). dx}

⁼

∫

_a^b

^{v ( x ). u ' ( x ). dx}

, alors que

∫

_a^b

^{u ( x ). v ' ( x ). dx}

⁼

∫

_a^c

^{u ( x ). v ' ( x ). dx}

⁺

∫

_c^b

^{u ( x ). v ' ( x ). dx}

⁼

∫

_v^v₍⁽_a^c₎^{)ψ1(v(x)).v'(x).dx −}

∫

_v^v₍⁽_b^c₎^{)ψ2(v(x)).v'(x).dx.}

Interprétation géométrique à peine moins facile.

On peut traiter de même le cas où v et u sont monotones par morceaux.

De façon générale,

∫

_a^b

^{u. dv}

⁼

∫

_a^b

^{u ( x ) v ' ( x ). dx}

s’interprète géométriquement, dans le plan des u-v, comme l’aire algébrique située entre l’axe des u, les verticales v = u(a), v = u(b), et l’arc paramétré M(x) = (u(x), v(x)). Cela est manifeste si l’on utilise le résultat suivant, corollaire de la formule de Green-Riemann :

Proposition : L’aire d’un compact simple K est donnée par :

A =

∫∫

_K

^dxdy

⁼

∫

_∂K

^{x. dy}

^{= −}

∫

_∂K

^{y. dx}

⁼

₂ ¹ ∫

_∂K

^{( x . dy}

⁻

^{y . dx )}

où le bord ∂K est orienté dans le sens positif.

Revenons aux cas où u et v sont croissantes. On conçoit que lorsque l’une des fonctions u ou v croît plus rapidement que l’autre, l’une des deux aires soit négligeable devant l’autre, car la fonction Φ est presque constante avant de croître brusquement. C’est pourquoi l’intégration par parties est utilisée pour obtenir des équivalents d’intégrales.

L’intégration par parties a de nombreuses applications : calculs récurrents d’intégrales, équivalents d’intégrales fonctions de leurs bornes, déplacement de masse dans des suites d’intégrales, etc.

Exercice 3 : Calculer les intégrales I_p,q =

∫

₀¹

^{( 1}

⁻

^{t )}

^p

^{. t}

^q

^{. dt}

, (p, q) ∈ N². Exercice 4 : Intégrales de Wallis W_n =

∫

₀^π/2

^sin

ⁿ

^{t . dt}

⁼

∫

₀^π/2

^cos

ⁿ

^{t . dt}

^.

1) Montrer que (∀n ≥ 2) n.Wn = (n − 1).W_n−1 ; calculer W₀ et W₁, puis W_n pour tout n.

2) Montrer que W_n ↓ 0 , et que W_n∼ W_n−1 . En déduire la formule de Wallis :

π ²

^{= limn→+∞ 1.3.3.5.25....(2.42.4n...(−1).(2n2).(n−21n).() 2n+1) =}

∏

_n^+∞₌₁⁽¹⁻_4.¹_n²^).

3) Que dire de la suite (n.W_n.W_n−1) ? En déduire l’équivalent W_n∼

n 2 π

_.

4) Application : On jette une pièce de monnaie 2n fois. Quelle est la probabilité p_n qu’elle tombe n fois sur pile, n fois sur face ? Equivalent de la suite p_n ?

Exercice 5 : On considère plus généralement les intégrales I_p,q =

∫

₀^π/2

^sin

^p

^{t . cos}

^q

^{t . dt}

^{(p, q) ∈ N2.}

Trouver une formule de récurrence liant les I_p,q , et en déduire leur expression générale. ¹² Cas où (p, q) ∈ Z² ?

Exercice 6 : Calculer les intégrales I_n =

∫

^x t ₊ n

dt

0(² 1) . Lien avec les intégrales de Wallis ? En déduire une méthode d’intégration des fractions rationnelles F(x) ∈ R(X).

Corollaire : intégration par parties à l’ordre n. Soient u et v ∈ Cⁿ([a, b], K).

∫

_a^b

^{u ( x ). v}

⁽ⁿ⁾

^{( x ). dx}

⁼

b

a n

k

k n

k

u

k

x v x





∑

⁻ −

=

− 1 −

0

) 1 ( )

(

( ). ( )

. ) 1

(

+ (−1)ⁿ

∫

_a^b

^u

⁽ⁿ⁾

^{( x ). v ( x ). dx}

^.

12 Les W_n et les I_pq sont des cas particuliers de la fonction Bêta : I_pq = (1/2).B((p+1)/2,(q+1)/2).

Formule de Taylor avec reste intégral : Soient I un intervalle de R, f ∈ Cⁿ⁺¹(I, E), a un point

Remarques : 1) Cette formule est aussi dite formule de Taylor-Laplace. On la trouve en effet dans la Théorie analytique des probabilités de Laplace. Celui-ci insistait à juste titre sur l’intérêt de présenter sous forme intégrale les expressions de l’analyse : suites, restes ou sommes partielles de séries, etc. Il avait compris que cette représentation intégrale permettait d’obtenir des encadrements, des équivalents, etc.

Dans le document A la mémoire de Jacques Tuloup , Pierre-Jean Hormière ___________ (Page 28-32)