2 m
S ~ 6 m2
s ~ 1 m2
A ~ 110dB
a ~ 90dB
Fig.7.6:Repr´esentation sch´ematique d’une avalanche sur le terrain (`a gauche) et en canal (`a droite). La diff´erence de surface n’explique pas la diff´erence d’amplitude entre les deux configurations. Il peut s’agir soit d’une synchro- nisation des zones coh´erentes par les ondes de surface, soit d’une plus grande ´epaisseur de la couche cisaill´ee.
7.3
Chaˆınes de forces
Les empilements granulaires sont caract´eristiques par l’organisation en r´eseaux des contraintes au sein du mat´eriau, et ces r´eseaux sont plus commun´ement appel´es “chaˆınes de forces”. D’abord remarqu´ees par Dantu et al. [72, 73] , puis mises en ´evidence exp´erimentalement par Drescher et Josselin de Jong dans les ann´ees 70 [74], elles ont subi un regain d’int´erˆet au milieu des ann´ees 90 [75], au plus fort de l’engouement de la communaut´e physicienne pour les mat´eriaux granulaires, avec notamment les travaux de Radjai et al. [76], [77] qui ont affin´e la caract´erisation de ces r´eseaux en montrant (entre autres) l’existence de deux sous-r´eseaux, un compos´e des forces dites “fortes” — c’est `a dire dont la norme est sup´erieure `a la contrainte moyenne — qui soutient toutes les contraintes ext´erieures exerc´ees sur le milieu, et un autre des forces dites “faible” — inf´erieure `a la moyenne — qui a pour mission d’assurer l’´equilibre des forces et une pression relativement homog`ene. Ont suivi les travaux de Behringer et al. [78, 79, 80, 81] qui a pu visualiser ces r´eseaux de forces dans un milieu granulaire cisaill´e — les
premi`eres exp´eriences portaient plutˆot sur des empilement statiques, et les seuls cisaillements ´etaient destin´es `a changer les configurations pour faire des statistiques. Lorsqu’il ne s’agit pas de simulations num´eriques, le moyen “classique” de visualiser ces chaˆınes de forces est d’utiliser des grains faits d’un mat´eriau bi-r´efringent que l’on ´eclaire entre deux polariseurs, perpendicu- lairement au plan de l’exp´erience. Les d´eformations des grains vont alors changer les indices du milieu selon la polarisation de l’onde, c’est `a dire rendre bi-r´efringent le milieu, et faire tourner la polarisation de la lumi`ere dans ces zones, qui vont s’assombrir en passant par l’autre polariseur, et on obtient ainsi une carte des chaˆınes de forces dans le milieu.
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Fig. 7.7: Photos de chaˆınes de forces. Les grains utilis´es sont bi-r´efringents et plac´es entre deux po- lariseurs crois´es. Une contrainte exerc´ee sur ces grains modifie leurs indices optiques et fait tourner le plan de polarisation de la lumi`ere, ce qui permet de les voir de l’autre cˆot´e du polariseur. Sources : 1- Behringer homepage http ://www.phy.duke.edu/research/cm/behringer/, 2 - http ://denali.phys.uniroma1.it/ pu- glisi/thesis/node5.html, 3 - article Behringer Chaos 1999, 4 - article Howel-Behringer PRL 1999
7.3 Chaˆınes de forces
Initialement, les ´ecoulement de cisaillement ´etudi´es avec cette technique l’ont ´et´e `a volume constant. Cette particularit´e est en fait responsable de ph´enom`enes tr`es particuliers, comme la localisation du cisaillement en bandes, ou bien le fait que les chaˆınes de forces sont en moyenne orient´ees le long de la direction maximale de compression — c’est `a dire 45˚pour un cisaillement [82].Toutefois, ces ´ecoulement ne correspondent pas vraiment `a des situations plus “courantes” comme les avalanches, o`u c’est plutˆot la contrainte ext´erieure qui est impos´ee. Ainsi Campbell en 2005 [83] propose des simulations o`u la contrainte ext´erieure est impos´ee et remarque alors un mouvement dynamique des chaˆınes de forces.
Rassemblant tout ceci, Mills et al. proposent en 1999-2000 [84] [85] un mod`ele d’´ecoulement gra- nulaire en avalanche bas´e sur l’interaction entre le r´eseau des forces importantes (i.e. les chaˆınes de forces) et le r´eseau de forces faibles, consid´er´e comme un fluide visqueux [86]. Dans ce mod`ele on suppose que les chaˆınes tournent pendant l’´ecoulement, entraˆın´ees par le gradient de vitesse dans les grains en interaction faible. Cette id´ee de chaˆınes de forces tournant avec l’´ecoulement de cisaillement est importante pour nous : en effet, le mod`ele de Thomson (et son extension sur plan inclin´e, d´evelopp´ee au chapitre 2) suppose la synchronisation de tous les grains, ce qui n’est pas du tout r´ealiste ´etant donn´e la rugosit´e des grains et la dispersion en taille, aussi minime soit-elle. Par contre, on voit bien qu’une chaˆıne de force tournant dans l’´ecoulement va entraˆıner une augmentation de la hauteur — ou une diminution de la densit´e, au moins localement. Cet effet a ´et´e remarqu´e dans des simulations num´eriques [87] (sans forc´ement ˆetre interpr´et´e comme une rotation de chaˆınes de forces). Il nous vient donc `a l’esprit que plutˆot que chercher `a syn- chroniser tous les grains entre eux, il est sˆurement plus r´ealiste (et plus simple !) de chercher `a synchroniser les chaˆınes de forces entre elles. Pour cela il nous faut un ´el´ement de l’´ecoulement qui a une action non locale et qui est au contact direct avec ces chaˆınes de forces, puisque les interactions sont principalement des interactions de contact. Comme meilleur candidat, nous avons la partie en bloc de l’´ecoulement, au-dessus de la zone de cisaillement. Bagnold avait d´ej`a pressenti l’importance de la partie en bloc de l’´ecoulement (”plug flow” dans “physics of Blown sand” [33]) : pour lui, il n’y a pas d’avalanches chantantes sans la pr´esence du bouchon `a la surface de l’´ecoulement. Dans la suite, nous allons consid´erer un cadre th´eorique tr`es proche de celui de Mills et al., en ajoutant par-dessus un bloc solide capable d’ˆetre soulev´e par les chaˆınes de forces. Nous n’´etudierons pas vraiment les forces impliqu´ees (forces qui n´ecessitent d’avoir
une bonne connaissance de la viscosit´e granulaire li´ee au r´eseau de forces faibles [88], difficile `a appr´ehender lorsque l’on n’a pas acc`es au profil de vitesse).