5.1 R^ole de la cavite optique
Placee sur le banc de detection, cette cavite optique a pour but d'ameliorer le con-traste du faisceau a la sortie de l'interferometre avant que celui-ci ne soit detecte par les photodiodes. Comme la frange noire est egale a la dierence des deux faisceaux des deux bras, les defauts de contraste (1-C) vont provenir de l'asymetrie de l'interferometre. Deux phenomenes peuvent ^etre a l'origine d'un defaut de contraste:
{
l'asymetrie des pertes du mode fondamental dans chacun des bras de l'interfe-rometre{
les deformations asymetriques du front d'onde dues aux imperfections des com-posants optiquesLe deuxieme type de defauts sont les defauts dominants que l'on pourra corriger jusqu'a retomber sur la limite du premier type de defauts.
Ce deuxieme defaut va se traduire par l'apparition de modes d'ordre superieur. An de rendre ces modes negligeables devant le mode fondamental, il est prevu d'utiliser ce que l'on appelle un \mode cleaner". Le mode cleaner est une cavite Fabry-Perot triangulaire, accordee sur le mode fondamental. Il se comporte comme un ltre spatial, transmettant le mode resonnant et re echissant tous les autres modes.
Le champ electromagnetique a la sortie de l'interferometre est compose de trois fre-quences: la porteuse de frequence f = 0 (0 est la frequence d'emission du laser) et deux bandes laterales f =0
. Le champ de chacune de ces trois frequences peut se 49
Chapitre 5: Cavite optique en sortie de VIRGO: \mode cleaner"
decomposer en une superposition de plusieurs modes produits par les imperfections des substrats et des surfaces re echissantes des miroirs. Il peut s'ecrire sous la forme generale:
(f) = X
mnamn(f) mn(f)
ou les termes mn representent les modes d'Hermite-Gauss d'ordre (m,n). Ces modes transverses produisent une augmentation de la puissance sur les photodiodes sans pour autant donner plus de signal car ils ne sont pas resonnants dans les cavites Fabry-Perot des deux bras de l'interferometre.
Le r^ole du mode cleaner est donc de ltrer ces modes transverses tout en transmettant correctement la composante fondamentale de la porteuse et des bandes laterales.
5.2 Faisceaux gaussiens
Les modes d'Hermite-Gauss forment une base complete des solutions de l'equation d'onde paraxiale 20]:
(5 2
+k2
) (x y z) = 0 (5.2.1)
ou k est le vecteur d'onde.
Un faisceau lumineux peut donc toujours ^etre decrit en terme de superposition de modes d'Hermite-Gauss.
5.2.1 Mode gaussien fondamental
Le mode fondamental d'un faisceau se propageant suivant l'axe Oz s'ecrit sous la forme 23]: 00(x y z) =N e;x2 +y2 w 2 (z) e;i k 2R(z) (x2 +y2 ) e;i (kz;'(z)) (5.2.2) ou N est un facteur de normalisation.
L'amplitude du champ 00 varie de facon gaussienne suivant la position (x,y) dans le plan transverse. Le terme w(z) (egal a la distance par rapport a l'axe z pour laquelle l'amplitude a diminue de 1/e) donne une mesure de la taille du faisceau (gure 5.2.1).
Cette taille varie lorsque le faisceau se propage le long de l'axe z. Le faisceau se \contracte" et, en un certain plan de l'axe de propagation, il passe par un minimum appele waist (w=w0). Si on choisit la position de ce plan comme origine (z=0), la relation donnant l'evolution de w est decrite en fonction de w0 et de la distance z par:
w2 (z) = w2 0 2 41 + z w2 0 ! 2 3 5 (5.2.3) 50
Partie 5.2: Faisceaux gaussiens 2 w0 1/e 1 amplitude r
Figure 5.2.1: Distribution d'amplitude d'un faisceau gaussien.
Il faut noter que la longueur d'onde utilisee est toujours la longueur d'onde de la radiation dans le milieu dans lequel se propage le faisceau.
L'equation (5.2.3) peut s'ecrire sous la forme:
w(z) w0 ! 2 ; z w2 0 ! 2 = 1
qui est l'equation d'une hyperbole. w varie donc de maniere hyperbolique suivant z (gure 5.2.2).
Quandz
w 2 0
, l'hyperbole precedente est quasiment confondue avec ses asymptotes: w(z)
w0
z = z (5.2.4)
ou =
w0 represente la divergence du faisceau.
La gure (5.2.2) rassemble sur une representation schematique les caracteristiques principales d'un faisceau gaussien.
Chapitre 5: Cavite optique en sortie de VIRGO: \mode cleaner"
0
l’eclairement sur l’axe Contour a 1 / e de2 w (z=0) w(z) z 0 Θ R(z) waist
Figure 5.2.2: Caracteristiques d'un faisceau gaussien.
Dans l'equation donnant le champ 00 (expression 5.2.2), R(z) represente le rayon de courbure du front d'onde se propageant suivant l'axe z. Ce front d'onde a une allure parabolique mais il evolue lors de sa propagation car le rayon de courbureR varie suivant z comme: R(z) =z 2 41 + w2 0 z ! 2 3 5 (5.2.5)
en prenant le plan du waist w0 comme origine sur l'axe z.
Au niveau du waist (z=0), le rayon de courbure du front d'onde est inni (R = 1). Quand z
w 2 0
, R(z)' z, et la forme du front d'onde tend a devenir une sphere ayant comme centre la position du waist sur l'axe z.
'(z) est un terme de phase qui dierencie cette onde gaussienne d'une onde plane pour laquelle le terme de phase se resume a e;ikz. Cette phase supplementaire, appelee phase de Guoy, varie suivant z comme:
'(z) = arctan z w2 0 ! (5.2.6) en prenant toujours la position du waist w0 comme origine. Elle tend vers une constante pour z grand.
5.2.2 Mode gaussien d'ordre sup erieur
Dans le paragraphe precedent, seule la solution appelee mode fondamental de l'equa-tion d'onde paraxiale a ete traitee. Les modes d'ordre superieur constituent une famille
Partie 5.3: Filtrage optique par une cavite
de fonctions caracterisees par deux indices m et n.
mn(x y z) =NHn p 2 x w(z) ! Hm p 2 y w(z) ! e;x2 +y2 w 2 (z) e;i k 2R(z) (x2 +y2 ) e;i (kz+'mn(z)) (5.2.7)
Hn(X) sont les polyn^omes de Hermite dont les termes sont donnes pour les premiers ordres par:
H0(X) = 1
H1(X) = 2 X H2(X) = 4 X2
;2
Ces polyn^omes verient la relation de recurrence: Hn+1(X) = 2X Hn(X);2n Hn;1(X), ce qui permet de determiner les modes d'ordre superieur.
L'expression du champ mn (5.2.7) montre qu'a chaque mode correspond un prol bien deni du faisceau. L'indice m represente le nombre d'annulation du champ suivant l'axe 0y et l'indice n le nombre d'annulation suivant l'axe 0x.
Que ce soit dans le cas d'un mode gaussien fondamental ou d'ordre superieur, les termes w et R sont denis de la m^eme maniere. Ils ne varient pas en fonction des indices m et n.
En revanche, le terme de phase de Guoy varie en fonction de ces deux indices suivant:
'mn= (m+n+ 1) arctan z w2 0 ! (5.2.8)
5.3 Filtrage optique par une cavite
Considerons le cas d'une cavite optique de longueur lconstituee de deux miroirs ayant
r1 r2 ett1 t2 comme re ectivite et transmitivite. La puissance transmise lorsque la cavite est eclairee par une onde plane se deduit des calculs developpes dans l'annexe A.
Pt = t2 1t2 2 (1;r1r2)2 1 1 + 2F 2 sin2 2 Pinc (5.3.9) ou Pinc est la puissance incidente sur la cavite,F la nesse de la cavite et = 2kl est le dephasage subi par le faisceau lors d'un aller-retour dans la cavite.
La puissance transmise est maximum quand= 2n (nentier). Cela signie qu'apres un aller-retour dans la cavite le champ revient sur lui-m^eme avec une phase identique. La
Chapitre 5: Cavite optique en sortie de VIRGO: \mode cleaner"
cavite est alors dite en resonance.
Si la cavite n'est pas a la resonance, la fraction de puissance transmise est attenuee par rapport a la puissance transmise a la resonance. Toute la puissance non transmise est re echie par la cavite. Par exemple, si = (2n+ 1) (faisceau parfaitement anti-resonnant), la puissance transmise est egale a approximativement:
Pt Pinc 2F 2 avec 2F 2 1
L'attenuation de la puissance transmise depend donc de la nesse de la cavite. Plus cette nesse augmente, plus l'attenuation augmente.
Considerons maintenant une cavite toujours constituee de deux miroirs mais eclairee par un faisceau gaussien. Nous avons vu dans la partie (5.2.1) que la taille et le rayon de courbure du front d'onde d'un faisceau gaussien evoluent au cours de sa propagation. La