12.2 Méthodes d’optimisation
12.2.4 Cas d’observables corrélées
Jusqu’alors, on a traité seulement le cas où les observables utilisées pour contraindre l’étoile sont indépendantes entre elles. En réalité, il est fréquent dans les modélisations que l’on effectue que les observables soient corrélées. En effet, on a vu dans la Sect. 11.3 qu’on utilise généralement des combinaisons de fréquences comme contraintes sismiques, plutôt que les fréquences individuelles elles-mêmes, notamment afin de s’affranchir des effets de surface. On introduit ainsi des corrélations entre les observables sismiques qu’il faut prendre en compte.
χ2= [y − y(a)]T· W · [y − y(a)] (12.22)
On voit que si les observables sont indépendantes, la matrice de covariance est diagonale avec Cii= σi2, et on obtient bien l’expression du χ2 donnée dans l’Eq. 12.1.
On peut alors en déduire l’expression du gradient et de la matrice Hessienne qui se substituent aux Eq. 12.5 et 12.6 :
∂χ2 ∂ak = − N X i=1 N X j=1 Wij ( [yi− yi(a)] ∂yj(a) ∂ak + [yj− yj(a)] ∂yi(a) ∂ak ) (12.23) Dans l’expression de la Hessienne, on néglige comme précédemment les termes de dérivées secondes de ya. On obtient
∂2χ2 ∂ak∂al = N X i=1 N X j=1 Wij ∂y j(a) ∂ak ∂yi(a) ∂al +∂yi(a) ∂ak ∂yj(a) ∂al (12.24)
Estimation de la matrice de covariance Calculons la corrélation qu’il existe entre deux combinaisons de fréquences différentes. Prenons deux combinaison de fréquences quelconques que l’on notera
f =X n,ℓ un,ℓνn,ℓ et g = X n,ℓ vn,ℓνn,ℓ. (12.25)
Par exemple, si f correspond à la petite séparation δν01(n) = νn,0−(νn−1,1+νn,1)/2, on prend
un,0 = 1, un−1,1 = −1/2, un,1 = −1/2 et les autres un,ℓ nuls. On s’intéresse à la corrélation
entre f et g. Une solution pour la déterminer est de calculer de deux façons différentes la variance de f + g. D’une part, on a
σf +g2 = σf2+ σ2g+ 2σ2f g (12.26)
où σ2
f g est la covariance entre les variables f et g. On suppose que les déterminations des
fréquences propres des modes effectuées dans la Sect. 5.3 sont indépendantes entre elles. En toute rigueur, le fait qu’elles sont ajustées simultanément (voir Chap. 5) introduit une dépendance que l’on suppose faible ici. On a donc
σf +g2 =X
n,ℓ
Chapitre 12. Recherche d’un modèle optimal 155
Fig.12.2: Matrice de corrélation entre 15 paramètres sismiques : grande séparation ∆νℓ=0, grande séparation ∆νℓ=1et petite séparation δν01pour cinq ordres radiaux consécutifs. On s’est placé ici dans le cas particulier où la déviation standard est identique pour tous les modes.
D’autre part, la quantité f + g vaut Pn,ℓ(un,ℓ+ vn,ℓ)νn,ℓ, et on peut donc aussi écrire σ2f +g
sous la forme
σ2f +g =X
n,ℓ
(u2n,ℓ+ v2n,ℓ+ 2un,ℓvn,ℓ)σn,ℓ2 (12.28)
Par identification entre les Eq. 12.27 et 12.28 on obtient la corrélation :
σ2f g =Xun,ℓvn,ℓσ2n,ℓ (12.29)
L’Eq. 12.29 confirme donc ce qui aurait pu être supposé intuitivement, à savoir que la cova- riance de f et g est non nulle si et seulement si les deux combinaisons de fréquences ont une fréquence en commun.
Les coefficients de la matrice de covariance ont la dimension des observables yi au carré.
Pour visualiser le dépendance qu’il existe entre les différents paramètres, il est commode d’adimensionner ces coefficients. On définit ainsi la matrice de corrélation R, à partir de la matrice de covariance, suivant l’expression
Rij =
Cij
σiσj (12.30)
Les coefficients diagonaux de cette matrice sont donc par définition unitaires. On a représenté sur la Fig. 12.2 la matrice de corrélation pour 15 paramètres sismiques différents : les grandes séparations ∆νℓ=0 et ∆νℓ=1, et la petite séparation δν01pour cinq ordres radiaux consécutifs.
Exemple 12.2 On revient à l’exemple précédent, qui consiste à trouver un modèle reprodui- sant les observables données dans le Tableau 12.1, mais cette fois, on prend comme contraintes sismiques les valeurs de la grande séparation des modes radiaux pour dix ordres consécutifs. Chacune de ces grandes séparations est corrélée à la suivante. On cherche à estimer l’impact de la prise en compte des corrélations entre les observables sur les résultats de la minimi- sation. Pour ce faire, deux minimisations de type Levenberg-Marquardt sont menées, l’une en utilisant la définition de la fonction χ2 donnée par l’Eq. 12.1 et l’autre avec l’Eq. 12.22.
∆ν20,0 131.57 ± 1.2 131.63 131.59 ∆ν21,0 132.01 ± 1.2 132.05 132.02 ∆ν22,0 131.84 ± 1.2 131.87 131.85 ∆ν23,0 132.13 ± 1.2 132.19 132.16 ∆ν24,0 132.59 ± 1.2 132.56 132.55 ∆ν25,0 132.96 ± 1.2 133.00 132.97 ∆ν26,0 133.45 ± 1.2 133.47 133.45 Paramètres libres M/M⊙ - 1.007 ± 0.020 1.005 ± 0.018 Âge (Myr) - 4708 ± 963 4801 ± 1005 χ2 - 8.2 10−2 4.2 10−2
Les résultats obtenus sont présentés dans le Tableau 12.2. On voit que les estimations des paramètres du meilleur modèle sont très semblables dans les deux cas, de même que les barres d’erreur correspondantes. Nous avons également effectué d’autres tests de ce genre en utilisant d’autres indices sismiques et il semble que la prise en compte dans l’expression de la fonction χ2 des corrélations entre les différentes observables ne modifie pas sensiblement le résultat. Toutefois, il faut en toute rigueur les prendre en considération.
13 Estimation des paramètres stellaires de
HD46375
13.1 HD 46375, un Soleil jeune à planète
L’étoile HD 46375 est une étoile de type spectral K0V, dont les paramètres de surface sont proches de ceux du Soleil. Elle présente un double intérêt. Premièrement, une exoplanète de masse comparable à celle de Saturne a été détectée à une distance de 0.04 UA de l’étoile. Elle a été détectée par Marcy et al. (2000), par spectroscopie Doppler et Henry (2000) a établi qu’elle ne présente pas de transits. Deuxièmement, HD 46375 est un pulsateur de type solaire. Elle a été désignée comme cible d’un cycle court d’observation du satellite CoRoT (34 jours d’observations). L’objectif était de tenter de détecter la lumière réfléchie par la planète et éventuellement de chercher à détecter des oscillations afin de mieux contraindre le système.
La courbe de lumière obtenue par l’observation photométrique du système correspond en effet à la somme de la luminosité émise par l’étoile et de celle réfléchie par la planète. On s’attend donc à ce qu’elle soit modulée périodiquement par le passage de la planète, même en l’absence de transits. La détection de la lumière réfléchie par l’exoplanète est particulièrement intéressante. En effet, l’amplitude de la modulation qu’elle engendre dans la courbe de lumière est porteuse d’information sur les propriétés atmosphériques de la planète et en particulier sur son albedo (défini comme le rapport entre l’énergie réfléchie par la planète et l’énergie incidente provenant de l’étoile). Gaulme et al. (2010b) ont montré qu’en repliant la courbe de lumière de l’étoile sur la période de rotation connue de la planète, on fait apparaître une modulation sinusoïdale compatible avec le signal attendu. Toutefois, la période de rotation de la planète est d’environ 3.024 jours, i.e. très proche d’un nombre entier de jours et il est difficile de séparer la contribution éventuelle de l’exoplanète des périodicités liées au jour qui existent dans les courbes de lumière du satellite CoRoT. Une confrontation avec la courbe de lumière d’un objet comparable observé lors du même cycle d’observation semble en faveur d’une signature du passage de la planète, mais cela reste à confirmer.