Le lemme suivant ´etablit un lien entre les rayons de couverture discret et r´eel. Dans Rn, le rayon de couverture d’une boule de rayon r en direction ~v est naturellement r+k~vk. Cette
4.4. Caract´erisation de T
O2
O3
O
p pp
p1
p2
p3
B′
O B
O1
Fig.4.4 – B (en noir) est une boule de centreO, et B′ (en pointill´es) est une boule de centre p et qui contientB. `A gauche : les boulesB,HO1(B),HO2(B),HO3(B) sont imbriqu´ees. `A droite : les boulesB′,Ip1(B′), Ip2(B′),Ip3(B′) sont imbriqu´ees.
propri´et´e est en g´en´eral fausse dansZn, cependant on montre qu’elle«tend»`a ˆetre vraie lorsque r croˆıt. De mani`ere ´equivalente, on peut dire qu’on tend vers le cas r´eel lorsqu’on diminue la largeur de maille de la grille discr`ete.
Lemme 4.11 Etant donn´e un vecteur´ ~v∈Zn∗ (avec n>2), soit f la fonction f :R+−→R+
r 7−→ Rx−~v B(x, r)
, pour un pointx∈Zn quelconque. On a
r→lim+∞r+k~vk −f(r) = 0.
Preuve. Notons tout d’abord que dans la d´efinition def,x est choisi arbitrairement car de est invariante par translation. Soit p le point de la boule B(x, r) v´erifiant p =x+λ~v (λ∈N) et qui maximise la distance `a x (voir la figure 4.7). Il existe au moins un vecteur de Zn orthogonal `a ~v et dont la norme est inf´erieure `a celle de ~v : prenons par exemple
~z = (−v2, v1,0, . . . ,0). On noteqle point de la bouleB(x, r) v´erifiantq=p+k.~z(k∈Z+) et qui maximise la distance `a p; et on notetle point deRnqui v´erifiext=r ett=p+l.~z pour un certainl∈R+. On a
pq>pt− k~zk>pt− k~vk. (4.6) Par ailleurs~z est orthogonal `a~v, donc on peut utiliser le th´eor`eme de Pythagore dans les triangles (ptx) et (pqx′) :
pt2=xt2−xp2 (4.7)
et f2(r)>x′q2 =x′p2+pq2. (4.8) Si on substitue (4.6) et (4.7) dans (4.8), on obtient
f2(r)>x′p2+ p
xt2−xp2− k~vk2
. (4.9)
O
p
Fig. 4.5 – L’ensemble des points de♦pqui sont visibles depuis O et depuis p (points noirs) est un trousseau dep.
O
p
Fig. 4.6 – Les clefs de la serrure (R,−→Op) sont dans♦−→Op(zone gris´ee). Tout point du segment [Op] est le centre d’une clef de la serrure (R, ~v).
Puis, en rempla¸cant x′p parxp+k~vk etxtparr, on peut reformuler (4.9) : f2(r)>(xp+k~vk)2+ p
r2−xp2− k~vk2
>(xp+k~vk)2+r2−xp2+~v2−2k~vkp
r2−xp2
>k~vk(2xp+k~vk) +r2+~v2−2k~vkp
r2−xp2. (4.10) De plus, par construction de p, on axp > r− k~vk. En substituant cette borne inf´erieure dans (4.10), on obtient
f2(r)>k~vk(2r− k~vk) +r2+~v2−2k~vkp
r2−xp2, f2(r)>r2+ 2k~vkr−2k~vkp
r2−xp2. (4.11)
D’autre part, xp > r− k~vk implique quer2−xp2 < r2− r− k~vk2
= 2k~vkr−~v2, d’o`u r2−xp2<2k~vkr.
Cette derni`ere in´egalit´e, substitu´ee dans (4.11), permet de d´eduire f2(r)>r2+ 2k~vkr−2k~vkp
2k~vkr . (4.12)
En introduisant la notation ε(r) =r+k~vk −f(r), on peut r´e´ecrire (4.12) : ε(r)6r+k~vk −
q
r2+ 2k~vkr−2k~vkp
2k~vkr . (4.13) f(r) est le rayon de couverture d’une boule de rayonr en direction~v donc on a naturel-lement ε(r) > 0 pour tout r (voir le lemme 3.1). D’autre part, le d´eveloppement limit´e d’ordre 1 du membre droit de (4.13) donne
k~vk.p 2k~vk
√r +O 1
r
quand r→+∞.
Par cons´equent, ε(r) tend vers 0 quandr→+∞.
4.4. Caract´erisation de T
x ~v q
x′ p
t
B′ B
~z ε
Fig. 4.7 – Une boule B de centre x et rayon r, et la boule B′ =Hx−~v(B) de rayon f(r). Afin de majorerε(r) =r+k~vk −f(r), on minoref(r) par x′q.
Lemme 4.12 Tout vecteur visible de Zn appartient `a Tn.
Preuve. Soit ~v ∈ Vn un vecteur visible. Nous allons exhiber un rayonR pour lequel la serrure (R, ~v) n’a pas de clef, i.e., un rayon R pour lequel
∀~u∈Zn∗ \ {~v}, HO−~u(BR)*HO−~v(BR). (4.14) Pour tout k ∈ N, on note pk = O +k.~v, Bk = B(O, kk~vk) et pour tout ~u ∈ Zn, on noteBk~u =HO−~u(Bk). Une illustration est pr´esent´ee sur la figure 4.8. ´Etant donn´e quepk appartient `aBk~vet qued(O−~v, pk) = (k+ 1)kvk= rad(Bk) +k~vk, on a (via le lemme 3.1) RO−~v(Bk) = rad(Bk) +k~vk.
Supposons que les vecteurs~uet~v−~u ne sont pas G-adjacents. D’apr`es le lemme 4.9, on a Bk~u *Bk~v. Par cons´equent, pour compl´eter la preuve, il suffit de consid´erer les vecteurs de ♦~v(le diamant de~v), et de trouver un entier γ pour lequel
∀~u∈♦~v, B~γu*B~vγ. (4.15) Pour tout~u∈♦~v, on note W(~u) le plan (de dimension 2) deRnqui poss`ede les pointsO, O−~vetO−~u. Notons ´egalement Pk l’hyperplan deRnorthogonal `a~v et qui poss`edepk. Par construction, l’intersection de Bk~v et du plan Pk est exactement le point pk. Notons x = O −~u, puis qk la projection orthogonale de x sur Pk, et enfin tk le point v´erifiant xtk= rad(Bk~u) ettk=pk+λ−−→pkqkpour un certainλ∈R+. Notons que dans le cas g´en´eral, qk ettk ne sont pas des points `a coordonn´ees enti`eres. Consid´erant le triangle (xqktk), on peut ´ecrire
(qktk)2 = (xtk)2−(xqk)2. (4.16) Ensuite, en projetant~usur~v, on peut exprimerxqk commeOpk+k~ukcos(~u, ~v), et donc
(qktk)2 = (xtk)2− Opk+k~ukcos(~u, ~v)2
= xtk+xpk+k~ukcos(~u, ~v)
xtk−xpk− k~ukcos(~u, ~v)
. (4.17)
q2
t2
O x
p2
P2
~u
~v B2~u
B2
S2
Fig. 4.8 – Les boules Bk, Bk~u,Sk dans le planW(~u) (pourk= 2).
Etant donn´e que´ Opk etxtk sont les rayons respectifs de Bk et de Bk~u, nous d´eduisons du lemme 4.11 que
k→lim+∞xtk−Opk=k~uk. (4.18) Pour tout ~u∈ ♦~v, les vecteurs ~u et~v ne sont pas colin´eaires, et donc 0 <cos(~u, ~v) <1.
Les ´equations (4.17) et (4.18) nous permettent ainsi de calculer
k→lim+∞qktk= +∞. (4.19)
Chaque ligne (pkqk) contient une infinit´e de points de Zn, car pk ∈ Zn et il existe un vecteur directeur `a coordonn´ees enti`eres de la droite (pkqk) = W(~u)∩ Pk, par exemple
~z= (~u∧~v)∧~v, o`u∧repr´esente le produit vectoriel. De plus, les points entiers du segment [qktk] appartiennent `a Bk~u\B~vk car [qktk]⊆ Pk etPk∩B~vk = {pk}. Ces deux arguments, ainsi que la limite exprim´ee en (4.19), nous permettent de d´eduire
∀~u∈♦~v, ∃k~u∈N, ∀k > k~u, Bk~u *Bk~v. (4.20) Finalement, observons que choisir γ = max{k~u :~u ∈ ♦~v} est suffisant pour satisfaire la condition (4.15). L’existence de γ est assur´ee par le fait que pour tout~v∈Zn, l’ensemble
♦~vest born´e.
Les lemmes 4.8 et 4.12 nous permettent de caract´eriser le voisinageTn : Th´eor`eme 4.1 Pour tout entier n>2, on aTn=Vn.
4.5. Conclusion
4.5 Conclusion
Dans ce chapitre nous avons ´enonc´e deux principaux r´esultats concernant les R-voisinages minimum pour la distance euclidienne : d’une part nous avons ´etabli que T(R) tend vers l’en-semble des points visibles deZnquandR→+∞, d’autre part nous avons identifi´e un trousseau de tout vecteur visible, appel´e diamant de~v.
La densit´e des points visiblesVn parmiZnest li´ee `a la fonction zˆeta de Riemann, ´etudi´ee en th´eorie des nombres [EF75]. Pour tout entiern>2, la fonction zˆeta est d´efinie par
ζ(n) =
+∞
X
k=1
1
kn. (4.21)
Soit~v un vecteur deZn; la probabilit´ep(n) que~v soit visible est donn´ee par ζ(n)1 . En dimension 2, on obtient
p(2) = 1 ζ(2) = 6
π2 ≈0.61.
En dimensions sup´erieures, on a p(3)≈0.83 et p(4)≈0.92. De plus, p(n) croˆıt avec n et tend vers 1 quandntend vers +∞. A priori, ceci laisse penser que la m´ethode de recherche locale de l’axe m´edian n’est pas efficace car la majorit´e des points deZn appartiennent au voisinage Tn. Cependant, nous observons dans le prochain chapitre que le rayon d’apparition d’un vecteur~v est toujours bien plus grand quekvk, ce qui implique que leR-voisinage minimum est de taille n´egligeable par rapport `a toute forme de rayon R, permettant une extraction efficace de l’axe m´edian.
Chapitre 5
Etude de ´ T ( R ) pour d e dans Z 2
Dans ce chapitre, nous nous concentrons sur l’´etude du voisinage minimumT(R) pour de dans le planZ2. Notons tout d’abord que pour toute forme S, les axes m´edians de S calcul´es pourdeetd2e sont identiques. ´Etant donn´e que nous utiliserons fr´equemment ces deux distances, et afin de ne pas surcharger les notations, on pose la convention selon laquelle la variabler d´esigne un rayon euclidien, etR un rayon euclidien au carr´e.
De mˆeme, Br et BR sont respectivement les boules de rayon euclidien r et de rayon euclidien au carr´eR. Enfin, on noterapp(~v) etRapp(~v) les rayons d’apparition de~vpour de etd2e (on a ainsiRapp(~v) =rapp2 (~v)).
Nous commen¸cons par ´etablir au §5.1 un lien entre les inclusions de boules et les suites de Farey ; nous en d´eduisons que les voisins de~v dans la plus petite suite de Farey qui contient ~v, forment un trousseau de ~v. Ce r´esultat, associ´e `a un algorithme simple de calcul des rayons de couverture pr´esent´e au §5.2, nous permet d’´elaborer au §5.3 un algorithme de calcul du rayon d’apparitionrapp(~v) d’un vecteur~v donn´e, de complexit´e O r3app(~v)
. Nous optimisons ensuite la complexit´e de cet algorithme, sur la base de deux observations g´eom´etriques : d’une part nous bornons au§5.4 l’ensemble des points d’une boule qu’il est suffisant de consid´erer pour calculer le rayon de couverture, d’autre part au §5.5 nous utilisons le fait qu’il est suffisant, dans la recherche du rayon d’apparition, de consid´erer un sous-ensemble des serrures, appel´ees serrures maximales. Ceci nous permet de proposer un algorithme pour rapp(~v) de complexit´e O rapp2.5(~v)
. Enfin, nous pr´esentons au §5.6 un algorithme pour le calcul de T(R) qui n’utilise ni la DT, ni la LUT. L’id´ee centrale de cet algorithme est de d´ecrire les inclusions de boules dans toutes les serrures de rayon inf´erieur `a R, par plusieurs chaˆınages des points de BR. Nous commentons les r´esultats de nos algorithmes au §5.7. Finalement, nous abordons au §5.8 l’´etude des trousseaux en dimension sup´erieure. La majeure partie des travaux expos´es dans ce chapitre ont ´et´e publi´es dans [HT09b].