L’évaluation des nouveaux systèmes de transmission en simulation nécessite de disposer de modèles de canaux représentant le plus fidèlement possible le médium de transmis- sion et capables de traduire les principaux phénomènes physiques influençant les per- formances. La modélisation des canaux MIMO est un axe de recherche très actif. De nombreux modèles existent ainsi que plusieurs classifications. Certains modèles, souvent appelés modèles physiques [124] reposent sur une description géométrique très fine des environnements de propagation. Ils ont l’avantage de pouvoir traduire fidèlement la réa- lité grâce à une bonne description de l’environnement de propagation. En contrepartie, ils ne sont pas flexibles puisque l’environnement doit être modélisé à chaque variation. En outre, l’obtention des réponses impulsionnelles complexes nécessite des temps de calcul souvent importants ou de nombreuses campagnes de mesures. Dans [125], les au- teurs passent en revue l’essentiel des méthodes connues en spécifiant les avantages, les inconvénients et les domaines d’applications. D’autres modèles, appelés modèles analy- tiques, s’attachent à décrire de façon statistique certaines propriétés du canal telle que la corrélation. [126] donne un état de l’art assez exhaustif des modèles analytiques. Ils s’affranchissent d’une description de l’environnement en exploitant uniquement les pro- priétés statistiques du canal ou les paramètres de propagation affectant les performances du système. Cette particularité les rend très flexibles. La difficulté réside en général dans l’identification des distributions les mieux adaptées aux environnements considérés. Ce
choix se fait en principe à l’aide de campagnes de mesures ou de simulations de grande ampleur et par comparaison des performances des modèles entre eux.
Parmi les modèles analytiques, les plus simples à mettre en œuvre sont le modèle de Kronecker [109] et le modèle de Weichselberger [127]. Le modèle de Kronecker s’appuie sur l’hypothèse forte d’indépendance de la corrélation à l’émission et à la réception. Il est très populaire de par sa simplicité et de par la taille réduite des données à manipuler. Le modèle de Weichselberger est un modèle récent qui essaie de palier les limitations du modèle de Kronecker en utilisant la décomposition en vecteurs propres des matrices de corrélation et en introduisant une matrice de couplage dont les éléments réels et positifs représentent le couplage de puissance moyen entre les vecteurs propres à l’émission et ceux à la réception.
Dans [97, 128] une comparaison de différents modèles est proposée afin d’évaluer leur pertinence à traduire le degré de corrélation spatiale dans le canal. Dans [1], les auteurs ont comparés les deux modèles dans les configurations de tunnels considérées dans cette thèse. Il s’avère que dans la plupart des configurations, le modèle de Kronecker donne de meilleurs résultats que le modèle de Weichselberger pour la modélisation du canal, en terme de capacité du canal, comparés aux résultats obtenus directement à partir des simulations des réponses impulsionnelles complexes par tracé de rayons 3D. C’est pour cette raison que dans la suite de cette thèse, nous considérons le modèle analytique de Kronecker, que nous décrivons rapidement dans la sous-section suivante.
2.4.1 Modèle de Kronecker
En l’absence de diversité de polarisation et dans le cas NLOS, la matrice de canal MIMO peut s’écrire d’une manière générale selon la relation suivante :
H= R1/2H Hw (2.16)
où RH est la matrice de corrélation ou de covariance du canal, Hw est une matrice dont
les coefficients sont aléatoires, indépendants et identiquement distribués (i.i.d.) suivant une loi normale complexe centrée. Les inconvénients majeurs de cette représentation résident dans la taille des matrices à manipuler ((nr× nt)2 coefficients). Ainsi certains
de corrélation afin de mieux traduire l’influence de la corrélation dans l’environnement de propagation. C’est le cas du modèle de Kronecker [109]. Ce modèle repose sur une hypothèse forte qui est l’indépendance de la corrélation à l’émission et à la réception. Cette hypothèse conduit à la possibilité de formuler la corrélation totale du canal comme le produit de Kronecker des matrices de corrélation à l’émission Σtet à la réception Σr
[109].
RH = Σt⊗ Σr (2.17)
oùNreprésente le produit de Kronecker. En exploitant cette formulation dans le modèle général décrit ci-dessus, on obtient le modèle suivant :
H= Σr1/2HwΣt1/2⇐⇒vec (H) = (Σr⊗ Σt)1/2·vec (Hw) (2.18)
avec vec(.) la concaténation des colonnes d’une matrice en vecteur colonne.
Lorsque les deux matrices Σt et Σr sont proportionnelles à la matrice identité, le canal
est décorrélé. Dans la suite du document, nous utilisons le modèle de Kronecker, en faisant l’hypothèse que la corrélation entre deux antennes adjacentes est donnée par la relation suivante :
Eh{|hi,jhTi,j+1|}= ρt, j ∈ {1, · · · , nt−1}, ρt∈ R, 0 ≤ ρt≤1 (2.19)
De la même manière on obtient la corrélation entre deux antennes adjacentes à la ré- ception :
Eh{|hi,jhTi+1,j|}= ρr, j ∈ {1, · · · , nr−1}, ρr ∈ R, 0 ≤ ρr≤1 (2.20)
Nous obtenons alors la structure générale des matrices de corrélation à l’émission et à la réception (2.21) : Σt,r= 1 ρt,r ρ2t,r · · · ρ nt,r−1 t,r ρt,r 1 ρt,r · · · ρ nt,r−2 t,r ρ2t,r ρt,r 1 · · · ρnt,r −3 t,r ... ... ... ... ... ρnt,r−1 t,r ρ nt,r−2 t,r ρ nt,r−3 t,r · · · 1 (2.21)
le canal sera peu corrélé tant que la corrélation moyenne calculée sur toute la longueur du tunnel, ρt,r, est inférieure à 0,7. Une valeur de ρt,r égale à 0,9 correspond à un
canal très corrélé. La corrélation totale du canal est ici exprimée à l’aide des matrices de corrélation à l’émission et à la réception. La covariance peut être utilisée [129,130]. Dans [131,132], le modèle utilise les matrices de corrélation en puissance à l’émission et à la réception. La comparaison avec des mesures [132] montre que le modèle est proche de la réalité si l’on s’intéresse aux distributions cumulatives des valeurs propres de la matrice du canal. Cependant, l’utilisation de ce modèle dans une simulation de communications entraîne une perte sur l’information de phase [97]. Pour pallier ce problème, il est proposé dans [131] d’introduire l’influence de la corrélation des phases en considérant les angles moyens d’arrivée et de départ par le biais de matrices diagonales. Ainsi, le modèle de Kronecker est un modèle couramment utilisé pour sa simplicité et la taille réduite des données à manipuler qu’il entraîne (n2
r+ n2t coefficients). Cependant, il n’est valide que
lorsque les directions de départ et d’arrivée des signaux sont séparables et indépendantes. Par exemple, il ne permet pas de traduire l’existence de corrélation croisée entre les deux extrémités du système. De plus, la structure du modèle exclut d’introduire des propriétés statistiques internes du canal et donc de reproduire des effets tel que le goulot d’étranglement ou "keyhole" [133]. Le keyhole exprime le fait qu’à un endroit du canal, tous les chemins sont corrélés et, que dès lors, la matrice de transfert est dégénérée et n’a qu’un seul degré de liberté (une seule valeur propre est non nulle). Ce cas est évidemment très négatif en termes de performances des systèmes MIMO car la matrice du canal est de rang 1. Récemment, certains auteurs [134] ont mis en évidence la notion de "keyhole" dans certains tunnels. Nous n’avons pas évalué la probabilité de présence de keyhole dans le tunnel considéré.