des simulations
L’objectif des différents calculs de structure électronique effectués est d’analyser les gran- deurs physiques impactant la position des niveaux énergétiques, et dont les fluctuations ap- portent une contribution aux temps de relaxation du système. Pour cela, il a donc fallu dans un premier temps simuler les dynamiques moléculaires de l’agent de contraste à étudier, en l’occurence ici le ProHance, et de deux de ses dérivés. Les détails de calcul de ces dynamiques sont présentés dans le Chapitre 3, en même temps que leurs analyses.
Une fois les dynamiques obtenues, l’idée a consisté à calculer les grandeurs physiques in- téressantes : les tenseurs hyperfins d’une part, et le Zero-Field Splitting d’autre part, le long des trajectoires selon un espacement régulier des configurations. Le tout est de pouvoir suivre l’évolution des grandeurs, mais surtout leurs fluctuations. Pour avoir la meilleure description possible des systèmes, alliant précision et rapidité d’exécution, de nombreux tests ont été réali- sés, et seront présentés dans les chapitres correspondants aux tenseurs hyperfins (Chapitre 4), et au Zero-Field Splitting (Chapitre 5).
Les conditions de calcul de ces différentes grandeurs sont décrites dans la suite de cette partie.
2.8.1
Tenseurs hyperfins
Les calculs de structures électroniques DFT ont été réalisés à l’aide du logiciel ADF [118,
119], qui utilise des fonctions de base de type Slater. L’ensemble des atomes a été décrit tous- électrons, donc sans utiliser de pseudopotentiel ou une aproximation de coeur gelé. La fonc- tionnelle DFT hybride d’échange-corrélation P BE0 [120–122] a été choisie pour les calculs, et utilisée avec une base TZP pour le gadolinium, et une base TZVPP (base triple zeta sur la valence) pour tous les autres atomes.
Les effets relativistes, indispensables dans le cadre de notre étude, du fait de notre intérêt pour des termes qui en dérivent, et de la présence du gadolinium, ont été pris en compte à l’aide d’une approximation de type ZORA. Seuls les effets relativistes de type scalaires ont été introduits dans la description du système, comme cela sera explicité et justifié dans le Chapitre 4.
2.8 Calculs de structures électroniques : détails techniques des simulations
Hamiltonien ZORA
L’approximation ZORA (Zeroth Order Regular Approximation) [123, 124] a été utilisée afin de prendre en compte les effets relativistes dans nos calculs. Ce formalisme introduit une approximation dans le terme d’énergie cinétique de Dirac, qui peut s’écrire :
TDirac = σp c
2
2c2− E − V σp. (2.91)
Dans le cadre de l’approximation ZORA, ce terme devient : TZORA= σp c
2
2c2 − Vσp, (2.92)
et il est alors possible de le décomposer en un terme relativiste scalaire et un terme d’origine spin-orbite : TscalaireZORA = p. c 2 2c2 − V.p (2.93) Tspin−orbiteZORA = c 2 (2c2− V )2σ(∇V × p). (2.94)
Le gadolinium étant de symétrie sphérique du fait de sa configuration 4f7, et possédant
un large gap HOMO-LUMO, les effets relativistes de type spin-orbite peuvent être négligés. De plus, les tests que j’ai menés en tenant compte des effets de type spin-orbite dans l’ap- proximation ZORA ont montré que l’impact sur les résultats est faible pour une augmentation très importante du temps de calcul, confirmant ainsi la validité de notre approximation (voir résultats Chapitre 4).
Stratégie de simulation
Dans cette thèse, nous souhaitions pouvoir suivre au cours du temps les fluctuations des tenseurs hyperfins afin d’isoler les mouvements du système à l’origine de ces fluctuations. Pour cela, les calculs de structures électroniques doivent être réalisés à intervalles de temps réguliers au cours de la dynamique. L’intervalle de temps choisi doit être suffisamment petit pour suivre les fluctuations fines du tenseur et définir une fonction d’autocorrélation adéquate.
L’approche consiste à prendre des configurations espacées de 5.76 fs. De manière à bien échantillonner la trajectoire, nous avons considéré 5 blocs de calculs de 100 configurations successives, chaque bloc étant espacé de 2 ps. Cette stratégie permet d’échantillonner des valeurs sur un peu moins de la moitié de la trajectoire (qui fait au total ' 23 ps), ce qui correspond à un temps raisonnable de dynamique au vue des phénomènes que nous voulons suivre. Une autre série de calculs a été réalisée sur le système ProHance, avec un espacement des configurations de 57.60fs, cette fois sur toute la trajectoire. Le but étant ici de vérifier la perte d’informations au niveau des fluctuations fines du tenseur que nous supposions. Cette approche sera approfondie dans le Chapitre 4.
2.8.2
Zero-Field Splitting
Les calculs concernant le zero-field splitting doivent permettre d’analyser les fluctuations de cette quantité, ce qui permettra de définir un temps de relaxation associé au ZFS transitoire, dont la définition sera donnée au Chapitre 5. Le calcul du ZFS a été réalisé avec le logiciel ORCA [125, 126], celui-ci permettant d’obtenir des résultats précis et rapides.
Les calculs ont été menés sur des systèmes couches ouvertes (spin-unrestricted) à l’aide d’orbitales naturelles, d’une base def2-SVP (discutée dans le Chapitre 5), et qui a été utilisée sous sa forme décontractée, et de la fonctionnelle méta-GGA TPSS [127]. Les exigences en terme de convergence ont été augmentées par rapport à la valeur par défaut, et une grille d’intégration plus fine a également été utilisée. Les effets relativistes ont été pris en compte à l’aide de l’approximation ZORA, et l’opérateur de couplage spin-orbite utilisé correspond à l’approche de champ moyen SOMF, conformément aux recommandations des développeurs. Les calculs effectués comprennent à la fois les composantes de spin-orbite et les composantes spin-spin. Deux manières de calculer les contributions de type spin-orbite [128] sont implémentées dans le logiciel ORCA[125,126] : les méthodes Pederson-Khanna (PK) et Coupled-Perturbed (CP). La méthode PK suggère l’utilisation d’une approximation simple au second ordre perturbatif à partir du formalisme DFT de Kohn-Sham. La validité des résultats obtenus semble dépendre du système, et elle sera discutée dans le Chapitre 5. L’approche Coupled-Perturbed est issue de la théorie de la réponse linéaire et comporte une correction des préfacteurs du couplage spin-orbite [129]. J’ai mené des calculs avec les deux types de méthodes, et les résultats seront discutés dans le Chapitre 5.
Chapitre 3
Simulations de dynamique moléculaire ab
initio
Durant ces dernières années, de nombreuses approches théoriques et expérimentales ont permis d’explorer la solvatation d’ions lanthanides [130–145], mais très peu d’études ont porté sur des complexes de gadolinium utilisés en imagerie médicale (IRM).
Yazyev et al. ont étudié par dynamique moléculaire ab initio de type Car-Parrinello la structure et la dynamique de l’ion gadolinium dans l’eau [146]. Cette étude a mis en évidence une distance moyenne Gd-O de 2.37 Å, ce qui est tout à fait en accord avec les valeurs obtenues lors d’expériences de double résonance électronique et nucléaire (ENDOR) (2.4 ± 0.5 Å), et une distance moyenne Gd-H de 3.04 Å, pour une valeur issue des expériences ENDOR de l’ordre de 3.1 ± 0.1 Å. La distance moyenne Gd-H estimée par Yazyev et al. est aussi en accord avec les observations expérimentales de Caravan [147] sur des agents de contraste, celui-ci estime la distance moyenne Gd-H à 3.1 ± 0.1 Å. Les résultats issus de l’étude de Yazyev par dynamique moléculaire ab initio sont proches de ceux obtenus par Ikeda et al. par métadynamique biaisée sur l’ion diamagnétique Y+3 (où une distance moyenne Y-O avait été estimée à 2.38 Å). Les
ions yttrium et gadolinium ont les mêmes charges et des rayons ioniques similaires [148], leur comportement en solvatation dans l’eau peut donc être comparé.
Malgré ces premières études sur l’ion libre, peu d’études de dynamique (classique ou ab initio) ont été menées sur des complexes de gadolinium utilisés en tant qu’agents de contraste en IRM. Pourtant l’ion libre est très toxique, et il est donc nécessaire de le complexer dans le cas d’une utilisation médicale. De plus, l’agent étant solvaté dans une boîte d’eau, il est possible d’avoir accès à des contributions de la relaxation dites de sphère interne et de sphère externe, ce qui constitue un avantage pour la recherche dans le domaine [149]. Malgré les espoirs ap- portés par la méthode ab initio dans l’étude de systèmes biologiques [150,151], l’augmentation de taille du système pose de nouvelles difficultées pour sa modélisation. Yazyev et al. [37] ont étudié (par une approche de dynamique classique) un agent de contraste commercial connu sous le nom de Dotarem qui est un complexe de gadolinium de ligand chélatant DOTA (voir Chapitre 1). Les distances moyennes Gd-O et Gd-H obtenues par simulation sont respective- ment de 2.56 ± 0.06 Å et 3.27 ± 0.14 Å. Nous comparerons ces distances, qui ne sont pas très éloignées de celles que nous avons obtenues, dans le cas d’un autre ligand chélatant. Dans ce
type de système, il est important de tenir compte de la polarisation, comme l’ont fait Clava- guéra et al. [152] ou Villa et al. [153], qui ont respectivement obtenu par dynamique moléculaire classique, en utilisant un champ de force polarisable, une distance Gd-O de 2.44 Å et de 2.55 Å. Dans ce chapitre, le recours à la dynamique classique ne permet pas d’avoir accès à des informations relatives à la structure électronique du métal, aux liaisons faibles se formant avec son environnement.
Comme nous l’avons vu dans le chapitre précédent, afin d’avoir accès à ces différentes pro- priétés électroniques, nous avons choisi d’avoir recours à la dynamique moléculaire ab initio pour suivre le comportement de complexes de gadolinium d’intérêt pour l’IRM. Je rappelle ici que les dynamiques ont été réalisées à l’aide du logiciel CPMD [109, 116], ce qui implique l’utilisation de pseudopotentiels, standards pour les atomes présents dans la boîte de simula- tion. La description du gadolinium pose quelques questions quant à la définition électronique du coeur et de la valence. Les électrons 4f des lanthanides sont généralement inclus dans le coeur des pseudopotentiels du fait de leur forte localisation dans la région du noyau [154, 155]. Un des membres de notre groupe de recherche a montré que les électrons 4f pouvaient être insérés dans le coeur du pseudopotentiel, mais en gardant bien en mémoire que certains pro- blèmes de structures peuvent en découler [32]. Ces résultats avaient conduit à l’implémentation de pseudopotentiels de type Vanderbilt dans CPMD, et nous avons donc pu en profiter. La construction du pseudopotentiel du gadolinium est abordée dans le Chapitre 2.
Dans ce chapitre, la procédure mise en place afin d’équilibrer les dynamiques que j’ai simu- lées sera détaillée. Un agent de contraste commercial, le ProHance sera examiné, ainsi que deux dérivés de ce système. Chacune des dynamiques sera étudiée, et des propriétés structurales et dynamiques de ces trois systèmes seront discutées et comparées.
Les différentes dynamiques moléculaires ab initio présentées dans la suite ont été réalisées à l’aide de la fonctionnelle PBE, et de pseudopotentiels de type Vanderbilt. Les autres détails de calculs seront précisés dans chacun des cas.
3.1
Dynamique moléculaire
ab initio d’un agent de contraste
solvaté
La première dynamique moléculaire ab initio (DMAI) qui a été réalisée par notre groupe concerne l’agent ProHance solvaté [34, 156]. Pour cela, une structure cristallographique de l’agent a été utilisée afin que la géométrie de départ de la dynamique concorde avec la géomé- trie expérimentale du ProHance. La géométrie cristalline récupérée a été solvatée dans une boîte d’eau, et une dynamique classique a été réalisée à l’aide du logiciel GROMACS afin de relaxer le système, et d’obtenir une première répartition des couches de solvatation. Dans un premier temps la dynamique classique a été effectuée dans l’ensemble canonique NPT afin d’identifier le volume à l’équilibre du système. Puis la simulation s’est poursuivie dans l’ensemble NVT au