3dSlab qui pr´esente des temps de calcul l´eg`erement inf´erieurs qu’en 3dCharge avec des r´esultats tr`es proches.
7.2.2
Evolution temporelle
OOMMF utilise la forme suivante de l’´equation LL : d ~M dt = −|¯γ| ~M × ~Hef f + |¯γ|α MS ~ M × ~M × ~Hef f , (7.3)
avec γ = (1+α2)¯γ. La r´esolution de cette ´equation se fait par une m´ethode de type « pr´edicteur-
correcteur » du second ordre. L’´equation est d´evelopp´ee en s´erie de Taylor `a l’ordre 2, une solution est approch´ee par une m´ethode de « pr´ediction ». Cette premi`ere solution sert ensuite de point de d´epart `a la m´ethode de « correction » ce qui permet de faciliter la convergence.
7.3
Calculs statiques - ´Etats d’´equilibres
7.3.1
Introduction
La recherche des ´etats d’´equilibre repr´esente un vaste domaine de recherche. Nous connaissons l’importance de l’histoire magn´etique d’un syst`eme dans son ´evolution vers un ´etat d’´equilibre. OOMMF a souvent ´et´e utilis´e pour rechercher des ´etat magn´etique particuliers [85, 86, 87, 88]. Mais dans notre cas, le but n’est pas une recherche syst´ematique de tous les ´etats d’´energies possibles. Il est important que l’´etat initial soit un ´etat ais´ement reproducible lors d’une exp´e- rience r´eelle. C’est pour cette raison que notre exploration des ´etats d’´equilibre se concentrera sur des objets partants d’un ´etat satur´e avant une relaxation.
7.3.2
Configuration num´erique
Comme nous l’avons dit dans le chapitre traitant le macrospin, nous ´etudierons des syst`emes de petites tailles pr´esentant des rapports de formes de 4 et 8. Ici, la longueur sera de 1024 nm et donc la largeur de 256 nm ou de 128 nm. Voici les param`etres et le protocole de simulations utilis´es :
– La taille de la cellule ´el´ementaire est de 4x4x20 nm3. Pour la recherche d’´etats d’´equi- libre, une maille plus importante aurait pu ˆetre utilis´ee. Cependant, les ´etats d’´equilibre servant d’´etats initiaux `a des calculs dynamiques (demandant une meilleure pr´ecision), il est n´ecessaire de conserver une maille identique pour l’ensemble de nos simulations. – Le crit`ere de convergence est pris tel que : | ~M × ~Hef f|/Ms2 < 10
−7. Le r´egime statique est
assur´e lorsque tous les ´etats interm´ediaires calcul´es respectent la condition de convergence. En effet, un ´etat satisfaisant cette condition est consid´er´e comme stable dans le temps.
De plus, pour les calculs statiques, le coefficient d’amortissement α est pris ´egal `a 0, 5. Du point de vue physique, cette valeur n’est pas acceptable mais elle permet de mener des simulations en r´egime statique avec un temps de calcul plus faible sans influencer le r´esultat. En effet, lorsque la valeur du coefficient d’amortissement est ´elev´ee, c’est la dynamique de l’aimantation qui est fauss´ee et ceci ne nous int´eresse pas ici. En revanche, il est imp´eratif d’utiliser une valeur ad´equate lors de simulations r´esolues en temps. – Le protocole pour obtenir les ´etats d’´equilibre est le suivant. Le syst`eme est g´en´er´e dans
un ´etat o`u l’aimantation dans chaque cellule a une direction al´eatoire. Ensuite, un champ fort est appliqu´e, orient´e selon l’axe de la longueur et avec ou sans angle selon la direction choisie. Cet angle permet de se rapprocher de la situation exp´erimentale. Ce champ de forte amplitude d´ecroˆıt ensuite lentement jusqu’`a sa disparition. Cet ´etat, en l’absence de champ ext´erieur, est l’´etat d’´equilibre de notre syst`eme `a la r´emanence.
– Pour terminer, en partant de cet ´etat d’´equilibre, le champ va augmenter tr`es progressive- ment jusqu’au retournement de l’aimantation, donnant ainsi la valeur du champ coercitif du syst`eme.
– L’anisotropie uniaxiale n’est pas prise en compte pour ces calculs micro-magn´etiques puis- qu’elle est n´egligeable devant l’anisotropie de forme pour les tailles ´etudi´ees.
Tous les ´etats interm´ediaires calcul´es doivent satisfaire la condition de convergence fix´ee plus haut. Nous avons observ´e et tenu compte de l’influence de l’angle entre champ magn´etique statique et le grand axe des rectangles ainsi que de la m´ethode num´erique utilis´ee par OOMMF pour le calcul du champ d´emagn´etisant.
7.3.3
Etat d’´´
equilibre des structures.
Nous observons sur les figures 7.2 et 7.3 la diff´erence induite par l’angle d’application du champ sur l’´etat d’´equilibre. Si cet angle est nul (figures 7.2.a et 7.3.b), le syst`eme montre un ´etat parfaitement sym´etrique et quasi homog`ene. Seule une petite partie de l’aimantation diverge pr`es des coins. Lorsque le champ ext´erieur est appliqu´e avec un angle non nul (figures 7.2 et 7.3), l’´etat d’´equilibre observ´e est dit de type S [60, 89]. Il est antisym´etrique et montre une rotation des spins sur les coins des structures. Cette d´eviation est dans la mˆeme direction que la d´eviation du champ appliqu´e.
Les valeurs num´eriques des diff´erentes ´energies sont donn´ees dans le tableau 7.1. Nous voyons que les ´etats S pr´esentent une ´energie totale plus faible que l’´etat sym´etrique. De plus, cette ´
energie est identique pour des angles de 1◦ ou de 2◦. Nous remarquons ´egalement que l’´energie totale volumique varie peu d’une g´eom´etrie `a l’autre. Pour l’´etat S, elle est seulement 5% plus faible pour la forme la plus allong´ee et se porte essentiellement sur l’´energie d´emagn´etisante.
L’´etat S est, au vu des chiffres, plus stable que l’´etat sym´etrique. Afin de confirmer cette stabilit´e, nous avons perturb´e les 2 ´etats avec un petit signal selon l’axe y. Il s’est tout de suite r´ev´el´e que l’´etat sym´etrique n’est pas stable, la moindre variation de champ non-colin´eaire `a l’axe x fait basculer le syst`eme observ´e dans l’´etat S. Ces ´etats S ont donc ´et´e retenus pour servir d’´etats de d´epart pout tous les calculs dynamiques.
7.3. CALCULS STATIQUES - ´ETATS D’ ´EQUILIBRES 89
G´eom´etrie (nm2) Angle de ~H
stat ET (J ) ET (J.m−3) Eech (J.m−3) Ed (J.m−3) 1024 × 256 0 ◦ 4, 500 × 10−17 8583 655 7928 1◦ 4, 118 × 10−17 7854 608 7246 1024 × 128 0 ◦ 4, 137 × 10−17 7891 509 7382 1◦ 3, 953 × 10−17 7539 599 6940
Tab. 7.1 – Energies calcul´ees sur OOMMF en fonction de l’angle entre le champ statique appliqu´e et la direction de facile aimantation.
Fig. 7.2 – ´Etats d’´equilibre d’un rectangle 1024 × 256 pour un champ ext´erieur appliqu´e avec diff´erents angles par rapport `a l’axe facile : a) 0◦, b) 1◦ et c) 2◦.
7.3.4
Champs coercitifs
Le tableau 7.2 montre, comme attendu, une d´ependance en fonction de la g´eom´etrie du syst`eme simul´e. Une diminution de la largeur implique une augmentation du champ de retour- nement. Les champs donn´es sont ceux obtenus pour un champ statique appliqu´e avec un angle de 1◦.
Ces calculs pr´eliminaires nous ont permis la caract´erisation en r´egime statique et la cr´eation des ´etats initiaux qui seront utilis´es dans les calculs dynamiques.
Fig. 7.3 – ´Etats d’´equilibre d’un rectangle 1024 × 128 pour un champ ext´erieur appliqu´e avec diff´erents angles par rapport `a l’axe facile : a) 0◦, b) 1◦ et c) 2◦.