Calcul d’une moyenne d’orientations

Glez et Driver (2001) ont d´etaill´e la m´ethodologie du calcul d’une moyenne d’orienta-tions. Les orientations `a moyenner doivent ˆetre exprim´ees par les quaternions qui poss`edent l’´ecriture minimisant les d´esorientations entre eux. Cela consiste en pratique `a prendre une orientation de r´ef´erence, `a transformer chacune des autres orientations `a l’aide de l’´equation E.14 et `a calculer `a chaque fois la d´esorientation entre l’orientation de r´ef´ e-rence et l’orientation alors transform´ee. L’expression qui minimise la d´esorientation doit ˆetre conserv´ee pour la suite de la proc´edure. Finalement, l’orientation moyenne q<sub>moy</sub> du jeu d’orientations q<sub>i</sub> o`u i ∈ [[1, n]] est obtenue par l’´equation E.16 qui peut ˆetre illustr´ee dans le cas 2D par la figure E.3.

q_moy =

ANNEXE E. OUTILS DE MANIPULATION ET D’ANALYSE DES ORIENTATIONS

Figure E.3: Illustration 2D du calcul d’une orientation moyenne effectu´ee par sommation des vecteurs unitaires puis normalisation.q1,...,q7sont les orientations `a moyenner, etqmoyest l’orien-tation moyenne (Humphreys et al., 2001)

Annexe F

Effet de la d´ eformation sur l’´ evolution individuelle des composantes de texture

Les cartes de la figure F.1 permettent de se rendre compte de l’´evolution de la distribu-tion spatiale des composantes de textureCube,CT18DN,Laiton etI avec la d´eformation dans les deux mati`eres Faible1 et Moyen2. La microstructure ´etait initialement dans un

´etat T4 (cartes C1), et la d´eformation a ´et´e r´ealis´ee par traction uniaxiale sens DT de 15% (cartes C2).

Les cartes C1 et C2 repr´esentent exactement la mˆeme zone qui a ´et´e pr´ealablement rep´er´ee par des marques d’indentation. Il faut noter que les cartes C2 apr`es d´eformation ont ´et´e redimentionn´ees pour faciliter les comparaisons. L’abr´eviation PNI se r´ef`ere aux points non index´es pr´esents dans les mesures de microtexture, et il est possible de se rendre compte que les fractions volumiques de PNI sont inf´erieures `a 4% et leurs r´epartitions spatiales plutˆot al´eatoires.

Les composantes Cube etCT18DN ont l´eg`erement diminu´e alors que les composantes LaitonetI se sont intensifi´ees. Les distributions ont ainsi ´evolu´e mais de mani`ere concert´ee et progressive, ce qui est tout `a fait coh´erent avec les travaux exp´erimentaux de Bennett et al.(2009).

ANNEXE F. EFFET DE LA D´EFORMATION SUR L’´EVOLUTION INDIVIDUELLE DES COMPOSANTES DE TEXTURE

(a) Mati`ere Faible1 ´etat T4 (carte C1) (b) Mati`ere Faible1 ´etat T4 (carte C1)

(c) Mati`ere Faible1 apr`es traction (carte C2 redimensionn´ee)

(d) Mati`ere Faible1 apr`es traction (carte C2 redimensionn´ee)

(e) Mati`ere Moyen2 ´etat T4 (carte C1) (f) Mati`ere Moyen2 ´etat T4 (carte C1)

(g) Mati`ere Moyen2 apr`es traction (carte C2 redimensionn´ee)

(h) Mati`ere Moyen2 apr`es traction (carte C2 redimensionn´ee)

Cube CT18DN PNI Laiton I

Figure F.1: Cartes en composantes de texture de la mˆeme zone, avant et apr`es 15% de d´ efor-mation. Nota : l’abr´eviation PNI r´ef`ere aux points non index´es.

(a-d) = Couche de la mati`ere Faible1 situ´ee `a 30µm sous la surface (p= 0.94)

Annexe G

Evolution de la distribution en taille ´ de grains avec la profondeur

Les figures G.1, G.2 et G.3 pr´esentent les cartes de distribution en taille de grains des mati`eres Faible1, Moyen2 et Fort1. Elles ont ´et´e obtenues par le code de reconstruction de la structure granulaire (d´esorientation critique fix´ee `a 15˚) `a partir des acquisitions de microtexture par la technique deserial sectioning.

Les mati`eres Faible1 et Fort1 pr´esentent des distributions en taille de grains plus h´et´erog`enes que dans la mati`ere Moyen2. Ces deux mati`eres contiennent ainsi quelques tr`es gros grains alors que ceux de la mati`ere Moyen2 ont une tr`es faible dispertion de taille.

La distribution h´et´erog`ene en taille de grains influence tr`es probablement les d´ efor-mations locales des couches de grains. Mais nous n’avons pas ´et´e en mesure de quantifier son effet car il aurait ´et´e n´ecessaire de d´ecorr´eler les contributions de la g´eom´etrie des grains de celles des orientations cristallographiques. Or le caract`ere tridimentionnel des ph´enom`enes physiques rend la r´esolution du probl`eme extrˆemement d´elicate. Nous avons alors n´eglig´e le facteur g´eom´etrique dans la suite de l’´etude.

ANNEXE G. ´EVOLUTION DE LA DISTRIBUTION EN TAILLE DE GRAINS AVEC LA PROFONDEUR

0µm(p= 1.0) d= 19.2µm d_min = 6.8µm et d_max = 102.4µm

-25µm(p= 0.95) d = 25.4µm d_min = 6.8µm et d_max = 200.9µm

-55µm (p= 0.9) d= 31.1µm d_min = 6.8µm et d_max = 411.5µm

-85µm(p= 0.83) d = 31.6µm dmin = 6.8µm et dmax = 376.9µm

-115µm (p= 0.77) d= 30.7µm d_min = 6.8µm et d_max = 453.5µm

-135µm (p= 0.73) d= 30.7µm d_min = 6.8µm et d_max = 312.2µm

-250µm (p= 0.5)d= 28.2µm

d_min = 6.8µm et d_max = 205.3µm -500µm (p= 0) d= 29.5µm dmin = 6.8µm et dmax = 316.1µm Figure G.1: Mati`ere Faible1. Cartes de distributions en taille de grains calcul´ees `a partir des acquisitions EBSD par le code de reconstruction de la microstructure. En vert est indiqu´e le profil de variations selon DT

0µm (p= 1.0)d= 18.4µm

d_min = 6.8µm etd_max= 79.5µm -25µm (p= 0.95) d= 23.3µm d_min = 6.8µm etd_max = 122.8µm

-55µm (p= 0.89) d= 27.3µm d_min = 6.8µm etd_max = 199.5µm

-85µm (p= 0.83) d= 27.7µm d_min = 6.8µm etd_max = 241µm

-115µm (p= 0.77) d= 28.5µm d_min = 6.8µm etd_max = 214.3µm

-135µm (p= 0.73) d= 27.4µm d_min = 6.8µm etd_max = 191.8µm

-250µm(p= 0.5) d= 28.4µm d_min = 6.8µm etd_max = 155.1µm

-500µm (p= 0.0)d= 26.9µm dmin = 6.8µm etdmax = 144.1µm Figure G.2: Mati`ere Moyen2. Cartes de distributions en taille de grains calcul´ees `a partir des acquisitions EBSD par le code de reconstruction de la microstructure. En vert est indiqu´e le profil de variations selon DT

ANNEXE G. ´EVOLUTION DE LA DISTRIBUTION EN TAILLE DE GRAINS AVEC LA PROFONDEUR

0µm (p= 1.0)d = 23µm d_min = 6.8µm et d_max = 129.3µm

-25µm (p= 0.975) d= 31.6µm d_min = 6.8µm et d_max = 218.7µm

-55µm (p= 0.945) d= 31.8µm dmin = 6.8µm et dmax = 253.3µm

-85µm (p= 0.915) d= 28.8µm d_min = 6.8µm et d_max = 317.3µm

-115µm (p= 0.885) d= 27.2µm d_min = 6.8µm etd_max= 295µm

-135µm(p= 0.865) d= 28.8µm d_min = 6.8µm et d_max = 328.2µm

-250µm (p= 0.75) d= 25.4µm d_min = 6.8µm et d_max = 248.3µm

-500µm (p= 0.5)d = 30.9µm d_min = 6.8µm et d_max = 250.3µm Figure G.3: Mati`ere Fort1. Cartes de distributions en taille de grains calcul´ees `a partir des acquisitions EBSD par le code de reconstruction de la microstructure. En vert est indiqu´e le profil de variations selon DT

Annexe H

Loi d’´ ecrouissage isotrope du mod` ele par ´ El´ ements Finis

H.1 Param` etres de la loi d’´ ecrouissage

Les param`etres de la loi d’´ecrouissage (´equation 5.19) ont ´et´e d´etermin´es en les fittant sur le comportement macroscopique d’un ´echantillon mesur´e exp´erimentalement. Un essai de compression plane bi-encastr´ee `a temp´erature ambiante sur un ´echantillon sandwich AA6016 (images H.1(a) et H.1(b)) a ´et´e men´e par Mattei (2009) `a l’aide d’un dispositif de Channel Die. La figure H.2(a) pr´esente la courbe contrainte-d´eformation Σ ⇔E r´ealis´ee en deux passes successives entre lesquelles une couche mince de t´eflon a ´et´e renouvel´ee afin de minimiser les effets du frottement.

(a) (b)

Figure H.1: Essai de compression plane r´ealis´e `a temp´erature ambiante sur des tˆoles AA6016 (Mattei, 2009) (a) = ´Echantillon sandwich initial (b) = ´Echantillon sandwich apr`es une d´ efor-mation logarithmiqueE = 0.9

ANNEXE H. LOI D’´ECROUISSAGE ISOTROPE DU MOD`ELE PAR ´EL´EMENTS FINIS

La m´ethodologie pour fitter la loi d’´ecrouissage sur les donn´ees exp´erimentales a consist´e `a transformer la courbe macroscopique Σ ⇔ E en courbe ´equivalente micro-scopique τ ⇔ γ par l’interm´ediaire du facteur de Taylor T moyen de l’´echantillon (T = Σ

τ =P

|γ|˙

E). La d´eriv´ee Θ =∂Σ

∂E a ´et´e calcul´ee puis trac´ee en fonction de τ.

Avec un facteur de Taylor moyen ´evalu´e `a 2.95 `a partir des donn´ees de texture RX, les param`etres Θ<sub>IV</sub>, Θ<sub>0</sub>,τ<sub>s</sub> etαont ´et´e ajust´es comme le montre le graphique H.2(b). Les valeurs de ces param`etres qui ont ´et´e utilis´ees dans les simulations sont pr´esent´ees dans le tableau H.1.

(a) (b)

Figure H.2: (a) = Courbe exp´erimentale contrainte-d´eformation Σ⇔E form´ee de deux passes successives (b) = Courbes Θ⇔Σ exp´erimentales et fitt´ees par la loi de type Voce modifi´ee

Param`etres Θ_IV Θ₀ α τ_s

Valeurs fitt´ees 11M P a 1900M P a 9 273M P a

Tableau H.1: Param`etres de la loi d’´ecrouissage fitt´es sur les donn´ees exp´erimentales de com-pression

H.2. SENSIBILIT ´E DU MOD`ELE AVEC LES PARAM `ETRES DE LA LOI