3.7 Étude des remontées des fréquences parasites
3.7.1 Identification des défauts des mélangeurs simple-bande
3.7.1.1 Calcul de l’écart de puissance entre le signal désiré et les
Lorsque l’on mélange un signal à la fréquence f1 avec un signal à la fréquence f2
avec un mélangeur simple-bande affecté par les désaccords de phase et de gain, ainsi que par les fuites des mélangeurs double-bande, on retrouve quatre fréquences aux voies I et Q de sortie (figure 3.26) :
– le signal désiré à la fréquence f1+ f2 dans le cas d’un mélange de type “somme” – une partie du signal d’entrée à la fréquence f1 qui a fui vers la sortie, atténué de
LdB
– une partie du signal d’entrée à la fréquence f2 qui a fui vers la sortie, atténué de LdB
Fig.3.26 – Mélangeur simple-bande excité par deux sinusoïdes et affecté par les désac-cords de phase ϕ1 et ϕ2, de gain ∆A, et par les fuites LdB des mélangeurs double-bande.
Nous proposons de calculer l’écart de puissance entre le signal désiré et les parasites générées pour la voie I et la voie Q en fonction des paramètres ϕ1, ϕ2, ∆A et LdB.
Pour la suite de l’étude on supposera que les gains de conversion des mélangeurs double-bande sont égaux à 1 (0 dB) lorsqu’ils ne sont pas déséquilibrés les uns par rapport aux autres (∆A= 0). Les tensions V1, V2, V3 et V4 aux sorties des 4 mélangeurs double-bande sont les suivantes :
V1 = [2 cos ω1t· cos ω2t + (cos ω1t + cos ω2t) 10−LdB/20] [1 + ∆A] = [cos (ω1+ ω2) t + cos (ω1− ω2) t+
(cos ω1t + cos ω2t) 10−LdB/20i
[1 + ∆A] (3.21)
V2 = 2 sin (ω1t + ϕ1)· sin (ω2t + ϕ2) +
[sin (ω1t + ϕ1) + sin (ω2t + ϕ2)] 10−LdB/20
= − cos (ω1+ ω2) t· cos (ϕ1+ ϕ2) + sin (ω1+ ω2) t· sin (ϕ1+ ϕ2) + cos (ω1− ω2) t· cos (ϕ1− ϕ2)− sin (ω1− ω2) t· sin (ϕ1− ϕ2) + [sin ω1t· cos ϕ1+ cos ω1t· sin ϕ1+
sin ω2t· cos ϕ2+ cos ω2t· sin ϕ2] 10−LdB/20 (3.22) V3 = h
2 cos ω1t· sin (ω2t + ϕ2) + (cos ω1t + sin (ω2t + ϕ2))· 10−LdB/20i
[1 + ∆A] = [sin (ω1+ ω2) t· cos ϕ2+ cos (ω1+ ω2) t· sin ϕ2
− sin (ω1− ω2) t· cos ϕ2+ cos (ω1− ω2) t· sin ϕ2
V4 = 2 sin (ω1t + ϕ1)· cos ω2t + (sin (ω1t + ϕ1) + cos ω2t)· 10−LdB/20
= sin (ω1+ ω2) t· cos ϕ1+ cos (ω1+ ω2) t· sin ϕ1
+ sin (ω1− ω2) t· cos ϕ1− cos (ω1− ω2) t· sin ϕ1
+ (sin ω1t· cos ϕ1+ cos ω1t· sin ϕ1+ cos ω2t)· 10−LdB/20 (3.24) Puisque les gains de conversion des mélangeurs double-bande sont supposés égaux à 1 (0 dB), un facteur 2 a été ajouté à tous les mélanges pour que la puissance aux entrées des mélangeurs double-bande soit identique à la puissance de sortie. La valeur LdB est à normaliser par rapport au gain de conversion des mélangeurs double-bande.
La tension de la voie I est obtenue en faisant la différence entre V1 et V2 : VI = cos (ω1+ ω2) t [1 + ∆A+ cos (ϕ1+ ϕ2)]
− sin (ω1+ ω2) t sin (ϕ1+ ϕ2)
+ cos (ω1− ω2) t [1 + ∆A− cos (ϕ1− ϕ2)] + sin (ω1− ω2) t· sin (ϕ1− ϕ2)
+10−LdB/20[cos ω1t (1 + ∆A− sin ϕ1)− sin ω1t· cos ϕ1
+ cos ω2t (1 + ∆A− sin ϕ2)− sin ω2t· cos ϕ2] (3.25) La figure 3.27 correspond au schéma d’une source de puissance d’impédance de sortie complexe ZS connectée à une impédance de charge complexe ZL. On rappelle que pour maximiser la puissance transférée à une charge, il faut adapter les impédances. Pour réaliser cette adaptation il faut que l’impédance de charge ZL corresponde au complexe conjugué de l’impédance de sortie ZS. Dans ce cas, la puissance maximum transférée à la charge est Pmax= Vmax2
8Re[ZL]. On supposera que la condition de transfert optimal de puissance est tout le temps réalisée.
Fig. 3.27 – Schéma d’une source de puissance d’impédance de sortie complexe ZS connectée à une impédance de charge complexe ZL.
PI|f1+f2 = [(1 + ∆A)2+ cos2(ϕ1+ ϕ2)
+2 cos (ϕ1+ ϕ2) (1 + ∆A) + sin2(ϕ1+ ϕ2)] 1 8Re[ZL] = [1 + (1 + ∆A)2+ 2 cos (ϕ1+ ϕ2) (1 + ∆A)] 1
8Re[ZL] (3.26) La puissance du signal image à la pulsation f1− f2 de la voie I est :
PI|f1−f2 = [(1 + ∆A)2+ cos2(ϕ1− ϕ2)
−2 (1 + ∆A) cos (ϕ1− ϕ2) + sin2(ϕ1− ϕ2)] 1 8Re[ZL] = [1 + (1 + ∆A)2− 2 (1 + ∆A) cos (ϕ1− ϕ2)] 1
8Re[ZL] (3.27) La puissance du signal de fuite à la pulsation f1 de la voie I est :
PI|f1 = 10−LdB/10h (1 + ∆A)2+ sin2ϕ1 −2 (1 + ∆A) sin ϕ1+ cos2ϕ1 1 8Re[ZL] = 10−LdB/10h 1 + (1 + ∆A)2− 2 (1 + ∆A) sin ϕ1 i 1 8Re[ZL] (3.28) La puissance du signal de fuite à la pulsation f2 de la voie I est :
PI|f2 = 10−LdB/10h (1 + ∆A)2+ sin2ϕ2 −2 (1 + ∆A) sin ϕ2+ cos2ϕ2 1 8Re[ZL] = 10−LdB/10h 1 + (1 + ∆A)2− 2 (1 + ∆A) sin ϕ2 i 1 8Re[ZL] (3.29) On suppose que l’impédance de charge ZL est la même pour toutes les fréquences. La différence entre la puissance du signal désiré et la puissance des signaux parasites est appelé SRR (Spurs Rejection Ratio) :
SRRI = 10 log " PI|f1+f2 PI|f1−f2+ PI|f1+ PI|f2 # (3.30) Les équations (3.26), (3.27), (3.28) et (3.29) permettent de déterminer le SRR de la voie I.
Nous allons maintenant déterminer le SRR de la voie Q. La tension de la voie Q est obtenue en faisant la somme entre V3 et V4 :
VQ = cos (ω1+ ω2) t [(1 + ∆A) sin ϕ2+ sin ϕ1] + sin (ω1+ ω2) t [(1 + ∆A) cos ϕ2+ cos ϕ1] + cos (ω1− ω2) t· [(1 + ∆A)· sin ϕ2+ sin ϕ1] + sin (ω1− ω2) t [−(1 + ∆A) cos ϕ2+ cos ϕ1]
+10−LdB/20[cos ω1t [1 + ∆A+ sin ϕ1] + sin ω1t· cos ϕ1
+ cos ω2t [(1 + ∆A) sin ϕ2+ 1] + sin ω2t· cos ϕ2(1 + ∆A)] (3.31) La puissance du signal désiré à la pulsation f1+ f2 de la voie Q est :
PQ|f1+f2 = [(1 + ∆A)2sin2ϕ2+ sin2ϕ1+ 2 sin ϕ1sin ϕ2(1 + ∆A)
+ cos2ϕ2(1 + ∆A) + cos2ϕ1+ 2 cos ϕ1cos ϕ2(1 + ∆A)] 1 8Re[ZL] = [1 + (1 + ∆A)2+ 2 (1 + ∆A) (sin ϕ1sin ϕ2+ cos ϕ1cos ϕ2)] 1
8Re[ZL] = [1 + (1 + ∆A)2+ 2 (1 + ∆A) cos (ϕ1− ϕ2)] 1
8Re[ZL] (3.32)
La puissance du signal image à la pulsation f1− f2 de la voie Q est :
PQ|f1−f2 = [(1 + ∆A)2sin2ϕ2+ sin2ϕ1+ 2 sin ϕ1sin ϕ2(1 + ∆A)
+ cos2ϕ2(1 + ∆A) + cos2ϕ1− 2 cos ϕ1cos ϕ2(1 + ∆A)] 1 8Re[ZL] = [1 + (1 + ∆A)2+ 2 (1 + ∆A) (sin ϕ1sin ϕ2− cos ϕ1cos ϕ2)] 1
8Re[ZL] = [1 + (1 + ∆A)2− 2 (1 + ∆A) cos (ϕ1+ ϕ1)] 1
8Re[ZL] (3.33)
La puissance du signal de fuite à la pulsation f1 de la voie I est :
PQ|f1 = 10−LdB/10h
(1 + ∆A)2+ sin2ϕ1+ 2 (1 + ∆A) sin ϕ1+ cos2ϕ2
i 1
8Re[ZL] = 10−LdB/10h
1 + (1 + ∆A)2+ 2 (1 + ∆A) sin ϕ1i 1
8Re[ZL] (3.34) La puissance du signal de fuite à la pulsation f2 de la voie I est :
PQ|f2 = 10−LdB/10h 1 + sin2ϕ2(1 + ∆A)2+ 2 sin ϕ2(1 + ∆A) + cos2ϕ2(1 + ∆A)2i 1 8Re[ZL] = 10−LdB/10h 1 + (1 + ∆A)2+ 2 (1 + ∆A) sin ϕ2 i 1 8Re[ZL] (3.35) Le SRR de la voie Q est le suivant :
SRRQ= 10 log " PQ|f1+f2 PQ|f1−f2+ PQ|f1 + PQ|f2 # (3.36) Les équations (3.32), (3.33), (3.34) et (3.35) permettent de calculer le SRR de la voie Q. Les figures 3.28 et 3.29 correspondent respectivement aux SRR des voies I et Q dans le cas où les désaccords de phase sont égaux et de mêmes signes et dans le cas où les désaccords de phase sont égaux et de signe opposés. Ces simulations ont été effectuées dans le cas d’une isolation parfaite (LdB → +∞) et d’un désaccord de gain ∆A= 0.05 qui est une valeur typique pour une réalisation CMOS [24]. Ces résultats montrent que la voie I est peu sensible et que la voie Q est très sensible au désaccord de phase lorsque ϕ1 et ϕ2 sont de mêmes signes, et inversement, que la voie I est très sensible et que la voie Q est peu sensible au désaccord de phase lorsque ϕ1 et ϕ2 sont de signes opposés. Ainsi, le cas le plus défavorable correspond à des désaccords de phase de mêmes signes pour la voie I, et de signe opposés pour la voie Q. Les conclusions tirées sont similaires lorsque le mélangeur simple-bande est en mode “différence”. Les résultats qui suivent étant similaires pour les voies I et Q, nous nous limiterons à l’étude de la voie Q.
−5 0 5 20 21 22 23 24 25 26 27 28 S R RI e n d B ϕ1= −ϕ2en degrès −5 0 5 20 21 22 23 24 25 26 27 28 S R RQ e n d B ϕ1= −ϕ2en degrès
Fig. 3.28 – SRRI et SRRQ en fonction du désaccord de gain dans le cas où ϕ1= ϕ2.
3.7.1.2 Choix du niveau de fuite tolérable sur les mélangeurs double-bande