Algorithme à une itération

Cette section est composée des 6 parties correspondant aux 6 étapes de l’algorithme : 1. Estimation grossière du canal basée sur les M LTS reçus

2. Décisions dures de N symboles de données

3. Estimation des paramètres K_R1 et K_R2 du déséquilibre IQ 4. Compensation du déséquilibre IQ sur les symboles de données 5. Compensation du déséquilibre IQ sur l’estimation de canal 6. Égalisation des symboles de données compensés

Étape 1 : Estimation grossière du canal basée sur les M LTS reçus Cette estimation est donnée par l’équation (4.45).

Étape 2 : Décisions dures de N symboles de données

Puisque l’algorithme nécessite N symboles de données grossièrement égalisés T_k(n), le choix du type d’égaliseur n’est pas important à cette étape. Nous choisissons donc l’éga-liseur ZF puisqu’il a l’avantage d’être simple à implémenter. Le modèle des N symboles de données grossièrement égalisés est donné par l’équation (4.47). Le choix de la valeur de N est discuté en section 4.3.4.1.

Même si le déséquilibre IQ est important, K_R1 et K_R2sont respectivement proches de 1 et de 0 impliquant ainsi que αk

c

αk+Lk_βc_k et ^β

c

αk+Lk_βc_k sont aussi respectivement proches de 1 et de 0. T_k(n) de l’équation (4.47) sont ainsi de très bonnes approximations de E_k(n).

Étape 3 : Estimation des paramètres K_R1 et K_R∗

2 du déséquilibre IQ Si E_k(n) et E_−k^∗ (n) sont respectivement remplacés par D [Tk(n)] et D^T_−k^∗ (n)

dans les équations (4.45) et (4.46), celles-ci donnent un système de deux équations à deux inconnues pour chaque sous porteuse reçue :

(

C_k = αb_k+ L_kβb_k,

R_k(n) = αb_kD [Tk(n)] + bβ_kD^T_−k^∗ (n) (4.48) Notons que B_Rk(n) de l’équation (4.46) est compris dans les estimations α_k et β_k. Selon les valeurs prises par D [Tk(n)],D^T_−k^∗ (n)

et L_k, deux cas sont possibles : – Si D [Tk(n)] L_k = D^T∗

−k(n)

la sous porteuse correspondante ne peut pas être utilisée car les deux équations du système 4.48 sont équivalentes ;

– Si D [Tk(n)] L_k6= D^T_−k^∗ (n)

le système 4.48 a une solution unique.

Soit ζ l’ensemble des sous porteuses qui satisfont le critère D [Tk(n)] Lk6= D^T_−k^∗ (n) pour k ∈ ± [1; NDF T/2− 1] et pour n ∈ [1; N]. Ainsi pour les sous porteuses comprises dans ζ, les estimations bαk et bβ_k sont :

     b α_k = ^{LkRk(n)−CkD[T}−k^∗ (n)] D[Tk(n)]Lk−D[T∗ −k(n)] b β_k = ^−Rk(n)+CkD[Tk(n)] D[T_k(n)]L_k−D[T∗ −k(n)] (4.49)

De l’équation (4.44) et du système précédent (4.49), on peut déduire les estimations bH_k et dK_R1 : ( bH_k = αb_k+ bβ∗ −k, d K_R1 = ^αbk b αk+ bβ∗ −k (4.50) Les estimations bH_kcalculées à cette étape de l’algorithme ne sont pas fiables pour deux raisons :

– Pour chaque symbole de donnée reçu, bH_k ne peut être estimé pour toutes les sous porteuses car pour certaines sous porteuses la condition D [Tk(n)] L_k 6= D^T_−k^∗ (n)

ne peut pas toujours être satisfaite. Notons P la probabilité moyenne que cette condition soit satisfaite. P dépend de la constellation choisie pour les données. Par exemple, dans le cas d’une QPSK équiprobable P = 1/4. Ainsi le nombre moyen d’estimation bH_k par sous porteuse et par symbole de données reçu est 1 − P = 3/4. Le nombre moyen d’estimation augmente si la taille de la constellation augmente, et inversement.

– bH_kest très sensible aux erreurs de décisions dures puisqu’il y a en moyenne moins d’une estimation par sous porteuse et par symbole de données reçu.

Soit NDAT A le nombre de sous porteuses attribuées pour les données dans un sym-bole OFDM. Puisque K_R1est supposé constant pour toutes les sous porteuses, le nombre moyen d’estimation dK_R1 par symbole de données reçu est N_{DAT A}(1− P ). Prenons l’exemple du standard IEEE 802.11a où la constellation est une QPSK équiprobable et le nombre de sous porteuses de données est N_{DAT A} = 48. Dans ce cas, le nombre moyen d’estimations de K_R1par symbole de données reçu est N_{DAT A}(1−P ) = 48(1−1/4) = 36. Cette estimation est d’autant plus robuste si on utilise plusieurs symboles de données. Dans ce cas là, le nombre moyen d’estimation dK_R1 est N_DATA(1− P )N. L’impact des erreurs de décisions dures sur l’estimation dK_R1 peut donc être minimisé en moyennant les estimations sur le nombre de sous porteuses comprises dans ζ :

d K_R1= ¹ card (ζ) X k∈ζ b α_k b α_k+ bβ_−k^{∗ .} (4.51)

Notons que la valeur moyenne de card (ζ) est N_DATA(1− P )N.

Une fois l’estimation dK_R1 calculée, l’estimation dK_R2 est donnée par l’équation (4.24). Étape 4 : Compensation du déséquilibre IQ sur les symboles de données Nous proposons de compenser les symboles de données dans le domaine fréquentiel. Les symboles de données reçus peuvent se réécrire de la manière suivante :

Rk(n) = K_R1HkEk(n) + K_R2H_−k^∗ E_−k^∗ (n) + B_Rk(n)

= K_R1D_k(n) + K_R2D_−k^∗ (n) + B_Rk(n) (4.52) avec D_k(n) = H_kT_k(n) qui correspond aux symboles reçus non affectés par le déséqui-libre IQ.

La forme matricielle de l’équation (4.52) est :  R_k(n) R_−k^∗ (n)  =  K_R1 K_R2 K_R^∗₂ K_R^∗₁  | {z } A1  D_k(n) D^∗_−k(n)  +  B_Rk(n) B_R^∗_−k(n)  (4.53)

Puisque A₁ a été estimée, la compensation des symboles de données est obtenue en inversant cette même matrice :

b D_k(n) = _Kd_R∗ 1R_k(n)− dK_R2R^∗_−k(n)    dK_R1 ²− dK_R2 ² (4.54)

La compensation des données est impossible si la matrice A₁ n’est pas inversible, c’est à dire si det (A1) = | KR1 |² − | KR2|² = 0. Ce cas correspond à un démodulateur IQ irréaliste puisque le désaccord de gain doit être de g_R = 0 et/ou le désaccord de phase de ϕ_R=±π/2 ± π.

Puisque le déséquilibre IQ est linéaire, il peut être compensé avant [60] ou après la DFT. Si les N symboles de données utilisés pour l’estimation du déséquilibre IQ doivent aussi être compensés, la compensation dans le domaine fréquentiel est préférable car la DFT n’a pas à être recalculée. Si la compensation est faite dans le domaine temporel, la DFT doit être recalculée.

Étape 5 : Compensation du déséquilibre IQ sur l’estimation de canal Comme décrit dans l’étape 3, il n’est pas judicieux d’estimer H_k à l’aide de la première équation du système (4.50). Afin d’obtenir une estimation fiable du canal, il est donc nécessaire de compenser l’estimation grossière du canal de l’étape 1 avec l’estimation fiable du déséquilibre IQ obtenue par l’étape 3. L’estimation grossière du canal peut se réécrire sous la forme suivante :

C_k = αb_k+ L_kβb_k

= K_R1H_k+ L_kK_R2H_−k^∗ (4.55)

La forme matricielle de l’équation (4.55) est  C_k C_−k^∗  =  K_R1 L_kK_R2 L^∗_−kK_R^∗₂ K_R^∗₁  | {z } B1  H_k H_−k^∗  . (4.56)

Puisque B1 a été estimée, la compensation de l’estimation grossière du canal est obte-nue en inversant cette même matrice :

b H_k = _Kd_R∗ 1C_k− LkKd_R2C_−k^∗    dK_R1 ²− dK_R2 ² (4.57)

Étape 6 : Égalisation des symboles de données compensés

Si les étapes précédentes ont été réalisées avec succès, les symboles de données compensés peuvent s’écrire comme un simple scalaire entre la réponse en fréquence du canal et les symboles de données émis :

b

D_k(n) = H_kE_k(n) + eB_Dk(n) (4.58) avec eB_Dk(n) qui correspond au bruit à l’entrée de l’égaliseur.

L’égalisation des symboles de données compensés peut maintenant être réalisée d’une manière classique, c’est à dire avec l’un des égaliseurs décrits ou proposés au chapitre 2.

Le schéma bloc de l’algorithme est donné en figure 4.13.

Fig. 4.13 – Schéma bloc du principe d’estimation et égalisation du déséquilibre du démodulateur IQ.