finis
Tout d’abord, le circuit équivalent monophasé d’une machine synchrone à aimants permanents est présenté en Figure 40. Il détaille les différents composants de cette machine : la résistance du bobinage R (correspondant à la somme de la résistance de la partie active de la machine Ract et la résistance des têtes de bobines Rtb), l’inductance des têtes de bobines Ltb et la machine sans pertes (carré rouge). La Figure 41 introduit le schéma vectoriel de la machine synchrone à aimants permanents en régime permanent. Le schéma met en évidence le décalage entre la force électromotrice 𝐸⃗⃗ et le courant 𝐼⃗ (appelé angle de calage ), le décalage entre la tension 𝑉⃗⃗ et le courant 𝐼⃗ (appelé angle du facteur de puissance ) et l’effet des chutes de tension liées à la résistance de bobinage R et à l’inductance de fuites XF (têtes de bobines). La tension interne 𝑉⃗⃗𝑖𝑛𝑡 est la tension qui ne prend en compte ni la résistance ni l’inductance de fuite, elle correspond à la tension de sortie d’un schéma simplifié adapté aux analyses électromagnétiques [SAI11] [DAG13]. La tension aux bornes du moteur 𝑉⃗⃗ est par conséquent légèrement supérieure à celle de 𝑉⃗⃗𝑖𝑛𝑡. Ces vecteurs peuvent s’exprimer par l’équation (I.4). Le cos’ entre 𝑉⃗⃗𝑖𝑛𝑡 et 𝐼⃗ est aussi plus grand que le cos réel entre 𝑉⃗⃗ et 𝐼⃗. ’
correspond à l’angle du facteur de puissance interne.
Figure 40 : Circuit équivalent monophasé de la MSR-AP Modèle électromagnétique
Page 48 Chapitre II : Analyse par éléments finis de la MSR-AP
Figure 41 : Schéma vectoriel en tension de la MSR-AP
𝑉⃗⃗ = 𝑉⃗⃗𝑖𝑛𝑡 + 𝑅𝐼⃗ + 𝑗𝑋𝐹𝐼⃗ (II.1)
La puissance électromagnétique peut aussi être calculée par l’équation (II.2) lorsque la machine est alimentée en courant sinusoïdal.
𝑃𝑒𝑚 = 3𝑉𝑖𝑛𝑡𝐼 cos 𝜑′ (II.2)
Dans ce chapitre, nous nous limiterons à réaliser des simulations basées sur le schéma simplifié, c’est-à-dire le modèle électromagnétique (carré rouge de la
Figure 40). Les entrées seront le courant 𝐼⃗ et l’angle de calage 𝛼 et les sorties
seront le couple électromagnétique 𝐶𝑒𝑚, la tension interne 𝑉⃗⃗𝑖𝑛𝑡 et le facteur de
puissance interne cos 𝜑𝑖𝑛𝑡. Nous analyserons le couple électromagnétique moyen.
Les pertes (Joule, fer et mécaniques) ne sont donc pas prises en compte.
Après cette remarque sur les simulations, il est indispensable de préciser que la machine est modélisée en mode saturé. Les modélisations sont réalisées par le logiciel de calcul par éléments finis au moyen de simulations magnéto statiques en régime permanent. Il évalue le couple électromagnétique par la méthode du tenseur de Maxwell pour toutes les positions du rotor. La courbe de couple pour un moteur de diamètre extérieur égal à 600 mm est illustrée en Figure 42.
Figure 42 : Couple électromagnétique en fonction de la position du rotor
’ Axe q Axe d 0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360 3000 3250 3500 3750 4000 4250 4500
Position du rotor [°élec.]
C ou pl e [N .m]
Chapitre II : Analyse par éléments finis de la MSR-AP Page 49 Le pas de discrétisation est ici de 1° électrique afin d’obtenir une bonne représentation de la courbe, ce qui implique de réaliser 360 calculs magnéto statiques. Ce nombre de calculs à réaliser pose un problème dû au temps de calcul important. Les performances électromagnétiques doivent donc être évaluées par un nombre réduit de calculs.
Dans un premier temps nous analysons la périodicité du couple. Dans le cas présenté, la Figure 42 met en évidence que le couple électromagnétique à une périodicité égale à un sixième de la période électrique. Cela est prévisible en raison de la combinaison du nombre de dents, de pôles et de phases. L’allure du couple électromagnétique peut alors être calculée sur 60° électriques comme le montre la Figure 43.
Figure 43 : Couple électromagnétique sur un sixième de période (60°e)
La Figure 43 met en évidence qu’il est nécessaire de réaliser 60 calculs magnéto statiques pour obtenir une période de couple. La valeur du couple moyen peut donc être calculée, elle est égale à 4256 N.m dans ce cas. Le nombre de calculs initiaux est donc divisé par six, mais cette réduction n’est pas suffisante car le calcul par éléments finis nécessite tout de même un temps important.
Dans l’objectif de continuer la réduction du temps de calcul du couple électromagnétique moyen ainsi que le facteur de puissance, une approche proposée par Bianchi et al [BIA10] a été employée. Ainsi, pour calculer les grandeurs moyennes, les valeurs des flux dans les axes d-q sont nécessaires, elles sont obtenues par le modèle éléments finis en réalisant quatre calculs magnéto statiques pour des positions bien spécifiques du rotor. Le choix de ces positions est fait pour éliminer les composantes harmoniques, sauf les multiples de 4, et se rapprocher de la valeur fondamentale. Pour les cas étudiés, les quatre positions du rotor sont θ=0°, θ=15°, θ=30° et θ=45° en degrés électriques (points verts sur la
Figure 43). Les valeurs fondamentales des flux direct et en quadrature (d et q) peuvent être exprimées par la valeur moyenne des résultats aux quatre positions
0 10 20 30 40 50 60 4100 4150 4200 4250 4300 4350 4400 4450
Position du rotor [°élec.]
C ou pl e [N .m] Couple Cmoy
Page 50 Chapitre II : Analyse par éléments finis de la MSR-AP par l’équation (II.3). Ensuite, le couple électromagnétique moyen et le facteur de puissance sont calculés par les expressions (II.4) et (II.5).
𝜙𝑑,𝑞 =𝜙𝑑,𝑞(0𝑒0) + 𝜙𝑑,𝑞(150𝑒) + 𝜙𝑑,𝑞(30𝑒0) + 𝜙𝑑,𝑞(45𝑒0) 4 (II.3) 𝐶𝑚𝑜𝑦 =3 2(𝜙𝑑∙ 𝑖𝑞− 𝜙𝑞∙ 𝑖𝑑) (II.4) 𝐹𝑃 = 𝑐𝑜𝑠 (𝑎𝑡𝑎𝑛 (𝜙𝑞 𝜙𝑑) − 𝛼) (II.5)
Nous pouvons vérifier sur le Tableau II les valeurs du couple pour les quatre positions du rotor pour l’exemple de la Figure 43. La valeur moyenne est 4262 N.m, laquelle est proche de 4256 N.m, valeur du couple électromagnétique moyen obtenu avec 61 résolutions. Par conséquent, le modèle par éléments finis doit réaliser au minimum quatre calculs magnéto statiques pour avoir une bonne précision du couple électromagnétique moyen et du facteur de puissance.
Tableau II : Valeurs du couple pour quatre positions du rotor
Grandeur 0° 15° 30° 45° Valeur moyenne Cemmoy
Couple [N.m] 4273 4376 4206 4193 4262 4256
Cette technique de quatre calculs n’est utilisée que pour l’évaluation du couple électromagnétique moyen et du facteur de puissance. Le taux d’ondulation de couple ne peut pas être calculé de cette manière, car quatre points (Figure 43) ne sont pas suffisants pour reconstituer toute la courbe du couple électromagnétique. Tous les points de la courbe doivent alors être calculés si nous souhaitons obtenir
une bonne précision au calcul du taux d’ondulation de couple. L’équation (II.6)
peut être utilisée pour cela.
𝑡𝑜𝑛𝑑 = 𝐶𝑒𝑚(𝑚𝑎𝑥)− 𝐶𝑒𝑚(𝑚𝑖𝑛)
𝐶𝑒𝑚𝑚𝑜𝑦 × 100% (II.6)