Calcul de `-isog´ enies sans changer de niveau









` γ2

. .. γ_n











o`u lesγi sont des r´eels positifs quelconques. Par exemple pour`= 12 nous avons





2 2 2

2 −1 −1

0 1 −1









2 2 0

2 −1 1

2 −1 −1



=



 12

6 2



.

Remarque 7.2.3. Il existe une r´eciproque au th´eor`eme 7.2.1 permettant de monter de niveau sans prendre d’isog´enie. Il suffit de consid´erer la matrice F<sup>−1</sup> au lieu de F. Notons cependant qu’il faut connaˆıtre les coordonn´ees thˆeta de niveau n des points de`-torsion. Ceci est coh´erent avec la propri´et´e 3.1.11qui dit que les thˆeta constantes de la familleFn` codent lan`-torsion de la vari´et´e.

7.2.2 Calcul de `-isog´ enies sans changer de niveau

Dans cette section, nous nous int´eressons de nouveau aux calculs de`-isog´enies entre vari´et´es ab´eliennes repr´esent´ees avec des fonctions thˆeta de niveau n. Rappelons que nous supposons que nest pair (pour des raisons arithm´etiques). Pour simplifier l’exposition et parce qu’il est possible de s’y ramener, nous avons fait l’hypoth`ese que `est un nombre premier qui est premier avecn et avec la caract´eristique du corps.

Combin´ee aux isog´eniesπet ˆπde Lubicz et Robert [LR10a] (section7.1), la formule de changement de niveau permet de calculer une`-isog´enie sans changer de niveau. Pour cela nous proc´edons comme l’un des deux diagrammes suivants :

niveaun` B

π

B

niveaun A

OO //B A

ˆ π

??//B

Cette m´ethode pr´esente l’inconv´enient de devoir prendre des racines`-i`emes et de travailler dans une extension de corps car les vari´et´es en niveaun`ne sont `a priori pas d´efinies sur le corps de base. Comme la fl`eche horizontale est rationnelle, il est naturel d’essayer de trouver un algorithme ne n´ecessitant pas de passer dans une extension. Une modification de la formule de descente de niveau sans isog´enie va r´esoudre ce probl`eme.

PosonsA=C^g/^Ω_{`</sub>Z<sup>g</sup>+Z<sup>g</sup> et B=C<sup>g</sup>/ΩZ<sup>g</sup>+Z<sup>g</sup>, l’isog´enie deAversB est donn´ee par A=C<sup>g</sup>/<sup>Ω</sup><sub>`}Z^g+Z^g −→ B=C^g/ΩZ^g+Z^g

z 7−→ `z

et a pour noyau ¹_`Z^g/Z^g.

Th´eor`eme 7.2.4. SoitF une matrice deMat<sub>r×r</sub>(Z)telle que <sup>t</sup>F F =`Id. PosonsT =F⁻¹. SoitΩune matrice du demi-espace de SiegelHg et soitz un vecteur deC^g. Posons

(w1, . . . , wr) = (`z,0, . . . ,0)T ∈Mat_g×r(C).

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Soient des ´el´ements betb⁰ de _n¹Z^g/Z^g, posons(j1, . . . , jr) = (b, b⁰, . . . , b⁰)T. Nous avons

D´emonstration. Ce th´eor`eme est une r´e´ecriture du th´eor`eme7.2.1o`u nous avons utilis´e la propri´et´e3.1.2 pour avoir modifier b etb<sup>0</sup> par des ´el´ements deZ<sup>g</sup> de telle sorte que tous leurs num´erateurs soient divisibles par `.

Dans la suite nous supposons donc que J = (j₁, . . . , j_r)appartient `a _n¹Z^gr

. D’apr`es la propri´et´e 3.1.2, les fonctions thˆeta de la base Fn utilis´ees ici ne d´ependent pas du choix des repr´esentants des classes de ¹_nZ^g/Z^g.

Avec la remarque pr´ec´edente, il est clair que nous pouvons calculer les thˆeta constantes de niveaunde la vari´et´eB, `a partir de la connaissance des«vraies»thˆeta constantes de niveaundeAet des«vraies» coordonn´ees des points de`-torsion de la vari´et´eA:

θ^A[⁰_b]

De mˆeme, `a partir de ces mˆemes points de`-torsion et des«vraies»coordonn´ees de niveaund’un point deA, nous pouvons calculer les coordonn´ees de niveau nde l’image de ce point par l’isog´enie.

Nous allons expliquer maintenant comment il est possible d’utiliser en pratique le th´eor`eme7.2.4pour calculer des`-isog´enies. Nous utiliserons le lemme suivant

Lemme 7.2.6. La matrice F d´efinie une application lin´eaire sur leZ/`Zespace vectoriel : (Z/`Z)^r −→ (Z/`Z)^r

u 7−→ uF.

Le noyau de cette application est l’ensemble des u^tF o`u u∈(Z/`Z)^r et est de dimensionr/2.

Calcul des thˆeta constantes de la vari´et´e B

Soit`un nombre premier impair diff´erent de la caract´eristique du corps. Nous voulons calculer une `-isog´enie deAdansB=A/Ko`uKest un sous-groupe symplectique maximal de la`-torsion surA. Apr`es un changement de base symplectique, nous pouvons supposer que K correspond `a {β, β ∈ ¹_`Z^g/Z^g}.

Finalement supposons que nous connaissons les coordonn´ees thˆeta de niveaun (avecnpair) des points de ¹<sub>`</sub>Z<sup>g</sup>. C’est-`a-dire que nous connaissons `a un facteur projectifλβ les coordonn´ees thˆeta

λ_βθ^A[⁰_b]

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Comme ` est impair, nous obtenons les puissances `-i`emes des λi/λOA et λi,j/λOA en appliquant les r´esultats de la page 62. D’apr`es les algorithmes14et 15, il est possible de calculer les relev´es affines de tous les points de ¹_`Z^g en fonction des coordonn´ees des points e_i, e_i+e_j et des coefficients λ_i et λ_i,j. Reprenons l’´equation7.1:

[L:L1]θ^B[⁰_b]

Nous avons alors les monˆomes de la partie droite. Le lemme suivant montre qu’ils ne d´ependent que des puissances`-i`emes des facteursλi/λO_A etλi,j/λO_A.

D´emonstration. Nous voulons montrer que le produit est laiss´e invariant par toute transformation de Cλi/λO_A,λi,j/λO_A

qui agit sur les g´en´erateurs par une racine de`-i`eme l’unit´eζ. Ces transformations sont engendr´ees par les transformationsχio et χio,jo o`u

o`u nous avons ´ecritupour le vecteur ligne desui. Comme par hypoth`ese (t1, . . . , tr)F = (0, . . . ,0)∈¹_`Z^g/Z^g,

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Algorithme 20Calcul d’une`-isog´enie sans changer de niveau

Entr´ee: SoitAune vari´et´e ab´elienne donn´ee par ses thˆeta constantesθ^A[⁰_b] 0,^Ω/`_n

de niveaun(avecn pair). Soit un entier `premier et copremier avecnet la caract´eristique du corps. Supposons donn´ees les coordonn´ees thˆeta de niveau n d’une base symplectique (e1, . . . , ei) d’un sous-groupe isotrope maximal de la `-torsion.

Sortie: Les thˆeta constantes de niveaunde la vari´et´eB=A/K.

1: Fixer une matrice F de Matr×r(Z) telle que ^tF F =`Idr. {Nous posonsT =F<sup>−1</sup>= <sup>1</sup><sub>`</sub>F}

2: Faire un changement de base symplectique de sorte que i

ei = (0, . . . , 0, ¹_`, 0, . . . , 0)

3: Pour i6=j, calculerei+ej dansAen utilisant des vraies additions (algorithme 8page54).

4: Calculer les puissances`-i`emes desλ_i/λ_OA,λ_i,j/λ_OA (voir page62).

5: Utiliser les additions diff´erentielles pour calculer les coordonn´ees thˆeta affines de niveau n de tous les points de K = ¹<sub>`</sub>Z<sup>g</sup>/Z<sup>g</sup> dansC[λ<sub>i</sub>/λ<sub>OA</sub>, λ<sub>i,j</sub>/λ<sub>OA</sub>] o`u les λ_i/λ_OA,λ_i,j/λ_OA sont vues comme des r´esultat. Nous pouvons ´eviter de prendre ces racines en travaillant dans l’alg`ebre

C[X_i, X_i,j]/n

Nous r´esumons le calcul des thˆeta constantes de la vari´et´eB dans l’algorithme20.

Remarque 7.2.8. Quand la donn´ee initiale n’est pas tous les points du noyau K mais seulement une basee_i, il faut calculer les points e_i+e_j pouri6=j. Cela ne peut pas ˆetre fait en utilisant des additions diff´erentielles. En niveau n≥4pair, nous pouvons utiliser les vrais additions et en niveau n= 2, il faut utiliser des additions compatibles telles que d´efinies dans [LR10a,Rob10].

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Calcul de l’image d’un point

Nous expliquons maintenant comment calculer l’image d’un pointz∈C^g/ΛΩpar l’isog´enie pr´ec´edente.

Supposons connu un relev´e affine des coordonn´ees thˆeta de niveaundez : µ0θ^A[⁰_b] D’apr`es l’´equation7.1, nous avons la formule

[L:L1]θ^B[⁰_b]

. Comme dans le cas pr´ec´edent, nous allons les calculer

`

a un facteur inconnu pr`es. Cependant, nous connaˆıtrons suffisamment d’informations pour ˆetre capable d’obtenir la valeur du terme de droite.

Commen¸cons par calculer le point correspondant `a z +ei o`u (e1, . . . , en) est la base canonique de ¹_{`</sub>Z<sup>g</sup>/Z<sup>g</sup> `a des facteurs projectifs µi inconnus pr`es. Pour cette op´eration nous avons besoin de vraies additions. Soit k un entier, avec les algorithmes de la section 3.2.3, nous pouvons retrouver tous les pointskz+βavecβ ∈ <sup>1</sup><sub>`}Z^g/Z^g`a un facteur projectif pr`es d´ependant desµi,λietλi,j. De plus, d’apr`es la section3.2.3, nous pouvons calculer les puissances`-i`emes des facteursµi/µ0en fonction des coordonn´ees des points et de λ<sup>`(`−1)</sup><sub>i</sub> /λ<sup>`(`−1)</sup>_O

A . Ces derniers sont les puissances`−1-i`emes de (λ_i/λ_OA)^` qui ont ´et´e calcul´ees dans la section pr´ec´edente.

Lemme 7.2.9. Soient t1, . . . , tr des ´el´ements de ¹<sub>`</sub>Z<sup>g</sup>/Z<sup>g</sup> v´erifiant la relation(t1, . . . , tr)F = (0, . . . ,0) La preuve est similaire `a celle du lemme7.2.7.

D´emonstration. AppelonsP le produit P :=θ^A₀ Nous voulons montrer queP est laiss´e invariant par toute transformation de

C

h(µi/µ0)^`, λi/λO_A

`

, λi,j/λO_A

`i

qui agit sur les g´en´erateurs par une racine `-i`eme de l’unit´eζ. Ces transformations sont engendr´ees par les transformationsχ_io,χ_io,jo etξ_i0 o`u

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χi_o,j₀

λi

λO_A

= λi

λO_A

∀i, χi_o,j₀

λi,j

λO_A

=

( ζ^λ_λ^i0,jo

OA i=i_o, j=j_o

λi,j

λ_OA ∀i6=i_o ∀j6=j_o χ_io,j0

µ_i µ0

= µ_i µ0

∀i

ξ_io λ_i

λO_A

= λ_i λO_A

∀i, ξ_io λ_i,j

λO_A

= λ_i,j λO_A

∀i, j, ξ_io µ_i

µ0

= ζ^µ_µⁱ⁰

0 i=io

µi

µ0 ∀i6=i_o Posons

u= (`(t1)i<sub>0</sub>, . . . , `(tr)i₀)∈Z^g/`Z<sup>g</sup>, v= (`(t1)j₀, . . . , `(tr)j<sub>0</sub>)∈Z<sup>g</sup>/`Z^g, m= (1,0, . . . ,0) ^tF, nous avons alors

χi0(P) = ζ^utuP, χi0,jo(P) = ζ^utvP, ξi₀(P) = ζ^utmP.

Comme mF = uF = vF = 0 dans (Z/`Z)<sup>r</sup>, il existe des vecteurs u<sup>0</sup>, v<sup>0</sup> et m<sup>0</sup> dans (Z/`Z)^r tels queu=u^0tF,v=v^0tF etm=m^0tF. D’o`u

u^tu=u^0tF F^tu⁰=`u<sup>0t</sup>u<sup>0</sup>= 0, u<sup>t</sup>v=u<sup>0t</sup>F F<sup>t</sup>v<sup>0</sup> =`u^0tv⁰ = 0, u^tm=u^0tF F^tm⁰=`u^0tm⁰ = 0.

L’algorithme 21permettant de calculer l’image d’un point par l’isog´enie est donc correct.

Complexit´e

Nos algorithmes d´ependent de plusieurs param`etres : – la dimension gde la vari´et´e ab´elienne,

– le corpsko`u elle est d´efinie, – le degr´e`de l’isog´enie,

– le niveaundes coordonn´ees thˆeta.

La dimensiong est fix´ee ainsi que le corpsk. Nous supposons ´egalement quenest fix´e car en pratiquen est ´egal `a 2 ou 4. Nous cherchons donc la complexit´e en`.

Dans les algorithmes pr´ec´edents, l’´etape la plus coˆuteuse est le calcul desO(`<sup>g</sup>) points des modules en utilisant des additions diff´erentielles. Pour le calcul des thˆeta constantes deB, nous avons besoin de`^g points exactement et pour envoyer un point par l’isog´enie, nous avons besoin der`<sup>g</sup>points. SoitLle corps o`u tous les points sont d´efinis. Le nombre de coordonn´ees d’un point est O(n^g) et est fixe. Par ailleurs, nous travaillons sur une alg`ebre de dimension au plusg(g+ 3)/2 au dessus deL. De ce fait, nous avons besoin deO(`^g) op´erations dansLpour calculer les coordonn´ees des points.

Maintenant, il faut utiliser l’´equation7.1. Le coˆut est deO `^rg2

op´erations dansLcar l’ensemble des

´

el´ementst1, . . . , tr∈ ¹<sub>`</sub>Z<sup>g</sup>/Z<sup>g</sup> tels que (t1, . . . , tr)F = 0 est unZ/`Z-espace vectoriel de dimensionrg/2.

Nous obtenons donc bien la complexit´e annonc´ee.

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Algorithme 21Image d’un point par une`-isog´enie sans changer de niveau Entr´ee: SoitAune vari´et´e ab´elienne donn´ee par ses thˆeta constantesθ^A[⁰_b]

0,^Ω/`_n

de niveaun(avecn pair). Soit un entier`premier et copremier avecnet la caract´eristique du corps. Supposons donn´ees les coordonn´ees thˆeta de niveau n d’une base symplectique (e1, . . . , ei) d’un sous-groupe isotrope maximal de la`-torsion ainsi que cellesθ^A[⁰_b]

z,^Ω/`_n

d’un pointP sur la vari´et´e.

Sortie: Les coordonn´ees thˆeta de niveaunde l’image deP dans la vari´et´eB=A/K isog`ene `a A.

1: Fixer une matriceF de Matr×r(Z) telle que ^tF F =`Idr.{Nous posonsT =F<sup>−1</sup>=<sup>1</sup><sub>`</sub>F}

2: Faire un changement de base symplectique de sorte que i

ei = (0, . . . , 0, ¹_`, 0, . . . , 0)

3: Pouri6=j, calculere_i+e_j dansAen utilisant des vraies additions (algorithme8 page54).

4: Pour touti, calculerP+e_i dansA en utilisant des vraies additions.

5: Calculer les puissances`-i`emes des λ_i/λ_OA,λ_i,j/λ_OA,µ_i/µ₀.

6: Utiliser les additions diff´erentielles pour calculer les coordonn´ees thˆeta affines de niveau n de tous les points kz+e o`u 0 ≤k < ` et e appartient `a K = <sup>1</sup><sub>`</sub>Z^g/Z^g dans C[µ_i/µ₀, λ_i/λ_OA, λ_i,j/λ_OA] o`u lesµi/µ0,λi/λO_A,λi,j/λO_A sont vues comme des ind´etermin´ees.

7: Fixer unb⁰ dans _n¹Z^g/Z^gtel que θ^B0 b⁰

0,^Ω_n

est non nulle.

8: forPour toutbdans ¹_nZ^g/Z^g do

9: Soit (j1, . . . , jr) = (b, b⁰, . . . , b⁰)T dans _n¹Z^g/Z^g. Posons (w1, . . . , wr) = (z,0, . . . ,0)^tF. Calculer u_b(z) := X

t1,...,tr∈1

`Z^g/Z^g

(t1,...,tr)F=0

r

Y

i=1

θ^A0 ji

w_i+t_i,Ω/`

n

dans l’alg`ebre

C[Yi, Xi, Xi,j]/n

Y_i^{`</sup>= (µi/µ0)<sup>`}, X_i^`= λi/λOA

^`

, X_i,j^` = λi,j/λOA

^`o .

10: end for

11: return Les coordonn´ees (u_b(z))_b∈1 nZ^g/Z^g.

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