2.3 Vari´ et´ es analytiques
3.1.5 Action du groupe symplectique
ηU+ u(E)0 u(E)00
(u(D))
a pour diviseur des z´eros T−EΘo`u pour tout diviseur D, l’op´erateur TD est la translation parD.
En particulier, soit un sous-groupe S de {1, . . . ,2g+ 1} ∪ {∞}, le translat´e TP
l∈Sal−sP∞Θ est le diviseur des z´eros de la fonctionD7→θ[ηU ◦S] (u(D)).
Propri´et´e 3.1.23. La fonction (multivalu´ee)
C −→ C
P 7−→ θ(u(P)−e) est soit identiquement nulle, soit a g z´erosP1, . . . , Pg qui v´erifient
e≡u(P1+. . .+Pg) +K mod ΛΩ.
3.1.5 Action du groupe symplectique
Comme il existe plusieurs matrices Ω associ´ees `a la mˆeme vari´et´e ab´elienne, il existe plusieurs plon-gements diff´erents de cette vari´et´e avec les fonctions thˆeta. D’apr`es la propri´et´e2.3.7, les isomorphismes entre deux tores proviennent d’une action de Sp(2g,Z) surCg× Hg. Examinons comment cette action se traduit sur le plongement donn´e par les fonctions thˆeta de niveaun.
Rappelons que si M est une matrice, nous avons not´e diag (M) le vecteur (colonne) des termes diagonaux deM.
Propri´et´e 3.1.24. Soit une matrice γdeSp(2g,Z) donn´ee par γ=
A B
C D
Posons
e0= 1
2diag tAC
, e00= 1
2diag tDB
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Alors pour tous vecteursa,b deRg, tout vecteurz deCg et toute matriceΩdeHg, nous avons
Siγ appartient `aΓ1,2 l’´equation pr´ec´edente se simplifie en θ[ab] (γ.z, γ.Ω) = ζγp
D´emonstration. Cette propri´et´e a ´et´e d´emontr´ee par Igusa [Igu72, th´eor`eme 2 chapitre 5]. Il faut cepen-dant faire attention au fait que Igusa consid`ere les caract´eristiques comme des vecteurs horizontaux et que ses actions sont `a droite.
Mumford [Mum83, chapitre II.5] a prouv´e le cas particulier de Γ1,2. On peut s’inspirer de cette derni`ere preuve pour montrer la formule dans le cas g´en´eral. Commen¸cons par remarquer que la formule principale d´ecoule de la formule suivante
θ(γ.y, γ.Ω) = ζγ
Pour prouver cette derni`ere formule on proc`ede en plusieurs ´etapes :
– On montre que si cette formule est vraie pour γ1 et γ2 dans Sp(2g,Z), elle est vraie pour γ1γ2. Cette ´etape est tr`es calculatoire.
– On d´emontre la formule pour les g´en´erateurs de Sp(2g,Z).
De mani`ere plus pr´ecise, – pourγ =
Id B 0 Id
, en consid´erant la d´efinition de la fonction thˆeta comme somme d’exponen-tielles, on aθ(γ.z, γ.Ω) =θ(z+e00,Ω).
, une des m´ethodes consiste `a utiliser la formule de Poisson. Le calcul est fait dans [Mum83, II.5].
Nous pouvons maintenant ´etudier l’action de Sp(2g,Z) sur les thˆeta constantes de niveau n. En particulier, nous nous int´eressons aux stabilisateurs des thˆeta constantes de niveau n : nous fixons une base, et nous nous int´eressons aux matrices de Sp(2g,Z) qui fixent projectivement les thˆeta constantes de
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cette base. Dans les chapitres suivants, nous nous autoriserons `a prendre des isomorphismes pr´eservant certaines propri´et´es des thˆeta constantes. Les propositions suivantes seront utilis´ees pour caract´eriser les
´
el´ements de Sp(2g,Z) correspondant aux isomorphismes qui nous int´eresseront.
Propri´et´e 3.1.25. Pour chacun des vecteurs projectifs de thˆeta constantes suivants Fn0 : (θ[a0] (0, nΩ))a o`ua∈Rpr1 le stabilisateur du vecteur est l’ensembleΓ˜n,2n.
D´emonstration. Traitons le cas de la famille Fn. L’image de la ntorsion est d´etermin´ee par les valeurs des thˆeta constantes de la familleFn. Une matriceγ fixant ces thˆeta constantes d´etermine donc l’image de lantorsion et donc les points den-torsion modulo les automorphismes du tore. Pour des matrices Ω g´en´eriques, le seul automorphisme du toreCg/ΛΩest l’involutionz7→ −zet doncγdoit appartenir `a ˜Γn. et en appliquant la formule3.1.24, nous obtenons
θ[0b]
De plus,nest pair, nous avons ´egalement les relations e0 ≡0 mod 1, tCe00=
En examinant les caract´eristiques des thˆeta constantes, nous devons avoir quee00 appartient `aZg,
c’est-`
a-dire que diag (tDB) doit ˆetre congru `a 0 modulo 2n. Quant `a lui, le facteur exponentiel doit ˆetre ´egal
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`
a 1 ce qui implique que la matriceCtD(qui est sym´etrique) soit congru `a 0 modulonet que sa diagonale le soit modulo 2n. Nous avons donc
diag tAC
Donc dans le cas o`unest pair, nous avons montr´e que ˜Γn,2nest bien le stabilisateur des thˆeta constantes de la famille Fn. Les cas n impair et ceux correspondant aux autres familles se traitent de la mˆeme fa¸con.
Propri´et´e 3.1.26. L’ensemble
est le stabilisateur du vecteur projectif de thˆeta constantes F(2,1)2 :
D´emonstration. Soitγ=
A B
C D
une matrice de Sp(2g,Z) fixant le vecteur. En examinant les carac-t´eristiques, γdoit appartenir `a Γ1,2. Nous avons alors
θ[0b] (0, γ.Ω) Pour que cette valeur soit ´egale `a
θ[0b] (0,Ω)
Ces conditions impliquent queγ appartient bien `a l’ensemble voulu. R´eciproquement, il est clair qu’une matrice de cet ensemble laisse fixes les thˆeta constantes deF(2,1)2.
Remarquons la diff´erence entre la propri´et´e3.1.25et la propri´et´e3.1.26: l’indice des stabilisateurs est 2g(g+1)2 et il est engendr´e par les matrices :
Id Ei,j+Ej,i
0 Id
pour i, j∈ {1, . . . , g}.
Au niveau de la 2-torsion du toreCg/ΛΩ, le stabilisateur des thˆeta constantesF(2,1)2 ne laisse fixes que les points{β, β ∈ 12Zg/Zg} tandis que Γ2 qui est contenu dans le stabilisateur des autres familles laisse fixes tous les points de 2-torsion.
Propri´et´e 3.1.27. L’ensemble
est le stabilisateur du vecteur projectifs de thˆeta constantes
F(n,1)n: (θ[0b] (0,Ω)n)b o`u b∈Rpr1
nZg/Zg
.
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Nous ne faisons pas la d´emonstration qui est similaire aux pr´ec´edentes. Remarquons que la baseF(n,1)n
a un stabilisateur beaucoup plus petit que les autres bases. Explicitons maintenant l’action de Sp(2g,Z) sur les fonctions thˆeta de niveau (2,2) ce qui nous sera utile dans la partie6.2.
Lemme 3.1.28. Soienta,b dans 12Zg et soit γ=
A B
C D
une matrice deΓ2, alors θ[ab] (0, γ.Ω)
θ[00] (0, γ.Ω) = θ[ab] (0,Ω)
θ[00] (0,Ω)exp πitaAtBa
exp −πitbCtDb
exp −2πita(A−Id)b , θ[ab] (0, γ.Ω)
θ[00] (0, γ.Ω) 2
=
θ[ab] (0,Ω) θ[00] (0,Ω)
2
(−1)2taAtBa(−1)2tbCtDb, θ[ab] (0, γ.Ω)
θ[00] (0, γ.Ω) 4
=
θ[ab] (0,Ω) θ[00] (0,Ω)
4 .
Finalement, pour les fonctions thˆeta, nous avons la propri´et´e
Propri´et´e 3.1.29. Soit A une vari´et´e ab´elienne sur C. Un de ses plongements par les fonctions thˆeta de niveau nest enti`erement d´etermin´e (`a l’involution z7→ −z pr`es) par les thˆeta constantes.
Ce th´eor`eme est coh´erent avec les ´equations de Riemann3.1.13 qui d´efinissent la vari´et´e `a automor-phisme pr`es et qui ne d´ependent que des thˆeta constantes de la famille consid´er´ee.
D´emonstration. Faisons la preuve pour la familleFn. Une matriceγfixant les thˆeta constantes de cette famille appartient `a ˜Γn,2n. Soit∈ {±1}tel queγappartient `a Γn,2n. D’apr`es la formule3.1.24appliqu´ee avecγnous obtenons
θ[0b]
γ.z,γ.Ωn θ[00]
γ.z,γ.Ωn = θ[0b] z,Ωn θ[00] z,Ωn.
Cette derni`ere formule montre que les coordonn´ees des images des points de la vari´et´e ab´elienne sont laiss´ees invariantes (`a l’involutionz7→ −z pr`es) par l’action deγ.
La preuve dans le cas des autres familles est similaire.