Application d’Abel-Jacobi

a _n¹Z^g/Z^g. D´efinissons alors

˜

e_n(x, y) = exp −2iπn(^tad−^tbc) .

Le groupe Γ(n) correspond `a l’ensemble des isomorphismes qui fixent les points de n-torsion. De plus, le couplage ˜en de n’importe quelle paire d’´el´ements den-torsion reste inchang´e.

Dans la suite, il sera alors utile de consid´erer les sous-groupes suivants.

D´efinition 2.3.9. Pour n≥1, posons Γ˜_n=

A B

C D

∈Sp(2g, z), B ≡C≡0 modn, A≡D≡ ±Id_gmodn

, Γ˜n,2n=

A B

C D

∈Γ˜n, diag ^tAC

≡diag ^tDB

≡0 mod 2n

.

La diff´erence par rapport aux groupes Γ_n et Γ_n,2nest que nous autorisons les matrices `a ˆetre congrues

`

a±Id modulon.

2.3.3 Application d’Abel-Jacobi

D´efinition

Une vari´et´e ab´elienne de dimensiong sur C est un groupe de Lie complexe et compact. D’apr`es les propri´et´es des groupes de Lie, elle est isomorphe analytiquement `a un toreC^g/Λ o`u Λ est un r´eseau. Dans le cas d’une vari´et´e principalement polaris´ee, nous avons vu que ce tore est isomorphe au tore C^g/ΛΩ

avec Λ_Ω=Z^g+ ΩZ^g pour une certaine matrice Ω deHg.

En fait, nous pouvons construire explicitement cet isomorphisme pour les courbes hyperelliptiques.

Le corps C ´etant alg´ebriquement clos et de caract´eristique 0, nous pouvons supposer qu’une courbe hyperelliptiqueCest de la forme

y²=

2g+1

Y

i=1

(x−a_i)

o`u lesai sont des nombres complexes distincts. Posonsa2g+2 =∞ ∈P¹(C). Nous consid´erons la courbeC comme une surface de Riemann compacte.

Choisissons g+ 1 chemins γ_n de P¹(C) d’origine a_2n−1 et d’extr´emit´ea_2n tels qu’aucun chemin ne se croise. Soit U l’ouvert de P¹(C) compl´ementaire de ces chemins. Les fonctions ±p

f(x) sont holo-morphes surU (apr`es un choix initial de racine en un point). En coupant deux copies deP<sup>1</sup>(C) suivant les chemins γ<sub>n</sub> et en les recollant, nous pouvons reconstruire C : l’une des copies correspond `a la fonc-tiony=p

f(x) et l’autre `ay=−p f(x).

Consid´erons les cheminsAi etBi du dessin2.3. Dans le dessin2.4, nous donnons leur projection sur la droitex∈P¹(C). Les cheminsAi etAj ne se coupent pas sii6=j, de mˆeme pourBi etBj. Le chemin Ai ne coupe Bj que sii=j (dans ce cas, ils se coupent en un unique point). Ces chemins forment une base du premier groupe d’homologie H1(C,Z) de la surface de Riemann compacteC.

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. . . . . .

A₁ A₂ A_g

B_g B₂

B₁

Figure2.3 – Lacets sur la courbe Cvue comme surface de Riemann

a2g+1

∞

a4

a3

A₂

a2g

a2g−1

A_g

a2

a1

A₁

. . .

B₁

B2

Bg

γg+1

γg

γ2

γ1

Figure2.4 – Projection des lacets surP¹(C)

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Propri´et´e 2.3.10. L’espace vectoriel des formes diff´erentielles de premi`ere esp`eceΩ¹(C)est explicitement donn´e par

Ω¹(C) =

ω=P(x) dx

y P ∈C[X], deg(P)≤g−1

D´efinition 2.3.11. La matrice des p´eriodes Ωassoci´ee `a une courbe hyperelliptique C est d´efinie de la fa¸con suivante : il existe une base normalis´ee (ω_i)_1≤i≤g deΩ¹(C) telle que

Z

Ai

ω_j =δ_i,j. Le coefficient(i, j)deΩ∈Matg,g(C)est alors donn´ee par

Ωij = Z

Bi

ωj.

La matrice Ω ainsi obtenue n’est pas quelconque, Mumford [Mum83, cor. 2.2] montre qu’elle appartient au demi-espace de SiegelH_g. Nous notonsω le vecteur (ω_i)_1≤i≤g.

D´efinition 2.3.12. L’application d’Abel-Jacobiuest d´efinie par u:

( C −→ C^g/ΛΩ

P 7−→ RP

P∞ω mod ΛΩ

(2.1) o`u n’importe quel chemin deP<sub>∞</sub> `aP sur C peut ˆetre choisi.

D´emonstration. Pour montrer que l’application d’Abel-Jacobi est bien d´efinie, il suffit de v´erifier que pour tous cheminsγ etγ⁰ deP_∞ `aP nous avons

Z

γ

ω− Z

γ⁰

ω= Z

γ−γ⁰

ω ∈ΩZ^g+Z^g

Le lacetγ−γ⁰ appartient `a H1(C,Z). Or par d´efinition de la base normalis´ee (ωi)_1≤i≤g, le r´eseau ΛΩest exactement l’image de H1(C,Z) par l’application envoyant un lacetσsurR

σω.

Nous prolongons par lin´earit´e l’application d’Abel-Jacobi aux diviseurs : u:

( Div(C) −→ C^g/ΛΩ

P

P∈CnpP 7−→

P

P∈Cnp

RP P∞ω

mod ΛΩ

Th´eor`eme 2.3.13(Abel-Jacobi). L’applicationud’Abel-Jacobi est un isomorphisme entre la jacobienne alg´ebrique Jac(C)et la jacobienne analytiqueC^g/Λ_Ω.

Image de la2-torsion

Les images des points de ramification par l’application d’Abel-Jacobi peuvent ˆetre d´etermin´ees en manipulant les int´egrales2.1.

D´efinition 2.3.14. Soitidans{1, . . . ,2g+ 1} ∪ {∞}, d´efinissons le vecteur ηi=

η_i⁰ η_i⁰⁰

∈ 1 2Z^2g par

i g

pouri= 2n−1 ^tη⁰_2n−1 = (0, . . . ,0, ¹₂ ,0, . . . , 0) avec 1≤n≤g+ 1, ^tη⁰⁰_2n−1 = (¹₂, . . . ,¹₂, 0 ,0, . . . , 0) pouri= 2n ^tη_2n⁰ = (0, . . . ,0, ¹₂ ,0, . . . , 0) avec 1≤n≤g, ^tη_2n⁰⁰ = (¹₂, . . . ,¹₂, ¹₂ ,0, . . . , 0) pouri=∞, ^tη_∞⁰ = (0, . . . ,0, 0 ,0, . . . , 0)

tη_∞⁰⁰ = (0, . . . ,0, 0 ,0, . . . , 0)

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Etendons cette d´´ efinition `a tout sous-ensemble S de{1, . . . ,2g+ 1} ∪ {∞}par η_S⁰ =X

i∈S

η_i⁰, η⁰⁰_S =X

i∈S

η⁰⁰_i, ηS=X

i∈S

ηi.

Propri´et´e 2.3.15. Pour tout sous-ensemble S de{1, . . . ,2g+ 1} ∪ {∞},

u X

i∈S

(a_i,0)−(#S)P_∞

!

= Ωη_S⁰ +η_S⁰⁰

Consid´erons l’op´eration de diff´erence sym´etrique ◦ sur les sous-ensembles de {1, . . . ,2g+ 1} et sur ceux de{1, . . . ,2g+ 1} ∪ {∞}. Elle est d´efinie par

A◦B= (A∪B)\(A∩B).

Cette op´eration correspond `a l’addition dans le groupe de la 2-torsion A[2]. Remarquons qu’elle est commutative, involutive et que 1A◦B ≡1A+1B mod 2. La propri´et´e2.3.15 donne la valeur exacte de u(D) en tant que vecteur deC^g et non en tant qu’´el´ement du toreC^g/Λ_Ω. De la mˆeme fa¸con que

X

l∈S

(a_l,0)−#SP_∞' X

l∈S^c

(a_l,0)−#S^cP_∞,

nous avons la relationηS ≡ηS^c mod 1. De fa¸con plus pr´ecise,

η_Sc=η_S+ (η{1,...,2g+1}∪{∞}−2η_S).

Pour ´eviter les probl`emes de notations dans le chapitre5, posonsζ_g=η{1,...,2g+1}∪{∞}. Nous avons

tζ_g⁰ = (1,1, . . . ,1), ^tζ_g⁰⁰= (g, g−1, . . . ,1). Pour tout ´el´ement de 2-torsion D = P

l∈S(al,0)−(#S)P_∞ avec S ⊂ {1, . . . ,2g+ 1}, il existe quatre sous-ensembles de{1, . . . ,2g+ 1} ∪ {∞}correspondant :

S, S∪ {∞}, {1, . . . ,2g+ 1} ∪ {∞} \S, {1, . . . ,2g+ 1} \S.

Mumford [Mum84] et Van Wamelen [vW98] ont choisi de repr´esenter les points de 2-torsion par le syst`eme de repr´esentants

S⊂ {1, . . . ,2g+ 1}, #S≡0 mod 2 .

Dans cette th`ese, nous en pr´ef´erons un autre, plus naturel dans le cadre des morphismes (chapitre5).

D´efinition 2.3.16. Posons U ={1,3, . . . ,2g+ 1} les indices impairs. L’image dans C^g du point de 2-torsion correspondant par l’application d’Abel-Jacobi s’appelle constante de Riemann et est not´eeK :

K= Ωη_U⁰ +η_U⁰⁰ =u X

l∈U

(a_l,0)−(g+ 1)P_∞

!

tη_U⁰ = 1

2,1 2, . . . ,1

2

, ^tη⁰⁰_U= g

2,g−1 2 , . . . ,1

2

Nous utilisons le syst`eme de repr´esentants{U ◦S, S ⊂ {1, . . . ,2g+ 1}, #S ≤g} pour les points de 2-torsion.

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Deux lemmes techniques

Mumford [Mum84, proposition IIIa.6.3] a prouv´e la proposition Lemme 2.3.17. L’applicatione₂ d´efinie par

e₂:

La deuxi`eme partie de cette proposition est la formule de Mumford. La premi`ere s’en d´eduit en consid´erantT ouT ∪ {∞}suivant le cardinal deT.

Couplage de Weil

Soit A une vari´et´e ab´elienne principalement polaris´ee associ´ee `a une matrice des p´eriodes Ω ∈ Hg. La forme de RiemannH, et plus exactement sa partie imaginaireE==(H), d´efinit naturellement une application

C^g×C^g −→ C^∗ x, y 7−→ e^{−2iπE(x,y)} .

Rappellons que si nous ´ecrivons x= Ωa+b et y = Ωc+dalorsE(x, y) est ´egal `a <sup>t</sup>ad− <sup>t</sup>bc. L’applica-tione<sup>−2iπE(x,y)</sup>ainsi d´efinie co¨ıncide en un certain sens avec le couplage de Weil. Soitxetydeux points dem-torsion deC<sup>g</sup>/ΛΩ(c’est `a dire quea, b, c, d appartiennent `a _m¹Z^g/Z^g), posons

˜

em(x, y) = exp −2iπE(x, my)

= exp −2iπm(^tad−^tbc) . Un cas particulier de cette formule est

˜

En effet, il suffit de composer l’isomorphismeA→C^g/ΛΩpar un changement de base symplectique. Dans le cas particulier o`uAest la jacobienne d’une courbe hyperelliptique, l’application d’Abel-Jacobiuest un isomorphisme explicite entreAetC^g/ΛΩ. L’application ˜emcorrespond exactement au couplage de Weil : Propri´et´e 2.3.19. SoientP etQdeux ´el´ements de Jac(C)[m] alors le couplage de Weil est donn´e par

em(P, Q) = ˜em u(P),u(Q) .

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Une preuve dans le cas elliptique est sugg´er´ee dans l’exercice 1.15 de [Sil94] (Notons l’inversion du signe dans l’exponentielle). Dans le cas d’une vari´et´e g´en´erale, cette formule est encore valide, sa d´ emons-tration est faite par exemple dans [Rob10, p. 114] en ´etudiant les fibr´es.

Soit (P₁, . . . , P_2g) une base symplectique de lam-torsion. C’est `a dire que la matrice du couplage de Weil dans la basePi est

ζ_mId_g

−ζ_mId_g

o`uζmest une racine primitivem-i`eme de l’unit´e fix´ee. Sauf dans le cas o`uζm=exp ^2iπ_m

, il n’existe pas de matrice γ de Sp(2g,Z) telle que la base (P1, . . . , P2g) corresponde `a la base canonique de C<sup>g</sup>/Λγ.Ω. Si nous travaillons sur un corps plong´e dans C, il faudra alors faire attention `a la racine de l’unit´eζm

utilis´ee. Pour d’autres corps, nous pouvons choisir n’importe quelle racine primitive m-i`eme de l’unit´e.

En effet, pour les preuves, nous pouvons utiliser le principe de Lefschetz pour plonger le corps dans C mais nous avons le choix de quelle racine primitivem-i`eme de l’unit´e s’envoie surexp ^2iπ_m

.

Nous ne reviendrons pas sur ce point par la suite : si le corps est naturellement plong´e dans C, quand nous parlerons de base symplectique de la m-torsion, nous supposerons queζ_m =e_m(P₁, P_g+1) est ´egal

`

aexp ^2iπ_m .

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Chapitre 3

Fonctions thˆ eta

Les fonctions thˆeta sont le principal outil utilis´e, dans cette th`ese, pour l’´etude des vari´et´es ab´eliennes.

Historiquement introduites pour l’´etude des surfaces de Riemann, elles ont trouv´e de nombreuses appli-cations dans divers domaines des math´ematiques. En cryptographie, elles fournissent des syst`emes de coordonn´ees«canoniques»pour les vari´et´es ab´eliennes.

Des versions alg´ebriques des fonctions thˆeta ont ´et´e introduites par Weil [Wei64] pour ´etudier les va-ri´et´es ab´eliennes g´en´erales. Ces derni`eres ont ´et´e ´etudi´ees en particulier par Mumford. Contrairement `a la th´eorie analytique des fonctions thˆeta, les versions alg´ebriques pr´esentent l’avantage d’ˆetre des fonctions d´efinies sur d’autres corps que le corps des complexes et les preuves de certains th´eor`emes ´enonc´es dans ce chapitre font appel de mani`ere fondamentale `a la th´eorie alg´ebrique des fonctions thˆeta.

Cependant, pour de nombreuses applications, le principe de Lefschetz et la th´eorie de la r´eduction per-mettent de transporter les propri´et´es obtenues sur C `a d’autres corps. En particulier, il est possible d’utiliser cette m´ethode pour les vari´et´es ordinaires sur les corps finis (avec certaines limitations sur la caract´eristique du corps li´ees au niveau des fonction thˆeta).

Pour simplifier l’exposition, nous ne travaillerons que sur Cet nous ne pr´esenterons que la th´eorie classique. Pour celle-ci on peut se r´ef´erer aux livres [Mum83, Mum84]. Pour aller plus loin en restant dans le cadre analytique on consultera [BL04,Mum91]. Pour l’´etude alg´ebrique, citons [Mum66,Mum67a, Mum67b], et [Rob10] qui g´en´eralise certains r´esultats de cette th`ese.

Apr`es avoir d´efini les fonctions thˆeta et donn´e leurs liens avec les vari´et´es ab´eliennes en 3.1, nous d´ecrirons en d´etail comment les utiliser pour avoir une arithm´etique efficace en3.2.

3.1 Propri´ et´ es th´ eoriques

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