Calcul des contraintes en instabilité

Dans cette partie nous allons déterminer la contrainte en tout point d’une plaque carrée ou circulaire à tout moment d’un process. Jusqu’à présent les modèles utilisés pour décrire l’état de contrainte d’un multicouche sont soit celui de Stoney [19] ou de Hutchinson [18]. Le modèle de Stoney, limité par ses hypothèses, n’est applicable qu’à des structures simples et pour les faibles courbures. Bien que le modèle de Hutchinson prenne en compte le comportement de chaque couche et permet d’avoir les contraintes par couche, il est lui aussi par hypothèse restreint aux faibles courbures (comportement linéaire). Nous allons ici calculer les contraintes dans chaque couche d’un multicouche en grand déplacement en utilisant les résultats issus de notre modèle étendu.

Soit un système de N couches (N>1). (𝐸𝑖, 𝜈𝑖, 𝜀𝑖𝑖𝑛𝑒𝑙) sont respectivement le module d’Young, le coefficient de Poisson et la déformation inélastique (thermique et/ou intrinsèque) de la couche « i ». La loi de Hooke s’écrit :

{ 𝜎_𝑥,𝑖 = 2𝐺𝑖 1 − 𝜈_𝑖(𝜀𝑥,𝑖𝑒 + 𝜈𝑖𝜀𝑦,𝑖𝑒 ) 𝜎_𝑦,𝑖 = 2𝐺𝑖 1 − 𝜈_𝑖(𝜀𝑦,𝑖𝑒 + 𝜈𝑖𝜀𝑥,𝑖𝑒 ) (III. 32)

104 avec 𝐺𝑖 = _2(1+𝜈𝐸𝑖

𝑖) , (𝜎𝑥,𝑖, 𝜎𝑦,𝑖) les contraintes suivant 𝑥 et 𝑦 de la « i » ème couche, (𝜀𝑥,𝑖

𝑒 _{, 𝜀}

𝑦,𝑖𝑒 ) les déformations élastiques suivant 𝑥 et 𝑦 de la « i » ème couche.

{𝜀𝑥,𝑖 𝑒 _{= 𝜀}

𝑥− 𝜀𝑖𝑖𝑛𝑒𝑙 𝜀_𝑦,𝑖𝑒 = 𝜀𝑦− 𝜀𝑖𝑖𝑛𝑒𝑙

(III. 33) Le tenseur des déformations (

𝜀𝑥 𝜀𝑦 𝛾𝑥𝑦

) est donnée par (III.1) en utilisant l’expression d’ordre six de la déformation du plan médian donnée dans (III.30) et la déflexion 𝑤 donnée par la formule (III.4). Nous rappelons que les valeurs de 𝑎𝑗, 𝑏𝑗 ainsi que celles de 𝑎, 𝑏 sont données par la résolution du problème d’instabilité. La contrainte moyenne dans chaque couche est donnée par :

{ 𝜎̅𝑥,𝑖 = 1 ℎ𝑖 ∫ 𝜎𝑥,𝑖𝑑𝑧 𝑧𝑖 𝑧𝑖−1 𝜎̅𝑦,𝑖 = 1 ℎ𝑖 ∫ 𝜎𝑦,𝑖𝑑𝑧 𝑧𝑖 𝑧𝑖−1 , (III. 34)

où 𝑧𝑖 et 𝑧𝑖−1sont respectivement la côte supérieure et inférieure de la couche « i » et ℎ𝑖 = 𝑧𝑖 − 𝑧𝑖−1 son épaisseur.

En gardant toujours notre système silice/silicium, nous avons calculé les contraintes et obtenu une cartographie aussi bien sur la plaque carrée que circulaire. Les différents résultats sont montrés sur les Figures III.21 et III.22 ci-dessous :

Figure III.21 : Cartographie de la moyenne des contraintes 𝜎̅𝑥 (a) et 𝜎̅𝑦 (b) dans la couche de SiO2

Chapitre III : Etude du phénomène d’instabilité en microélectronique

105 Figure III.22 : Cartographie des contraintes moyennes 𝜎̅𝑥 (a) et 𝜎̅𝑦 (b) dans le substrat à 400 °C ABAQUS donne la contrainte moyenne dans l’ensemble du multicouche. Nous avons donc calculé 𝜎̅𝑥 =1_ℎ∑𝑁𝑖=1ℎ𝑖𝜎̅𝑥,𝑖 et 𝜎̅𝑦 =_ℎ1∑𝑁𝑖=1ℎ𝑖𝜎̅𝑦,𝑖 afin de pouvoir comparer les résultats du calcul analytique avec les contraintes moyennes d’ABAQUS.

106 (b) Prédiction analytique

Figure III.23 : Comparaison entre la contrainte moyenne du système selon (a) ABAQUS et (b) la prédiction analytique

On observe une bonne similitude entre la cartographie de contraintes moyennes obtenues par éléments finis et analytique. Ceci permet une fois encore de valider nos calculs à l’aide d’un critère plus riche en informations que le simple déplacement d’un unique point. Nous sommes donc à présent capable de déterminer les contraintes de façon locale sur la plaque, et ce à chaque étape du chargement, comme illustré Figure III.24 et III.25 qui montre l’état de contraintes moyennes à 400 °C dans le film de SiO2 et sur son substrat, dans le cas d’une plaque circulaire.

Figure III.24 : Cartographie des contraintes moyennes 𝜎̅𝑥 (a) et 𝜎̅𝑦 (b) obtenues analytiquement dans la couche de SiO2 à 400 °C sur une plaque circulaire.

Chapitre III : Etude du phénomène d’instabilité en microélectronique

107 Figure III.25 : Cartographie des contraintes moyennes 𝜎̅𝑥 (a) et 𝜎̅𝑦 (b) analytique dans le substrat

à 400 °C

Pour clôturer ce chapitre nous présentons la comparaison de la cartographie de la contrainte moyenne entre éléments finis et prédiction analytique du modèle étendu pour valider les calculs que nous avons appliqués à la plaque circulaire Figure III.26. Comme dans le cas de la plaque carrée, on peut constater un très bon accord.

108 (b) Prédiction Analytique

Figure III.26 : Comparaison entre la contrainte moyenne du système selon (a) ABAQUS et notre (b) prédiction analytique pour le système SiO2/Si en chargement uniforme en

température de ∆𝑇 = 380 °𝐶

Dans le présent chapitre dédié à l’étude de l’instabilité mécanique rencontré lors des procédés de dépôts des multicouches en microélectronique, nous avons présenté une méthodologie de prédiction du phénomène de flambement à partir d’un modèle analytique. Notre analyse permet de déterminer le point de bifurcation mais aussi les courbures et le comportement après bifurcation d’un système multicouches soumis à de fortes courbures. Des cas concrets ont été étudiés en guise d’exemple et application du modèle. Nous avons également effectué des simulations numériques du flambement de plaques multicouches sous ABAQUS. Par confrontation de nos résultats à ceux de la simulation éléments finis, nous avons pu vérifier jusqu’à quel ordre nos polynômes d’approximation devaient être développés de manière à pouvoir prédire des résultats suffisamment précis. Il apparait que la considération d’un polynôme de degré six pour la déformation soit suffisante. En se basant sur les résultats de la prédiction, nous avons pu établir des cartographies de contraintes au sein des plaques effectivement validées par les calculs élément finis.

Nous sommes en particulier parvenus à étendre l’étude à des plaques circulaires dont l’étude d’instabilité et l‘étude des contraintes dans le régime post-critique s’appuyant sur un modèle analytique ne semble pas à ce jour proposé dans la littérature. En effet tous les auteurs cités plus haut se sont investis dans l’étude du flambement des plaques carrées ou rectangulaire. Nous avons donc étendu l’étude à des plaques circulaires dont le flambement est problématique en microélectronique sur des « wafers », et nous pouvons proposer un programme écrit sous MATLAB qui peut retracer les branches d’équilibres multiples pour différents niveaux de chargement en quelques secondes.

Cet outil pourra être à moyen terme implémenté dans notre programme interfacé sous MATLAB et nommé Sigmapps, qui permet d’évaluer à chaque instant et dans chaque couche l’évolution de la déformation et de la contrainte. Pour l’instant ce programme était implémenté sous l’hypothèse de petites déformations. L’intérêt de Sigmapps est de prédire le comportement mécanique d’un système multicouche sans mesure expérimentale, et à toute température. Nous verrons dans le

Chapitre III : Etude du phénomène d’instabilité en microélectronique

109 chapitre suivant qu’il est d’une grande utilité pour la fabrication des dispositifs, amenés à subir différents traitements thermiques. Cette application fait l’objet du chapitre suivant.