Calcul de la contrainte résiduelle dans les anneaux en béton et acier

Le test de l'anneau d’empêché est constitué d'un anneau en béton qui est coulé autour d'un noyau en acier. La géométrie de l'éprouvette cylindrique utilisée dans cette étude est représentée sur la Figure 4-15. Lorsque le béton se contracte, l’anneau en acier empêche de rétrécissement qui provoque des contraintes de traction dans l’anneau de béton et des pressions sur la surface extérieure de l’anneau en acier. Dans notre travaille afin de calculer les contraintes de traction dans le béton et les pressions interfaciales sur la surface extérieur de l’anneau en acier (la surface de contacte béton-acier), nous avons suivi la méthode de Yuan Gao et Jun Zhang [10] qui ont été utilisés

dans leurs travaux en 2013. Dans cette section nous commençons par une analyse des contraintes de l’anneau composite acier-béton sous pression de la surface sans prise en compte le phénomène de la relaxation de fluage du béton au jeune âge.

D'abord, nous considérons que l’anneau centrale (acier) subit une contrainte de pression sur sa surface externe et interne q1 et q2 respectivement, voir Figure 4-16 et 4-17, E et ν sont le module d'élasticité et le coefficient de Poisson du matériau, a et b sont le rayon interne et externe de l'anneau. Maintenant, supposons que le matériau subit une déformation de retrait_]U.

Figure 4-15: Géométrie de l'échantillon de l'anneau.

Figure 4-16: Anneau d’acier sous pression de surface.

En coordonnées polaires, les relations contrainte-déformation pour la contrainte plane peuvent être exprimées en :

 _†5 ^“˜HC ν 1 C ν]UJ [Eq. 4-2]

_†5 ^“_˜HC   1 C ν]UJ [Eq. 4-3]

En outre,  ^et  ^{satisfont à l'équation d'équilibre :} ©_O

© C^O5_

Si u est le déplacement radiale, on a :

 ^©P_©R ^P_ [Eq. 4-5]

En utilisant les équations de (4-2,4-3 et 4-5) dans l'équation de (3-4), nous avons :

©

©Ž^†_©^© ,+‘  1 C _©^© ]U ^{[Eq. 4-6]}

L'intégration de cette équation : +,  1 C ^†_ ]U,, C^ýš

 

 , C^ý˜

 ^{[Eq. 4-7]}

Où ä† ^et ä ^{sont des constantes pouvant être déterminées par la conditionne limite. A partir des}

équations. (4-7), (4-5), et (4-2 et 4-3), on a: _  _^“_˜ ]U,, C ^“ýš †5^“ý˜ †b † ˜   ^{[Eq. 4-8]}  _^“_˜ ]U,,  =]UC ^“ýš †5^“ý˜ †b † ˜   ^{[Eq. 4-9]}

A partir de condition limite que   † ^à ,  . et    ^à ,  Œ, on obtient: ä_†^†5_{“ Ř5}^† _˜Œ_ ._†C =  ^Å ]U,, [Eq. 4-10] ä^†b_{“ Å˜}^˜₅^Ř_˜ †C_Å^“_˜ ^Å ]U,, [Eq. 4-11] L’anneau composite béton-acier à deux couches peut être décomposé en un anneau en acier et un anneau en béton avec une contrainte interfaciale externe et une contraint interfaciale interne agissant respectivement sur les interfaces de l’anneau en béton et de celui en acier, comme le montre la Figure 4-17. Pour l’anneau en béton, nous avons ^{= 0 et} †^{= q. Pour l'anneau en acier,}

nous avons ^{=q et} †^{=0 et} ]U  0.

Figure 4-17: Décomposition de l'anneau composite acier-béton.

En utilisant des conditions ci-dessus dans l'équation. (4-10 et 4-11) et en notant le déplacement u à l'interface de béton-acier a calculé à partir des anneaux de béton et d'acier sont respectivement égales, on obtient les constantes de C1 et C2 pour les anneaux de béton et d'acier respectivement: 䆆^†5š

“_š †

ä†^†bš “_š _˜˜_«˜ _«˜5_˜˜ C^“š _˜˜ _^_˜^« ]U,, [Eq. 4-13] Et

ä

_†

 

^†5˜ “˜ _˜^˜ _˜˜5_š˜ ^{[Eq. 4-14]}

ä

_

 

^†b˜ “˜ š^˜˜^˜ _˜^˜5_š^˜



[Eq. 4-15]

La contrainte interfaciale q peut être exprimée comme suit:

 

⁵

˜

O«˜œO˜˜^{ ¯O˜O« ‚©} š ššœšO˜˜ŸšŸšO«˜ O«˜ŸO˜˜ ^b š ˜šœ˜Oš˜ŸšŸ˜O˜˜ O˜˜ŸOš˜ [Eq. 4-16]

Il est clair que la pression interfaciale est généré à partir des changements de volume de la couche de béton et est fonction de ]U ^{comme indiqué dans l'équation. (4-16). En utilisant l'équation. (3-18)}

dans l'équation. (4-2 et 4-3), on peut facilement obtenir les contraintes de  ^et  ^{dans les anneaux}

de béton et d'acier respectivement que le béton subit un retrait. Dans l'essai de l'anneau, le retrait du béton est retenu par l'anneau d'acier et une contrainte de traction se produit dans l'anneau de béton. Fluage du béton alors a lieu immédiatement lors que l'anneau de béton est soumis en tension. Ensuite, une partie de la déformation de retrait est compensée par la déformation de fluage, qui diminue la contrainte dû au retrait de béton avec l'âge. Si nous définissons une déformation de retrait efficace qui prend en compte l’effet de fluage dans l’anneau de béton comme ;<<^{, nous}

avons:

;<<R  ]UR  <P;R, RQ [Eq. 4-17] Où t et RQ ^{sont le temps de fin et début de chargement respectivement.} <P; ^{est la déformation}

par le fluage, après la période de chargement (R  RQ^{). La déformation par fluage peut porter à la}

déformation due au retrait efficace par un facteur dit de coefficient de fluage de t comme : tR, RQ ^¯6!N34:,:_M

¯466:,:M ^{[Eq. 4-18]}

Différents modèles existent pour la prédiction du coefficient de fluage du béton. Dans notre étude, nous avons choisi d'utiliser le modèle de la CEB-FIP pour estimer le coefficient de fluage. A partir de calcul du coefficient de fluage, on peut obtenir la déformation de retrait efficace.

Modèle de fluage du CEB FIP :

Dans le modèle de fluage du code CEB-FIP 1990, la déformation du béton  à l'instant t consécutive à l'application d'une contrainte à l'âge RQ ^{s'écrit en fonction du module élastique à 28 jours, du}

module élastique à RQ^{, et de la fonction de fluage} t(équation Eq. 4-19). R, RQ  RQH_“:^†

MC^ã:,:M

“_˜  J [Eq. 4-19]

La fonction de fluage t se décompose sous quatre termes :

Le coefficient t` ^{permet de prendre en compte l'humidité relative ambiante RH (en %) et l'échelle}

de la pièce définie par h = 2A/p (en mm), où A est l'aire de la section et p le périmètre de la section en contact avec l'air ambiant.

t<sub>`</sub>  1 C<sub>Q.mF</sub><sup>†5`/†QQ</sup>‚

šMMš/« [Eq. 4-21]

Le coefficient ª{? dépend de la résistance à la compression à 28 jours {? ^{(en MPa) (équation}

Eq. 3-26). ª{? _< ^A.w

¥⁄†QM.— ^{[Eq. 4-22]}

Le coefficient ªRQ dépend de l'âge du chargement. ªRQ _Q.†b:^†

M^M.˜ [Eq. 4-23]

Le coefficient ª?R  RQ s'écrit suivant l'équation Eq. 4-24: ª?R  RQ  H ^:5:M

±_¹b:5:_MJQ.w _{[Eq. 4-24]}

Oùª` ^{est la borne inférieure définie ci-dessous :}

ª<sub>`</sub>  min 150H1 C ”1.2<sub>†QQ</sub><sup>`</sup>Q.w‘_†QQ^U C 250; 1500 [Eq. 4-25]

A partir de calculer le coefficient de fluage t par la méthode de CEB-FIP, nous pouvons obtenir la déformation de retrait efficace ;<< ^{en utilisant de cette formule :}

;<<R  ]UR Ž1  ^ã:,:M

†bã:,:_M‘ [Eq. 4-26] En remplaçant de ]U ^avec ;<< ^{dans l'équation. (4-16), on obtient la contrainte de pression}

interfaciale après la prise en compte du fluage du béton :

  ⁵

˜

O«˜œO˜˜^Ž†5šŸ2,2M^2,2M ‘ ¯_O˜^O« ‚© š ššœšO˜˜ŸšŸšO«˜ O«˜ŸO˜˜ ^b š ˜šœ˜Oš˜ŸšŸ˜O˜˜ O˜˜ŸOš˜ [Eq. 4-27]

Ainsi, lorsque le fluage du béton est considéré, la contrainte d’interface générée par le retrait du béton doit être réduite. Ceci pourrait bien convenir à la situation où la déformation est fixée. Cependant, le retrait du béton augmente normalement avec l'âge à partir de la valeur initiale de zéro pour un temps t=t₀. Une méthode a été utilisée, dans cette thèse, pour la prédiction de la contrainte de relaxation sous chargement dû au retrait [24].

Supposons que la déformation initiale, sans prendre en compte l'effet du fluage, au temps R₀ est - 0^{. Après la période de temps (}R  RQ^{), la déformation devient} - R^{. Supposons maintenant que}

l'intervalle de temps (R  RQ^{) est divisé en n sections,} ∆R1, ∆R2, ∆R3… ∆R‰… , ∆R~, et l'incrément de déformation dans chaque intervalle de temps est ∆_{- 1}, ∆_]U†, ∆_]U, ∆_]Uw, … ∆_]U8, … ∆_]U9 voir Figure 4-18. Après avoir pris en compte l’effet de fluage, la déformation effective à l'instant R_‰ peut alors être donnée par :

Figure 4-18: Procédures de correction de fluage sur la déformation due au retrait efficace. _;<<R  RQ  ]U5QRQ Ž1  ^ã:,:M †bã:,:_M‘ C ∑ ∆]U58R8 Ž1  ^ã:,:0 †bã:,:₀‘ 9 8† ^{[Eq. 4-28]}

Où R8  RQC ∑^95†† ∆R8^{. Il est à noter que le temps t dans les équations ci-dessus doit être transféré}

en un temps équilibrant correspondant si l'historique de la variation de température varié est connu. En remplaçant ]U ^{par son expression fonction de} ;<<^{, donnée par l'équation (3-30) dans l'équation}

(3-18) et en notant _]U5Q  0 dans le test de l'anneau, on obtient la contrainte interfaciale après avoir considéré l’effet de la relaxation :

 

⁵

˜

O«˜œO˜˜^{∑ †51}_0"š šŸ¡2,20¢^¡2,20¢ !  ¯_O˜^O« ‚0© š ššœšO˜˜ŸšŸšO«˜ O«˜ŸO˜˜ ^b š ˜šœ˜Oš˜ŸšŸ˜O˜˜ O˜˜ŸOš˜ [Eq. 4-29]

D'autre part, la contrainte à l’interface de l’acier-béton q peut être liée à la déformation sur la surface extérieure de l’anneau en acier, ^:

  H1  ”^š

_˜™^J= ^{[Eq. 4-30]}

Dans le document Contribution à l'étude du comportement mécanique, du retrait et des propriétés de transport des bétons autoplaçants avec additions minérales, approche numérique et expérimentale (Page 160-165)