Chapitre 3 : Caractérisation et validation des capteurs dynamométriques 3D intégrés
3.4 Calcul du centre de pression pour un capteur cylindrique
L’estimation du centre de pression est un enjeu important pour les études biomécaniques qui seront menées ultérieurement à partir des données fournies par les capteurs préhension. Dans les études utilisant des capteurs mono à tri-axiaux, des hypothèses doivent être formulées quant à la localisation du centre de pression. Il est généralement situé au centre d’une liaison (supposée) parfaite. Ces hypothèses ont bien entendu des répercutions sur les calculs de la dynamique interne générée par le sujet pour produire le mouvement étudié. Dans le cas des capteurs préhension, le centre de pression est le point théorique auquel serait appliquée la
force résultante de toutes les forces exercées sur le capteur. Le moment , W, X d'une
force , W, X s'exerçant à un point & n, o, p exprimé dans le repère associé à un capteur, à l’origine de ce capteur O s’obtient :
q/s' t& u ' (23)
La force est en réalité une force résultante d’un ensemble de forces 0 générées aux différents points de contact notés 0 de la main sur le capteur, telle que : ∑0 0.. L’équation (7) s’écrit alors :
q/s' ∑ t0 hu 'h,
Que l’on peut décomposer en faisant apparaitre le centre de pression I, soit :
q/s' tv u ' v hu h' 0
D’où l’on extrait :
o XC p W+M’x (24)
W p C n X+M’y (25)
103 Où, n, o, p sont les coordonnées du centre de pression I, et ′, W′, X′ , les composantes du moment libre telles que :
w? F ∑= v =u ='.
Les équations (24), (25) et (26) forment un système linéaire qui définit un ensemble de points décrivant une droite. Dit autrement, n’importe quel point de cette droite est une solution du système d’équations. En effet, ces trois équations ne sont pas indépendantes ; le déterminant de la matrice décrivant ce système linéaire est nul. Pour calculer le centre de pression, il est donc nécessaire de définir une quatrième équation afin de lever l’indétermination et rendre unique le résultat du calcul du centre de pression. Cette équation traduit un critère ayant un sens physique.
Dans le cas d’une plateforme de force (Figure 54), cette quatrième équation est p pm, pm étant la distance suivant l’axe « z » entre le plateau de la plateforme de force (plan formé par « xy ») et l’origine du repère associé à cette plateforme. Ainsi, les cordonnées du centre de pression sont données :
n pm C W
X ; o
pm W
X ; p pm (27)
Figure 54 : Visualisation du critère permettant de lever l’indétermination du calcul du centre de pression dans le cas d’une plateforme de force
Pour un capteur cylindrique tel que les capteurs préhension conçus par Sensix, le choix de ce critère n’est pas aussi trivial ; plusieurs propositions existent. Nous avons défini deux types de critère et les avons testés à l’aide de données expérimentales afin d’identifier le plus pertinent. Ces deux critères sont (Figure 55) :
104 1) Prendre le projeté orthogonal « A » de l’origine du capteur « O » sur la droite d’action
de la force. L’équation supplémentaire est :
'. t& n o W p X 0 (28)
Les coordonnées du centre de pression sont :
n WR XC W X W W R WR XR (29) o C X RR XR C W X W WR XR (30) p C R WR XR C X X R XR W X W W R WR XR (31)
2) Prendre le point « B » de la droite d’action de la force qui est le plus proche de l’axe « z » du capteur. La procédure de calcul est la suivante :
a. Paramétrage des deux droites (droite d’action de la force et axe « z ») ; b. Trouver un vecteur orthogonal aux deux droites ;
c. Trouver les points les plus proches sur les deux droites.
Figure 55 : Critères évalués pour caractériser la position du centre de pression d’un capteur cylindrique
Les coordonnées du centre de pression sont alors :
n C W XC WR W
105
o C R C W W
X R WR (33)
p C W R W
WR (34)
La pertinence de l’estimation du centre de pression à partir de ces deux critères a été évaluée pour le capteur C1-B à partir des données expérimentales acquises antérieurement et détaillées paragraphe 3.3.1 de ce chapitre. Succinctement, le capteur C1-B était équipé du tube de préhension plein, d’une entretoise de 12 mm (E12) et placé sur un support fabriqué pour cette expérience, qui assurait un angle d’inclinaison de 15°. Cette procédure permet de travailler à partir de conditions établies, car les positions P1, P2 et P3 où les efforts sont appliqués sont connues. Dans un premier temps, nous procédons à la validation de chaque modèle théorique avec l’angle d’inclinaison, les efforts et les positions P1, P2 et P3 connues grâce au protocole établi lors de la prise de mesure. Dans un second temps, nous procéderons à une application de ces modèles théoriques à partir des données expérimentales.
o Validation du modèle théorique pour le critère 1
Sachant que les efforts sont appliqués sur une surface cylindrique, il y a une répartition des efforts sur cette surface. Le barycentre de ces efforts est donc à l’intérieur du cylindre. Cependant, la formulation utilisée ne permet pas de comparer les valeurs trouvées avec le rayon du tube de préhension (R = 16 mm). Car quand le capteur est incliné, la distance entre le projeté orthogonal « A » de « O » sur la droite d’action de la force et l’axe « z » du capteur n’est pas égale au rayon du cylindre. Néanmoins, cette distance (nouveau rayon du cylindre R1, R2 et R3) peut être calculée en connaissant la position où l’effort est appliqué (P1, P2 et P3), l’angle d’inclinaison du capteur et le rayon du tube (Figure 56 A). Par exemple pour la position P2 :
# y/tan } (35)
y# &2 C # Y=( P (36)
Où P2 est égale à 89,5 mm, θ R2 = 21,30 mm ;
Figure 56 : Calcul de la d
Donc on obtient pour R1, R2, coordonnées X et Y du centre et la distance depuis l’origine rayons R1, R2 et R3. Suite à calculer l’éloignement du cent (Figure 56 B et Figure 57).
Figure 57 : Classement par position d
, θ à 15°, R à 16 mm et α à 75°, nous ob
l de la distance entre l'axe « z » et le projeté orthogonal de
, et R3 respectivement 10,05 ; 21,30 et 33,80 tre de pression, nous trouvons un vecteur qui no
e O du capteur vers le projeté orthogonal « A » à ces comparaison, on détermine l’erreur « entre de pression à la droite d’action de la for
osition dans le plan « XY » du centre de pression calculé avec capteur C1-B (E12).
106
(38)
obtenons donc pour
gonal de « A »
,80 mm. A partir des i nous indique le sens » pour les différents « ε » qui permet de force « F », ici « dz »
107 Dans le plan « XY », plus de 93% des centres de pression estimés sont à l’intérieur des nouveaux cylindres tracés à partir de R1, R2 et R3 pour chaque position P1, P2 et P3 respectivement (Figure 57).
Figure 58 : Visualisation du centre de pression sur l'axe « z » du capteur C1-B (E12) calculé avec le critère 1. En noir, position de l’application de l’effort A) P1 B) P2 et C) P3. En rouge, variation « dz » autour de chaque
position.
La Figure 58 montre en noir la position réelle sur « z » projetée sur la surface du capteur et en rouge sa variation « dz » par rapport au point d’application de la force A) sur P1, B) sur P2 et C) sur P3. A partir des données calculées, on constate que les trois positions présentent un bon comportement. Cependant des erreurs relatives maximales de 5,7% et minimales de 0,5% sur toute la plage destinée à la préhension ont été trouvées. La position du milieu P3 présente les variations les plus importantes pour « dz » tandis que le barycentre reste 5,9% à l’extérieur de R3. Les meilleurs résultats sont observés pour la position P2 du capteur (Tableau 16).
Tableau 16 : Erreur relative du centre de pression dans le plan « XY » par rapport à la surface du cylindre. C1-B (E12) Erreur relative moyenne (%)
P1 P2 P3
Variation dz -2,83±0,93 -1,60±1,01 -1,83±1.98
Centre de pression à
108 Aussi, le modèle théorique utilisé offre des résultats fidèles sur l’axe « z » et dans le plan « xy » du capteur. Les résultats du barycentre sont dépendants du calcul des nouveaux rayons R1, R2 et R3. Ces rayons ne sont pas accessibles lors d’une utilisation du capteur. Aussi, dans un premier temps notre objectif portait sur la validité du calcul du centre de pression et la démarche calculatoire utilisée. A la suite de ces résultats, nous évaluerons les coordonnées « x », « y » et « z » du centre de pression à partir du torseur des efforts mesurés par le capteur préhension.
o Validation du modèle théorique pour le critère 2
La validation de ce second modèle est réalisée à partir du même jeu de données que celui utilisé lors de la validation du modèle théorique pour le critère 1. Le modèle théorique a pour objet de caractériser le barycentre des efforts appliqués sur la surface cylindrique du tube préhension. Le barycentre est toujours situé à l’intérieur du rayon (R = 16 mm).
Figure 59 : Visualisation du centre de pression sur l'axe « z » du capteur C1-B (E12) calculé avec le critère 2. En noir, position de l’application de l’effort A) P1 B) P2 et C) P3. En rouge, composante « z » du centre de
109
Figure 60 : Classement par orientation dans le plan « XY » du centre de pression pour le capteur C1-B (E12) calculé avec le critère 2.
La Figure 59 montre, en noir, la position réelle sur « z » projetée sur la surface du capteur et, en rouge, la projection de la composante « z » du centre de pression pour les positions P1 (A), P2 (B) et P3 (C). Pour chacune de ces trois positions, une sous-estimation de la composante « z » est observée. Cependant, ces estimations restent plus précises que celles calculées auparavant avec le premier critère. Des erreurs relatives de -29,45 ; -20,52 et -15,3% ont été identifiées respectivement pour les positions P1, P2 et P3. La Figure 60 illustre l’estimation du centre de pression projeté dans le plan « xy » du capteur pour les quatre orientations. Ce critère permet d’estimer correctement les orientations (O1, O2, O3 et O4) suivant lesquelles l’effort a été appliqué sur le capteur. Cependant, les coordonnées du centre de pression se retrouvent placées sur la droite d’action de l’effort appliqué. Autrement dit, la position du centre de pression peut être estimée suivant une orientation opposée à celle réellement sollicitée. Ce résultat induit une erreur très importante dans l’estimation des coordonnées du centre de pression. De plus, la visualisation dans le plan « xy » montre des barycentres éloignés de plus de 1 m du tube de préhension, ce qui est une configuration impossible au vu de notre protocole expérimental. Finalement, à partir de ces résultats, nous pouvons conclure que ce modèle mathématique ne nous permet pas de retrouver le centre de pression fidèlement.
o Application du modèle Dans cette section, le torseur d (Paragraphe 3.3.1) avec le capt
Figure 61 : Visualisation du centre de 1. En noir, position de l’application d
Figure 62 : Vue dans le plan « XY » A) Classeme
La Figure 61 montre en noir la rouge la composante « z » du
le théorique pour le critère 1
r des efforts calculés à partir des données acqu apteur C1-B (E12) et les équations (29), (30) et
entre de pression sur l'axe « z » pour le capteur C1-B (E12) ation de l’effort A) P1 B) P2 et C) P3. En rouge, composante
pression
» du centre de pression pour le capteur C1-B (E12) calcu Classement par orientation B) Classement par position
la position réelle sur « z » projetée sur la surfa u centre de pression pour les positions P1 (A)
110 quises préalablement et (31) sont utilisées.
(E12) calculé avec le critère posante « z » du centre de
calculé avec le critère 1.
rface du capteur et en A), P2 (B) et P3 (C).
111 Pour chacune des trois positions, la position du centre de pression est estimée dans la zone proche du positionnement de la sangle. Des disparités peuvent être facilement identifiées en fonction de la zone de positionnement. Les positions P1 et P3 présentent une erreur relative moyenne de -17,94% et 9,32% respectivement. La Figure 62 illustre l’estimation du centre de pression projeté dans le plan « xy » du capteur pour les quatre orientations (A) et pour les trois positions du capteur (B). La formulation proposée pour le calcul du centre de pression retrouve les orientations dans lesquelles l’effort est appliqué (O1, O2, O3 et O4) sur le capteur (Figure 62 A). La visualisation de ces paramètres dans le plan « xy » montre que le barycentre calculé pour les positions P2 et P3 est à l’extérieur du cylindre du tube de préhension (cercle en noir, Figure 62 B). Cette erreur est due au modèle mathématique utilisé car nous avons choisi le projeté orthogonal A de l’origine du capteur O sur la droite d’action de la force (Figure 55) dont on calcule avec moins de précision lorsqu’on s’éloigne du repère du capteur quand celui-ci est incliné.
o Discussion
Le calcul du centre de pression dépend des valeurs numériques des efforts établies à partir de la matrice d’étalonnage ; une comparaison entre les erreurs calculées lors de l’estimation de la position du centre de pression et celles calculées avec la matrice d’étalonnage permet de conclure que la meilleure réponse du capteur est la position P2 (milieu tube de préhension). A l’extrémité intérieure du capteur (P1), la valeur est souvent sous-estimée. Par contre, à l’extrémité extérieure (P3), la réponse est le plus souvent sur-estimée. Ainsi, le critère 1 est celui qui permet d’estimer la position du barycentre avec la meilleure précision, tout en prenant en compte les erreurs induites par le modèle mathématique retenu. Par contre, le critère 2 entraîne des erreurs trop importantes dans le plan « xy » associé au capteur. L’amplitude de ces erreurs ne nous permet pas de valider ce critère. Finalement, le premier modèle mathématique sera utilisé lors des futures expériences avec les capteurs préhension.