Calcul des amplitudes `a l’ordre de la boucle et section efficace de processus 48

de processus

Ayant d´etermin´e les r`egles de Feynman et les constantes de renormalisation du MS,

on s’int´eresse `a la mani`ere pratique avec laquelle on construit l’amplitude de transition `a

l’ordre de la boucle pour un processus donn´eA(p₁) +B(p₂)→C(p₃) +D(p₄). On en d´eduit

ensuite l’expression de la section efficace de diffusion. Cette d´emarche se r´esume dans les

points suivants :

1. Pour un processus donn´e, les particules incidentes et sortantes sont bien d´efinies. On

construit alors `a l’arbre et `a l’ordre de la boucle, tous les diagrammes de Feynman

autoris´es par les couplages duMS.

2. On utilise les r`egles de Feynman pour ´etablir l’amplitude de transition pour chaque

diagramme y compris les diagrammes des contre-termes.

3. A l’ordre de la boucle, chaque amplitude ainsi obtenue a la forme d’une int´egrale sur

la quadri-impulsion interne. L’int´egrant est constitu´e du produit d’un d´enominateur

repr´esentant les diff´erents propagateurs intervenants, et d’un num´erateur dans lequel

on trouve le produit de quadri-vecteurs, de tenseurs le Lorentz, de matrices de Dirac,

de spineurs et de quadri-vecteurs de polarisations des particules externes.

L’expression du num´erateur peut ˆetre simplifi´ee en utilisant l’alg`ebre de Dirac, la

condi-tion de conservacondi-tion de la quadri-impulsion aux vertex et aussi le fait que les particules

externes sont sur leur couche de masse respective.

Les int´egrales tensorielles sont ensuite r´eduites en int´egrales scalaires de Veltman [43].

Cette ´etape est susceptible de donner lieu `a de longues expressions, dont l’´evaluation

n’est pas toujours simple `a mener `a la main. Dans ce cas, il devient pr´ef´erable de

conduire l’´evaluation des int´egrales `a travers un calcul num´erique. Une aide pr´ecieuse

peut ˆetre trouv´ee dans le code tr´es performant d´evelopp´e pour ce genre de calcul

d’int´egrales : _«FF/LoopTools_»[44, 45].

4. Comme pour chaque diagramme `a boucle pris individuellement, le calcul de l’amplitude

correspondante peut s’av´erer long et difficile, et vu le grand nombre de diagrammes `a

traiter (de l’ordre de 400 diagrammes pour la fusion de deux bosons vecteurs). Il est plus

judicieux de penser `a ´economiser du temps de calcul et du travail en rassemblant les

diagrammes qui ont la mˆeme structure alg´ebrique. Ceci permet de construire ce qu’on

appelle des amplitudes g´en´eriques. Ainsi , on ne fait le calcul que pour l’amplitude

g´en´erique donn´e puis on en d´eduit toutes les autres amplitudes reli´ees `a cette amplitude

g´en´erique par adaptation des couplages et des masses.

5. Du fait qu’elles ne font pas intervenir de calcul d’int´egrales, les amplitudes `a l’arbre

et celles correspondant aux contres termes sont plus facile `a calculer en suivant la

proc´edure cit´ee plus haut.

6. L’amplitude globaleMdu processus donn´e, s’obtient alors en sommant les amplitudes

individuelles de tous les diagrammes.

7. La section efficace diff´erentielle angulaire, dans le centre de masse du syst`eme s’´ecrit

alors :

dσ = ¹

32πs

|−^→p3|

|−^→p1|^|M|

2dcosθ (1.53)

8. la section efficace totale s’obtient en int´egrant la section efficace diff´erentielle sur toutes

les directions de diffusion.

9. Cette proc´edure de calcul est implant´ee diff´eremment dans les codes num´eriques SloopS

(d´evelopp´e au LAPTH-Annecy-le-Vieux) et FormCalc d’un part et Grace d’autre part.

Par ailleurs, CompHep ne permet que le calcul `a l’arbre.

10. Dans notre calcul des corrections radiatives, pour ´etablir nos r´esultats, on a exploit´e

de mani`ere combin´ee les codes cit´es pr´ec´edement. Et quand il y a eu n´ecessit´e, on a

introduit des modifications sur les diff´erentes facilit´es offertes par ces codes, en vue de

les adapter `a notre mani`ere `a mener le calcul.

1.5 Divergences infrarouges et ´energies de coupure

Dans ma th`ese, je m’int´eresse au calcul `a l’ordre de la boucle, et par suite les

dia-grammes de Feynman comportant un photon ou un gluon virtuel, n´ecessitent une attention

particuli`ere. Ces diagrammes manifestent des divergences dites infrarouges (IR), lorsque

les particules virtuelles sans masses qui y interviennent, tendent vers leur couche de masse

(basses ´energies, q → 0). Dans le cas du photon, cette divergence peut ˆetre r´egul´ee en

at-tribuant au photon virtuel une masse fictive λ_γ non nulle. Cette proc´edure de masse fictive

peut aussi ˆetre appliqu´ee pour le gluon, ´etant donn´e qu’`a l’ordre de la boucle, les processus

auxquels on s’int´eresse, ne font pas intervenir la structure non-Abelienne de QCD (vertex `a

trois et quatre gluons). On affecte donc aussi au gluon virtuel une masse fictiveλg non nulle.

En appliquant cette proc´edure de r´egularisation, on s’aper¸coit que le carr´e de

l’ampli-tude virtuelle `a l’ordre de la boucle M^EW1boucle^(QCD), contribue avec un terme en lnλγ(g). Alors

sans perturber notre pr´ec´edent programme de renormalisation des divergences UV, on peut

rem´edier `a ces divergences IR suppl´ementaires, en ajoutant la contribution des photons

(gluons) r´eels. Cette contribution des photons (gluons) r´eels est en fait de deux sortes. Une

partie provenant du carr´e de amplitude Mmou

γ(g) des photons (gluons) r´eels avec des ´energies

E_γ(E_g)≤k_c (ou k_c est l’´energie de coupure qu’on choisit tr`es petite relativement `a l’´energie

mise en jeu dans le centre de masse du processus d’int´erˆet), et qui contribue avec un terme en

−ln^λ

γ(g)

k

c

(voir figure 1.2). Et une autre partie qui ´emane du carr´e de amplitudeMdur

γ(g)des

photons (gluons) r´eels avec des ´energiesEγ(Eg)≥kc, qui contribue avec un terme en ln(kc).

Ces diff´erents logarithmes apparaissent avec exactement le mˆeme facteur, ce qui permet les

rassembler et par suite ils s’annihilent mutuellement. Le carr´e de l’amplitude de transition

´electrofaible pour notre processus `a l’ordre de la boucle s’´ecrit donc :

|M1|2,EW =

|M

1

|

2,s+v

z }| {

2ReMBorn(MEW

1boucle+MCT)^∗ +|Mmou

γ |2+|Mdur

γ |2 (1.54)

Cette expression est donc indemne de toute divergence UV ou IR et stable relativement `a

l’´energie de coupure kc.

Pour les contributions gluoniques, une formule similaire pour|M1|2,QCDpeut ˆetre ´etablie.

Donc `a l’ordre de la boucle, le carr´e de l’amplitude globale du processus s’´ecrit alors :

|M|2 =|MBorn|2+|M1|2,EW +|M1|2,QCD (1.55)

Et par suite, les sections efficaces qui d´ecoulent de cette d´emarche de construction

ob-servent l’invariante de Lorentz, l’invariance de jauge quantique, la finitude UV et IR ainsi

que la stabilit´e relativement `a l’´energie de coupure.

log log K

Figure 1.2:Contributions des photons virtuels et r´eels mous

Dans le document Le Higgs et le quark top dans le formalisme des relations de dispersion et le modèle standard (Page 49-52)