Cadre d'étude de LEMMO : design de systèmes hydrauliques

LEMMO a été essentiellement testé sur des instances de design de systèmes hydrauliques. Ce type de problème est relativement complexe et les solutions données par les algorithmes sont évaluées par des logiciels permettant de modéliser l'ensemble des systèmes hydrauliques considérés. Dans notre cas, nous avons utilisé EPANET [156] qui est un logiciel libre. Nos tests ont essentiellement porté sur deux instances : le système de la ville de New York que l'on notera NYT pour "New York Tunnels pipe network" et le problème de la ville de Hanoi [59]. Les deux modèles sont détaillés dans l'article [I20].

Notre comparaison s'eectuera par rapport à NSGA II [43].

Opérateurs et Paramètres

Dans tous les modèles, le codage utilisé est le plus simple : un gène représente le choix du dia- mètre pour la canalisation correspondante. Les opérateurs utilisés sont le croisement un point et la mutation d'un gène de façon aléatoire.

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Table 6.1  Comparaison des diérents modèles par rapport à la métrique S (S(Schéma) - S(NSGAII))/S(Schéma).

Schéma S Médiane S Moyenne S Min S Max S écart type.

LEMMO-1 7.83% 4.9% 7.3% 0.26% -33.32%

LEMMO-x1 8.28% 5.44% 3.4% 0.26% -57.6%

LEMMO-x2 8.19% 5.5% 2.04% 0.18% -25.9%

LEMMO-x3 8.14% 6.75% 8.84% 0.42% -58.58%

LEMMO-x4 9.12% 6.8% 7.77% 0.27% -22.19%

La taille de la population est xée pour tous les modèles à 100, le taux de croisement à 0.9, le taux de mutation à 0.9 et un nombre maximum d'évaluations est xé à 250 000. On notera que l'évaluation étant faite par un simulateur, une évaluation est coûteuse et l'objectif ici est de diminuer le nombre d'évaluations sans diminuer la qualité des solutions obtenues.

Résultats

Dans un premier temps, notre objectif a été d'identier l'impact des diérents paramètres des modèles sur la qualité des résultats et nous avons réalisé cette étude sur le plus petit jeu de données "NYT". Ce jeu de données est plus petit que ce que l'on rencontre dans un cas réel mais il nous a permis de nous faire un première idée an de sélectionner le meilleur modèle pour des jeux de données plus importants et notamment le problème Hanoi. Pour chacun des cinq modèles et la version basique de NSGA II, 30 expérimentations ont été réalisées. On peut remarquer que, pour ce jeu de données, le front Pareto contient beaucoup de solutions. Le tableau 6.1 présente les statistiques descriptives de la métrique S en indiquant en pourcentage l'amélioration du mo- dèle par rapport à NSGA II. On peut remarquer que non seulement les modèles introduisant de l'induction donnent des résultats de meilleure qualité mais ils sont également plus robustes que la version standard de NSGA II. Les résultats sur la métrique R1R (voir tableau 6.3) nous

montrent le même type de résultats.

Nous avons également mesuré la convergence des algorithmes (tableau 6.2) et nous pouvons remarquer que les algorithmes hybrides convergent plus rapidement. La gue 6.10 montre l'évo- lution de l'hypervolume (Smetric) au fur et à mesure des générations. Nous pouvons remarquer que les variantes de LEMMO sont non seulement plus rapides pour atteindre une valeur de Smetric dénie mais obtiennent également souvent au nal une valeur plus élevée. La variante LEMMO-x1 a été choisi comme illustration car dès le début de la convergence, elle obtient une meilleure valeur de la métrique S normalisée.

Le tableau 6.4 mesure la variation en nombre d'évaluations pour atteindre diérentes valeurs de Smetric normalisée (valeurs xées 0.955 et 0.968) pour 30 exécutions. Nous pouvons observer que tous les modèles développés sont plus rapides que NSGA-II et que le modèle LEMMO-x4 est le moins coûteux et le plus rapide.

Il est à signaler que le modèle multiobjectif LEMMO-x4 génère à chaque fois dans son front Pa- reto la meilleure solution monoobjective [134, 158] avec les mêmes caractéristiques que dans [158].

Table 6.2  Statistiques descriptives sur le nombre d'évaluations nécessaires pour trouver le front Pareto sur 30 exécutions (T(Scheme)-T(NSGAII)/T(Scheme)).

Schéma Médiane Moyenne Min Max Ecart type

LEMMO-1 +14.07% +6.02% +29.8% -1.84% +4.11%

LEMMO-x1 -16.28% -11.81% -10.04% -0.93% +1.26%

LEMMO-x2 -8.97% -4.54% +20.69% -0.00% +5.22%

LEMMO-x3 -14.69% -7.38 -14.41% -0.36% +8.53%

LEMMO-x4 -16.14 % -8.45 % +25.40% -0.44% -21.74%

Table 6.3  Comparaison par rapport à la métrique R1R pour le problème de NY.

Modèle R1R Médiane R1R Moyenne R1Rmin R1R max R1Récart type.

NSGA-II 0.39172 0.44780 0.37525 0.62271 0.09460 LEMMO-1 0.38323 0.43119 0.35229 0.64671 0.09236 LEMMO-x1 0.38024 0.41153 0.35229 0.64271 0.09044 LEMMO-x2 0.38025 0.39476 0.35229 0.51597 0.05348 LEMMO-x3 0.38124 0.40108 0.35229 0.65469 0.07496 LEMMO-x4 0.38224 0.39680 0.36527 0.51497 0.04350

Table 6.4  Statistiques sur le nombre d'évaluations nécessaires pour trouver une S métrique normalisée de valeur supérieure à 0,955 et 0,968 sur 30 exécutions pour les diérents modèles (T(modèle)-T(NSGA-II)/T(modèle)) sur le problème de NY.

Snorm>0,955 Snorm> 0,968

Modèle Médiane Moyenne Médiane Moyenne

LEMMO-1 0% +16,16% -16% -6,8%

LEMMO-x1 +10% +10% -10,10% -5,01%

LEMMO-x2 +16,66% +16,66% -7,8% +2,6%

LEMMO-x3 +6,25% +14,28% -13,51% -10,81%

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Table 6.5  Impact des paramètres : la métrique R1R par rapport au front de référence de

NSGA-II pour le problème de NY.

Modèle (paramètre) R1RMédiane R1RMoyenne R1R Dev.

LEMMO-x1 (5) 0,38124 0,38503 0,02553 LEMMO-x1 (10) 0,38024 0,41152 0,09044 LEMMO-x1 (20) 0,38024 0,42664 0,12099 LEMMO-x4 (5) 0,40118 0,47329 0,07234 LEMMO-x4 (10) 0,38224 0,39681 0,0435 LEMMO-x4 (20) 0,37924 0,39654 0,07272

Table 6.6  Statistiques sur le nombre d'évaluations nécessaires pour trouver une valeur nor- malisée de la Smetric plus grande que 0,955 et 0,968 sur 30 runs ((T(Modèle)-T(NSGA- II)/T(Modèle))) pour le problème de NY.

Snorm>0,955 Snorm>0,968

Modèle (parameter) Médiane Moyenne Médiane Moyenne

LEMMO-x1 (5) +21,05% +21,21% +2,31 +4,65% LEMMO-x1 (10) +10% +10% -10,10% -5,01% LEMMO-x1 (20) +16,66% +16,66% +13,51% +2,38% LEMMO-x4 (5) +6,25% +16,66% -14,28% -7,89% LEMMO-x4 (10) +10 % 0% -16,66 % -20,58% LEMMO-x4 (20) +6,89% +6,66% -2,43% +2,43%

Les tableaux 6.5 et 6.6, nous montrent l'inuence des diérents paramètres pour chaque modèle. A partir de ces expériences, il a été décidé de xer le paramètre à 10.

Nous avons remarqué que LEMMO-x4 semblait être le meilleur modèle et nous l'avons testé sur le problème de Hanoi [59, 57]. Le tableau 6.7 compare NSGA-II et le modèle LEMMO-x4 par rapport à la métrique R1R et nous pouvons de nouveau observer la supériorité de la méthode

(cette diérence de comportement a été validée par des tests statistiques [51]).

Nous avons xé diérentes valeurs de la métrique S et nous avons comparé la vitesse pour les atteindre entre LEMMO-x4 et NSGA-II. Nous avons remarqué que pour obtenir une valeur de 0.711, LEMMO-x4 requiert en moyenne 27,5% d'évaluations en moins que NSGA II. De plus, LEMMO-x4 obtient 6 fois sur 10 une valeur de S métrique égale à 0.7488 alors que NSGA-II ne l'obtient jamais avant la limite de 250,000 évaluations.

Table 6.7  Comparaison de la qualité des fronts par rapport à la métrique R1Rpour le problème

de Hanoi.

Modèle R1R Médiane R1R Moyenne R1Rmin R1R max R1Récart-type.

NSGA II 0.05439 0.06871 0.00199 0.02745 0.07335

0.9 0.91 0.92 0.93 0.94 0.95 0.96 0.97 0 100 200 300 400 500 Normalised S-metric Model evaluation (*100) NSGAII LEMMO-fix1

Fig. 6.10  Exemple de l'évolution de la métrique S normalisée par rapport au nombre d'éva- luation pour le problème NYT pour la variante LEMMO-x1.