Approches métaheuristiques

Dans cette section, nous essayons de fournir un aperçu global des méthodes de résolution en termes de métaheuristiques pour les problèmes d'optimisation multiobjectif sous incertitude. Une première tentative a déjà été faite en ce sens par [170] mais est très focalisée sur les travaux des auteurs et se concentre uniquement sur les algorithmes évolutionnaires.

La classication proposée ici est divisée en deux niveaux : le choix de la valeur ou du vecteur représentatif, et, l'exploitation de cette valeur représentative.

Choix de valeurs représentatives

La plupart des techniques visant à déterminer des valeurs représentatives d'un ensemble d'in- formations sont des approches scalaires, qui consistent à agréger un échantillon de données en une valeur scalaire unique, et qui résultent donc en la conversion de la solution imprécise en un vecteur objectif unique. La comparaison des ensembles est alors réduite à une comparaison de points représentatifs. Ainsi, la formulation résultante du problème devient déterministe et une méthode de résolution usuelle peut être envisagée. Les diérents choix de valeurs représentatives sont :

 Valeur originale : l'évaluation réelle d'une solution est calculée [45, 68] an de trouver des solutions robustes vis-à-vis des variables de décision. An de ne pas se réduite à étudier le problème déterministe, la valeur originale unique ne peut pas être considérée de façon exclusive, et doit donc être complétée d'un ou plusieurs autres éléments d'information.

 Mesures basées sur l'espérance mathématique : une forme typique de scalarisation consiste à approcher l'espérance mathématique de la, ou des données incertaines à l'aide de la valeur moyenne observée sur un échantillon de valeurs [28, 45, 62, 169], on considère alors la valeur moyenne de p évaluations d'une même solution ce qui permet de générer des solutions de bonne qualité, en moyenne.

 Mesures basées sur la variance : ce type de modèle basé sur la moyenne et la variance de valeurs objectif semble particulièrement bien adapté aux distributions normales. Il ne prend en compte que les déviations de la fonction, et ignore généralement le critère de performance. D'autres mesures d'incertitude, comme l'étendue, l'écart interquartile ou l'entropie, peuvent

Optimisation multiobjectif en environnement incertain 91

également être dénies.

 Mesures basées sur les valeurs extrêmes : le pire et le meilleur des cas correspondent aux valeurs extrêmes de l'intervalle de valeurs obtenues par une solution par rapport à une fonction objectif. Une telle mesure peut être considérée de façon absolue [104], mais également en addition à une autre valeur représentative [68].

 Échantillon complet : certaines méthodes de résolution tentent de prendre en compte la totalité de l'échantillon de vecteurs objectif associé à chaque solution, sans déterminer de valeur plus représentative qu'une autre pour chaque fonction objectif.

 Information additionnelle : un grand nombre de travaux supposent l'existence explicite d'une loi de probabilité associée sur l'espace objectif à chaque solution réalisable [77, 172]. D'autres types de mesures représentatives peuvent tout aussi bien être envisagés, comme par exemple une mesure dédiée au maintien de la faisabilité d'une solution en environnement in- certain, et donc étroitement liée à la abilité d'une solution. On pourrait aussi imaginer des mesures de robustesse plus proches, voire spéciques au problème stochastique étudié. Enn, à notre connaissance, il n'existe pas d'approche basée sur la logique oue, bien que l'usage de ce type de théories de l'incertitude semble tout à fait envisageable en pratique.

Exploitation des valeurs représentatives

Ci-dessous sont présentées diérentes stratégies permettant d'exploiter l'information contenue au sein des valeurs représentatives désignées pour chaque solution. Nous pensons que ces dié- rentes approches sont caractéristiques de l'état de l'art actuel pour la résolution de problèmes d'optimisation multiobjectif stochastiques en termes de métaheuristiques.

 Résolution déterministe : Si l'étape de choix de valeurs représentatives par solution se résume à la sélection d'une valeur scalaire unique par fonction objectif, une méthode classique peut directement être utilisée an de résoudre le problème étudié [45, 169].

 Contrainte(s) ou objectif(s) additionnel(s) : un ensemble de contraintes, ou encore un ensemble de fonctions objectif est ajouté ce qui a donc pour eet d'augmenter le nombre de contraintes ou d'objectifs par rapport au problème initial déterministe. Cette classe d'ap- proches semble surtout populaire an de traiter de la robustesse vis-à-vis des variables de décision comme par exemple ajouter une contrainte sur la déviation maximale par rapport au vecteur objectif original [45]. La considération d'une fonction objectif additionnelle est une technique relativement courante lors de la résolution d'un problème d'optimisation monoobjec- tif sous incertitude [153, 85]. Elle consiste généralement à considérer simultanément, et comme objectifs distincts, le vecteur objectif moyen, remplacé par le vecteur objectif déterministe dans le cas de la recherche de solutions robustes, voire la considération des deux [153], ainsi qu'une mesure de robustesse. Cette mesure de robustesse peut par exemple concerner la variance [62] ou encore la valeur dans le pire des cas [68].

 Relations de dominance probabilistes : Cet ensemble d'approches correspond à diérentes manières de modier la relation de dominance, telle que la dominance Pareto, an de prendre l'incertitude en compte par le biais de vecteurs objectif multiples pour chaque solution. Il sut alors d'utiliser une tel critère au sein d'une métaheuristique basée sur une relation de dominance an de résoudre le problème incertain considéré [28, 77, 172, 175]. Une discussion plus détaillée sur ce point est présentée dans les travaux de thèse de A. Liefooghe [111].  Adaptation des valeurs de tness : La dernière catégorie proposée consiste à adapter les

objectif. Ainsi, la stratégie d'aectation des valeurs de tness utilisée considère directement l'ensemble des vecteurs objectif associés à chaque solution, ou à un ensemble de valeurs repré- sentatives par objectif (typiquement, une mesure moyenne et une mesure de variance) [7, 10].

7.2 Trouver des solutions par approche multiobjectif à un pro-