c Stabilit´e de la superalg`ebre osp (1, 2n)

o`u bXksignifie que le terme correspondant est omis. En particulier :

dϕ_{(X,Y ) = −}ϕ([X,Y ]) (II.50)

pour toutϕ_{∈ g}∗, X_{,Y ∈ g.}

Preuve. En appliquant l’expression (II.47), nous obtenons imm´ediatement : d(Ω_{)(X ) = −}

∑

σ∈S2,n−2 ε(σ)ε(σ, X )Ω(F0(Xσ(1), Xσ(2)), Xσ(3), . . . , Xσ(n)) = −

∑

16i< j6n ε(σ(i, j))ε(σ(i, j), X )Ω(F0(Xi, Xj), X1, . . . , bXi, . . . , bXj, . . . , Xn) o`u : σ(i, j):= Ã 1 2 3 4 _{··· i + 1 i + 2} i j 1 2 _{··· i − 1 i + 1} ··· j j_{+ 1 ··· n} ··· j_{− 1 j + 1 ··· n} ! ∈ Sn.

Les couples d’inversions deσ(i, j)sont(1, k) pour k ∈ [[3,i + 1]] et (2,ℓ) pour ℓ ∈ [[3, j]]. Donc :

ε(σ(i, j)) = (−1)i−1+ j−2= (−1)i+ j+1 et :

ε(σ(i, j), X ) = (−1)xi(x1+...+xi−1)+xj(x1+...+xbi+...+xj−1). D’o`u la formule (II.49).

Pour X _{∈ g}x, notonsLX := Dad(X)l’endomorphisme appelé la super-dérivée de Lie suivant X. Ainsi l’opérateurLX est égal à l’opposé de l’extension de ad(X) à la superalgèbre A (g) et est élément

deD0

x(g). Concr`etement :

LX(ϕ)(Y ) = −Tad(X)(ϕ)(Y )

= −(−1)φxϕ([X,Y ]) (II.51)

pour toutϕ_{∈ A}_φ1(g) = g∗

φ et Y ∈ g, et, d’apr`es l’expression (II.45) : LX(Ω)(X1, . . . , Xn) = −(−1)xω n

∑

i=1 (−1)x(x1+...+xi−1)Ω_(X₁_{, . . . , X}_i −1, [X, Xi], Xi+1, . . . , Xn) (II.52) pourΩ_{∈ A}_ωn(g), et Xi∈ gxi, i∈ [[1,n]].

Proposition II.2.24. La super-dérivée de Lie définit une représentation de la superalgèbre de Lie g dans la superalgèbre des super-dérivationsD(g).

Preuve. Il s’agit de d´emontrer queL[X,Y ]= [LX, LY] pour tous X,Y ∈ g. Comme ce sont deux super-

dérivations de même degré(0, x + y), il suffit de démontrer que l’égalité est vraie sur les formes linéaires

sur g. Soit doncϕ_{∈ g}∗

φ, X,Y, Z ∈ g. D’apr`es l’expression (II.51), il vient : L[X,Y ](ϕ)(Z) = −(−1)φ(x+y)ϕ([[X,Y ], Z]) et :

[LX, LY](ϕ)(Z) = LX(LY(ϕ))(Z) − (−1)xyLY(LX(ϕ))(Z)

= −(−1)x(y+φ)_L

Y(ϕ)([X, Z]) + (−1)xy+y(x+φ)LX(ϕ)([Y, Z])

= (−1)xy+φ(x+y)_ϕ_{([Y, [X, Z]]) − (−1)}φ(x+y)_ϕ_{([X, [Y, Z]]).} Or, d’apr`es l’identit´e de Jacobi, nous avons :

[X, [Y, Z]] = [[X,Y ], Z] + (−1)xy[Y, [X, Z]].

Donc l’´egalit´eL[X,Y ](ϕ) = [LX, LY](ϕ) est vraie.

Remarque II.2.25. Considérons la représentation contragrédiente ˇad définie sur l’espace dual g∗ par l’expression :

adX(ϕ)(Y ) = −(−1)xφϕ(ad(X)(Y )) = −(−1)xφϕ([X,Y ]).

Alors la super-dérivée de LieLX est l’extension de la représentation contragrédiente à l’algèbre super-

ext´erieureA (g) =V(g∗).

Voyons comment les formules classiques en cohomologie des algèbres de Lie (rappelées dans la proposition I.3.13 page 23) se transposent au cas des superalgèbres de Lie.

Lemme II.2.26. Soit X_{∈ g}x. Nous disposons de la formule de Cartan :

LX = [iX, d] = iX◦ d + d ◦ iX.

Preuve. L’opérateurLX est une super-dérivation de degré(0, x) et l’opérateur [iX, d] est également une

super-dérivation de degré_{(−1+1,x+ ¯0) = (0,x) donc il suffit de démontrer qu’ils co¨ıncident sur l’espace}

g∗. Soitϕ_{∈ g}∗

φ et Y ∈ g. D’apr`es l’expression (II.51), nous avons : LX(ϕ)(Y ) = −(−1)φxϕ([X,Y ]).

D’autre part :

[d, iX](ϕ)(Y ) = d(iX(ϕ))(Y ) + iX(dϕ)(Y )

= (−1)φx_d₍_ϕ_{(X))(Y ) + (−1)}φx_d_ϕ_{(X,Y )}

= 0 − (−1)φx_ϕ_{([X,Y ]).}

Lemme II.2.27. Soit X_{∈ g}x. Les op´erateursLX et d commutent.

Preuve. Rappelons que deg(LX) = (0, x), deg(iX) = (−1,x) et deg(d) = (1, ¯0). Appliquant les formules

de Cartan puis Jacobi, nous obtenons :

[d, LX] = [d, [iX, d]] = [[d, iX], d] + (−1)1[iX, [d, d]] = [LX, d]

car d2_{= 0 d’après l’expression (II.48). Mais le crochet des super-dérivations est super-antisymétrique,}

d’o`u :

[LX, d] = −(−1)0[d, LX].

Donc[LX, d] = 0 i.e. LX◦ d = d ◦ LX.

Lemme II.2.28. Soit _{X1, . . . , Xn¯0+n¯1} une base d’homog`enes de g et {ϕ1, . . . ,ϕn¯0+n¯1} la base duale.

Alors : d=1 2 n¯0+n¯1

∑

i=1 e ϕi∧ LXi (II.53)

o`uϕeiest la forme d´efinie par : ϕei(X) = (−1)xixϕi(X) pour X ∈ gx.

Preuve. Pour tout i_{∈ [[1,n}_¯0+ n_¯1]], l’op´erateur LXi est une super-d´erivation donc D :=

n¯0+n¯1

∑

i=1

ϕi∧ LXi est

une super-d´erivation d’apr`es la proposition II.2.10. Montrons alors que D co¨ıncide avec 2d sur l’espace

g∗.

Soit ϕ_{∈ g}∗_φ, X _{∈ g}xet Y ∈ gy. Pour chaque i ∈ [[1,n¯0+ n¯1]] et en appliquant l’expression (II.51),

nous avons : e ϕi∧ LXi(ϕ)(X,Y ) = (ϕei⊗ s LXi(ϕ))(X,Y ) − (−1) xy₍_ϕ_e i⊗ sLXi(ϕ))(Y, X) = (−1)xix₍₋₁₎(xi+φ)xϕ i(X)LXi(ϕ)(Y ) − (−1) xy (−1)xiy₍₋₁₎(xi+φ)yϕ i(Y )LXi(ϕ)(X) = −(−1)φx(−1)φxiϕ i(X)ϕ([Xi,Y ]) + (−1)xy(−1)φy(−1)φxiϕi(Y )ϕ([Xi, X]) = −¡ϕi(X)ϕ([Xi,Y ]) − (−1)xyϕi(Y )ϕ([Xi, X]) ¢

car soit le premier terme de la somme est nul, soit xi= x (xi= y dans le deuxi`eme terme). Donc :

D(ϕ_{)(X,Y ) = −} Ã ϕ Ã"_n ¯0+n¯1

∑

i=1 ϕi(X)Xi,Y #! − (−1)xyϕ Ã"_n ¯0+n¯1

∑

i=1 ϕi(Y )Xi, X #!! = −¡ϕ([X,Y ]) − (−1)xyϕ([Y, X])¢ = −2ϕ([X,Y ]) = 2dϕ(X,Y )

D´efinition II.2.29. Une forme multilin´eaire Ω_{∈ A (g) est dite invariante (par l’action de g) si, et}

seulement si, elle v´erifie :

LX(Ω) = 0

pour tout X_{∈ g.}

Corollaire II.2.30. SoitΩ_{∈ A (g) un invariant. Alors d(}Ω) = 0.

Preuve. Il suffit d’appliquer le lemme II.2.28.

II.2.e Super-dérivations de l’algèbre super-extérieure

L’algèbre super-extérieureV(V ) ayant été définie dans la section II.1.d, nous définissons les super-

dérivations de la superalgèbreV(V ) de la même manière que nous avons défini les super-dérivations de

la superalg`ebreA (V ) =V(V )∗dans la d´efinition II.2.8.

Proposition II.2.31. Soit U un endomorphisme de V de degré u. Il existe une et une seule super- dérivation DU de la superalgèbre V(V ) qui co¨ıncide avec U sur V1(V ) = V . Elle est définie par la

formule : DU(X1∧ ... ∧ Xn) = n

∑

i=1 (−1)u(x1+...+xi−1)_X 1∧ ... ∧ Xi−1∧U(Xi) ∧ Xi+1∧ ... ∧ Xn (II.54)

pour X1, . . . , Xn∈ V . Remarquons que deg(DU) = (0, u).

Preuve. Notons DUla super-d´erivation d´efinie par :

DU(X1∧ ... ∧ Xn) := n

∑

i=1 (−1)u(x1+...+xi−1)_X 1∧ ... ∧ Xi₋₁∧U(Xi) ∧ Xi+1∧ ... ∧ Xn.

Soit D une super-d´erivation de la superalg`ebreV(V ) co¨ıncidant avec l’endomorphisme U sur l’espace V.

D’une part, nous avons n´ecessairement deg(D) = (0, u). D’autre part, comme D est une super-d´erivation,

il vient : D(X1∧ ... ∧ Xn) = D(X1) ∧ X2∧ ... ∧ Xn+ (−1)ux1X1∧ D(X2∧ ... ∧ Xn) = . . . = n

∑

i=1 (−1)u(x1+...+xi−1)_X₁_{∧ ... ∧ X}_i −1∧ D(Xi) ∧ Xi+1∧ ... ∧ Xn = n

∑

i=1 (−1)u(x1+...+xi−1)_X 1∧ ... ∧ Xi−1∧U(Xi) ∧ Xi+1∧ ... ∧ Xn.

Donc D co¨ıncide avec DU sur un système de générateurs deV(V ). Nous en déduisons l’égalité D =

DU.

Supposons maintenant que V = g est une superalg`ebre de Lie et reprenons les notations de la

Définition II.2.32. Soit X _{∈ g}x. Notons LX la super-dérivation de V(g) qui prolonge ad(X). D’après

II.2.31, LX est donn´ee par :

LX(X1∧ ... ∧ Xn) := n

∑

i=1 (−1)x(x1+...+xi−1)_X 1∧ ... ∧ Xi−1∧ [X,Xi] ∧ Xi+1∧ ... ∧ Xn

pour X1, . . . , Xn∈ g. Remarquons que deg(LX) = (0, x).

D´efinition II.2.33. Soit∂ l’endomorphisme deV(g) tel que∂(Vn_{(g)) = {0} si n 6 1 et :}

∂(X1∧ ... ∧ Xn) :=

∑

16i< j6n

(−1)i+ j+1(−1)xi(x1+...+xi−1)₍₋₁₎xj(x1+...+bxi+...+xj−1)_[X

i, Xj] ∧ X1∧ ... ∧ bXi

∧... ∧ bXj∧ ... ∧ Xn

pour X1, . . . , Xn∈ g si n > 2. Remarquons que deg(∂) = (−1, ¯0).

Compte-tenu de ces d´efinitions et de l’isomorphisme entre les espacesV(V )∗etV(V∗) = A (V ),

il apparaˆıt alors que la dérivée de LieLX (voir (II.52)) et la différentielle super-extérieure d (voir (II.49))

sont les opposées des super-transpositions respectives des opérateurs LX et∂. Ainsi, les opérateursLX

et d sont les généralisations naturelles de la dérivée de Lie et de la différentielle extérieure rencontrés dans [Kos50] et construits de cette manière.

II.3

Superalg`ebre de Lie orthosymplectique osp(1, 2n)

II.3.a D´efinition

Nous reprenons les r´esultats de [Sch79] II.4. Soit V = V_¯0_⊕V_¯1unC-espace vectoriel Z2-gradu´e de

dimension finie, avec n_¯0= dim(V_¯0) et n_¯1= dim(V_¯1).

Rappel II.3.1. L’alg`ebre End(V ) des endomorphismes de V est Z2-gradu´ee par les sous-espaces :

End(V )_α_{= {U ∈ End(V ) | U(V}_β_{) ⊂ V}_α₊_β_{, ∀}β_{∈ Z}2},

pour toutα_{∈ Z}2. La superalgèbre de Lie associée est notée gl(V ).

Nous pouvons donner une description matricielle de la superalg`ebre de Lie gl(V ). Une base

d’homogènes de V= V¯0⊕V¯1étant donnée, nous pouvons écrire les éléments de gl(V ) comme les matrices

U= Ã A B C D ! avec A∈ Mn¯0(C), B ∈ Mn¯0,n¯1(C), C ∈ Mn¯1,n¯0(C) et D ∈ Mn¯1,n¯1(C). La graduation de

gl(V ) est alors donn´ee par les deux sous-espaces suivants :

gl(V )¯0= (Ã A 0 0 D ! , A ∈ Mn_¯0(C), D ∈ Mn_¯1(C) ) , gl(V )_¯0= (Ã 0 B C 0 ! , B ∈ Mn¯0,n¯1(C), C ∈ Mn¯1,n¯0(C) )

Le crochet, dans la superalg`ebre gl(V ), de deux matrices X := Ã A B C D ! et X′:= Ã A′ B′ C′ D′ ! s’´ecrit : [X, X′] = Ã AA′_{− A}′A+ BC′_{+ B}′_C _BD′_{− B}′_D_{+ AB}′_{− A}′_B CA′_−C′A+ DC′_−C′_D _DD′_{− D}′_D_+CB′_−C′_B ! .

La superalgèbre de Lie Z2-gradué définie ci-dessus est notée gl(n¯0, n¯1). Par définition, elle est

isomorphe `a gl(V ). Nous avons de plus :

gl(n_¯0, n_¯1)_¯0_{≃ gl(n}_¯0_{, C) × gl(n}_¯1, C)

et :

dim(gl(n_¯0, n_¯1)_¯1) = 2n_¯0n_¯1.

Définition II.3.2. Soitγ: V _{→ V l’application linéaire définie par :} γ_{(X) = (−1)}xX pour X_{∈ V}x. La

forme lin´eaire str est d´efinie sur gl(V ) par :

str(U) = tr(γU),

Remarque II.3.3. Nous en d´eduisons imm´ediatement : str Ã A B C D ! = tr(A) − tr(D).

Proposition II.3.4. L’application super-trace est paire et invariante par l’action adjointe de la super- alg`ebre de Lie gl(V ) :

str([U,U′]) = 0

pour U,U′_{∈ gl(V ), ou, de mani`ere ´equivalente :}

str(UU′_{) = (−1)}uu′_str_(U′_U_).

Corollaire II.3.5. La forme bilin´eaire B : gl_{(V ) ×gl(V ) → C d´efinie par B(U,U}′) := str(UU′) est super-

sym´etrique.

D´efinition II.3.6. Soit m_{, n ∈ N}∗ et J := Ã

0 In

−In 0

. L’alg`ebre orthosymplectique osp(m, 2n) est la

sous-alg`ebre de gl(m, 2n) d´efinie par :

X= Ã A B C D ! ∈ osp(m,2n) ⇔          t_A_{= −A} t_B_{= JC} t_DJ_{+ JD = 0} . ´

Enonçons immédiatement quelques propriétés des algèbres orthosymplectiques :

Th´eor`eme II.3.7.

1. Les alg`ebres orthosymplectiques sont simples.

2. La forme bilinéaire_{(X,Y ) 7→ str(XY ) est invariante et non-dégénérée sur osp(m,2n).} 3. La forme de Killing sur osp_{(m, 2n) est donnée par (X,Y ) 7→ (m − 2n − 2)str(XY ).} Théorème II.3.8. Il existe un isomorphisme :

osp(m, 2n)_¯0_{≃ so(m,C) × sp(2n,C).}

Nous avons ´egalement dim(osp(m, 2n)_¯1) = 2mn.

La superalgèbre de Lie osp(m, 2n) peut aussi être vue comme l’algèbre des invariants d’une forme

Proposition II.3.9. Soit F la forme bilin´eaire de matrice

Im 0

0 J

∈ gl(m,2n). La forme bilin´eaire F est

super-symétrique, paire et non dégénérée sur l’espaceZ2-gradué V := Cm⊕ C2n. Alors la superalgèbre osp(m, 2n) est égale à l’espace des éléments U de gl(m, 2n)uvérifiant :

F_{(U(X),Y ) + (−1)}uxF(X,U(Y )) = 0

pour tous X_{∈ V}x, Y ∈ V et x ∈ Z2et pour u∈ Z2.

Remarque II.3.10. La proposition II.3.9 est en fait valable pour toute forme F bilin´eaire, super-sym´etrique

ou super-antisymétrique, paire et non dégénérée. En effet, si la forme F est super-symétrique, et puisque le corpsC est algébriquement clos, la matrice de F peut se réduire à la matrice donnée dans la propo-

sition II.3.9. D’autre part, si la forme F est super-antisymétrique, nous pouvons ramener l’étude au cas super-symétrique en considérant la forme F′définie sur l’espaceZ2-gradué V′= V_¯0′⊕V_¯1′par :

F′(X,Y ) = F(Y, X)

pour tous X_{,Y ∈ V o`u V}_¯0′:= V¯1et V_¯1′:= V¯0(voir [Sch79] II.4.3.A).

Enfin, d’apr`es [Sch79] III.3.1 :

Théorème II.3.11. Toute représentation de dimension finie de osp(1, 2n) est complètement réductible. II.3.b Systèmes de racines

Rappel II.3.12. Soit l une alg`ebre de Lie semi-simple de dimension finie. Une sous-alg`ebre de Cartan

de l est une sous-algèbre de Lie abélienne maximale dont l’action sur l via la représentation adjointe est diagonalisable. La décomposition correspondante de l en sous-espaces propres s’écrit l_{= h ⊕} L

α∈Φ

lα

et est appelée la décomposition de Cartan. L’ensemble des valeurs propres non nullesΦ est un sous- ensemble fini de formes linéaires non nulles sur h appelées racines. Le sous-espace propre correspondant àα _∈Φest :

l_α:_{= {X ∈ l | ad(h)(X) =}α_(h)X} et il est appelé l’espace de racine associé àα _∈Φ.

Un sous-ensemble∆_⊂Φ est appel´e base si c’est une base de h∗ et si toute racineβ appartient `a

Q+ou `a_−Q+o`u Q+:=

∑

i=1

Nαi. Rappelons les propri´et´es suivantes :

• pour toutα ∈Φ, dim(lα) = 1 ;

• l’ensembleΦengendre un réseau de rang égal à la dimension de h ;

• l’ensembleΦest sym´etrique par rapport `a l’origine : siα_∈Φ, alors₋α _∈Φ;

• les sous-alg`ebres de Lie n+_:₌ L α∈Q+_\{0} l_αet n−:= L α∈−Q+_\{0} l_αsont nilpotentes, et l= n+_⊕h⊕n− (d´ecomposition triangulaire).

Pour toutα _∈Φ, soit X_α_{∈ l}_α, Y_α_{∈ l}₋_α et H_α_{∈ [l}_α, l₋_α] une base de s_α v´erifiant les relations de commutation de sl2 (i.e. [Xα,Yα] = Hα,[Hα, Xα] = 2Xα et[Hα,Yα] = −2Yα c’est-`a-direα(Hα) = 2).

NotonsΩ_αl’hyperplan_{β _{∈ h}∗_|β(H_α_{) = 0} et}σ_αla r´eflexion d’hyperplanΩ_α:σ_α(β) =β₋β(H_α)α

(la réflexionσα fixeΩα et envoieα sur−α). Le groupeW engendré par ces réflexions est appelé le

groupe de Weyl de l’algèbre de Lie l. Nous avons les propriétés suivantes :

• le groupe W agit simplement transitivement sur les bases : si∆′_{est une autre base, alors}_∆′₌_σ₍_∆₎ pour unσ _{∈ W et si}σ(∆) =∆, alorsσ = id ;

• siα∈Φ, il existeσ_{∈ W tel que}σ(α_{) ∈}∆

• le groupe W est engendr´e par les r´eflexionsσαavecα_∈∆.

Une théorie similaire existe pour les superalgèbres de Lie. Soit g= g¯0⊕ g¯1 une superalgèbre de

Lie de dimension finie et h_¯0une sous-algèbre de Cartan de g_¯0. On note comme précédemment : gα_ξ := {X ∈ gξ | [H,X] =α(H)X ∀ H ∈ h¯0}

les sous-espaces de poids (pour toutξ _{∈ Z}2). La sous-algèbre h¯0agit diagonalement sur les sous-espaces g_¯0et g_¯1. L’ensemble des racines de g_¯0 (resp. g_¯1) par rapport à h_¯0est noté∆_¯0 (resp. ∆_¯1) et∆désigne la réunion∆¯0∪∆¯1. D’après [Kaˇc77] et [Mus92], il existe une base B = {α1, . . . ,αn} constituées de racines

simples de g i.e. linéairement indépendantes et pour toute racineα _∈∆, on aα_{∈ Q}+ ou₋α_{∈ Q}+ où

Q+:=

∑

i=1

Nαi.

Soit h le centralisateur de h¯0dans g, n+= L

α∈Q+_\{0}

gαet n−= L

−α∈Q+_\{0}

gα. Alors g= n−_⊕h⊕n+

est une d´ecomposition triangulaire de g. Cela signifie :

• n−_{, n}+_{et h sont des sous-algèbres graduées de g, n}+_{et n}− _{étant nilpotentes ;}

• g¯0= n−_¯0 ⊕ h¯0⊕ n+_¯0 est une décomposition triangulaire de g¯0au sens classique ; • b := h ⊕ n+est une sous-algèbre résoluble de g.

Pourλ∈ h∗_{, il existe un unique b-module V}_λ_{tel que n}+_V

λ= 0 et [H, X] =λ(H)X pour tout H ∈ h¯0

et X_{∈ V}_λ. Soit CX_λ le b_¯0-module de dimension 1 o`u X_λest tel que n+_¯0X_λ= 0 et [H, X_λ] =λ(H)X_λpour tout H_{∈ h}_¯0. Les modules de Verma pour g_¯0et g sont d´efinis par :

M(λ) = U(g¯0) ⊗ U(b¯0) CX_λ, e M(λ_{) = U(g) ⊗} U(b)Vλ.

Le groupe de Weyl est enfin d´efini comme ´etant le groupe des permutations de l’ensemble des racines.

Examinons le cas g= osp(1, 2n). Nous avons g_¯0= sp(2n, C) et les éléments de la sous-algèbre h_¯0

sont les matrices diagonales :

H(z1, . . . , zn) :=               z1 0 . . . 0 0 . .. ... 0 ... .. . . .. zn . .. ... .. . . .. −z1 . .. ... .. . 0 . .. ... 0 0 . . . 0 _−zn              

(avec z1, . . . , zn∈ C) donc la sous-alg`ebre h est de dimension n et une base est donn´ee par {H1, . . . , Hn}

o`u :

Hi:= H(0, . . . , 1i, . . . , 0).

Notant_{L1, . . . , Ln} la base duale, nous choisissons comme syst`eme de racines simples l’ensemble

suivant (voir [Kaˇc77] 2.5.4) :

{L1− L2, L2− L3, . . . , Ln₋₁− Ln, Ln}.

II.3.c La repr´esentation adjointe tordue

Soit n > 1 etAnl’alg`ebre de Weyl engendr´ee par les vecteurs{pi, qi, i ∈ [[1,n]]} avec les relations :

[pi, qi]L = 1, ∀ i ∈ [[1,n]],

[pi, pj]L = [pi, qj]L = [qi, qj]L = 0, ∀ i, j ∈ [[1,n]], i 6= j,

où [p, q]L := pq − qp (crochet de Lie classique). L’algèbre An est munie d’une structureZ2-graduée

(les vecteurs p1, . . . , pn, q1, . . . , qn sont de degré ¯1, et l’unité 1 est de degré ¯0) qui la transforme en une

superalg`ebre de Lie. Notons[., .] son crochet.

Définition II.3.13. L’action adjointe tordue deAnsur elle-même est définie par :

ad′_{(A)(B) := AB − (−1)}a(b+1)BA

pour A_{, B ∈ A}n, degZ2(A) = a, degZ2(B) = b.

Proposition II.3.14. L’action adjointe tordue est une représentation fidèle de la superalgèbre de Lie

An/C.1 dans la superalg`ebre de Lie des endomorphismes de An. Autrement dit :

ad′_{(AB − (−1)}abBA) = (1)ad ′_{([A, B]) =} (2)[ad ′_{(A), ad}′_{(B)] =} (3)ad

Preuve. L’égalité (1) est claire (c’est le super-crochet de la superalgèbre de LieAn). D’autre part, d’après

la définition II.3.13, les endomorphismes ad′_{(A) sont de degré a si A ∈ A}nest de degré a. Donc l’égalité

(3) n’est que l’écriture du super-crochet de Lie des endomorphismes. Il reste à démontrer l’égalité (2). Soit A_{, B,C ∈ A}nde degrés respectifs a, b, c ∈ Z2. Calculons :

ad′_{([A, B])(C) = [A, B]C − (−1)}(a+b)(c+1)C[A, B]

= ABC − (−1)abBAC_{− (−1)}(a+b)(c+1)CAB_{+ (−1)}(a+b)(c+1)+abCBA,

et :

ad′(A)ad′(B)(C) = ad′_{(A)(BC − (−1)}b(c+1)CB)

= ABC − (−1)a(b+c+1)BCA_{− (−1)}b(c+1)ACB_{+ (−1)}b(c+1)+a(b+c+1)CBA,

ad′(B)ad′(A)(C) = ad′_{(B)(AC − (−1)}a(c+1)CA)

= BAC − (−1)b(a+c+1)_ACB_{− (−1)}a(c+1)_BCA_{+ (−1)}a(c+1)+b(a+c+1)_CAB_. Donc :

[ad′(A), ad′_{(B)](C) = ABC − (−1)}ab_BAC_{+ (−1)}b(c+1)+a(b+c+1)_CBA_{− (−1)}a(c+1)+b(c+1)_CAB_. D’où l’égalité (2).

Quant au caract`ere injectif surAn/C.1, il suffit de remarquer que pour tout vecteur A de degr´e ¯1

dansAn, nous avons ad′(A)(1) = 2A et ad′(1) = 0..

Soit V_¯1:= Vect(pi, qi, i ∈ [[1,n]]) et h := V¯1⊕ [V¯1,V¯1]. Alors h est une sous-superalg`ebre de Lie de An. Soit V = V¯0⊕V¯1avec V¯0:= C.1. Nous avons ad′(h)(V ) ⊂ V . Par exemple, pour A,B ∈ V¯1:

  

ad′_{(A)(B) = AB − BA = [A,B]}_L.1

ad′(A)(1) = 2A

avec[A, B]_L _{∈ C car de degr´e ¯0.}

Nous d´efinissons une forme bilin´eaire F : V_{×V → C par :}

  

F(X,Y ) = [X,Y ]L, ∀ X,Y ∈ V¯1

F_{(1, 1) = −2}

et F_{(X, 1) = F(1, X) = 0 si X ∈ V}_¯1. Comme [pi, qi]L 6= 0 pour tout i ∈ [[1,n]], la forme F est non dégénérée.

Remarque II.3.15. La forme F est super-sym´etrique :

F(X,Y ) = [X,Y ]_L _{= −[Y,X]}_L _{= −F(Y,X)}

Lemme II.3.16. La forme bilinéaire F est invariante par la représentation adjointe tordue, c’est-à-dire :

F(ad′_{(A)(B),C) + (−1)}abF(B, ad′(A)(C)) = 0

pour tout A_{∈ h, B,C ∈ V.}

Preuve. Puisque les sous-espaces V¯0et V¯1sont orthogonaux pour la forme bilin´eaire F, il suffit de calculer

l’expression ci-dessus dans quatre cas, suivants les degr´es des vecteurs A_{∈ h et B,C ∈ V :} 1. A_{∈ h}_¯1= V_¯1, B_{∈ V}_¯1, C= 1 :

F(ad′_{(A)(B), 1) + (−1)}1F(B, ad′(A)(1)) = F([A, B]L.1, 1) − F(B,2A)

= [A, B]L.(−2) − 2[B,A]L

= 0 ;

2. A_{∈ h}_¯1, B_{= 1, C ∈ V}_¯1:

F(ad′(A)(1), B) + F(1, ad′(A)(B)) = 2F(A, B) + F(1, [A, B]L.1)

= 2[A, B]L − 2[A,B]L

= 0 ;

3. A_{= [P, Q] ∈ h}_¯0= [V_¯1,V_¯1_{], B ∈ V}_¯1, C_{∈ V}_¯1:

F(ad′([P, Q])(B),C) + F(B, ad′([P, Q])(C))

= F(ad′(P)ad′(Q)(B),C) + F(ad′(Q)ad′(P)(B),C) + F(B, ad′(P)ad′(Q)(C)) +F(B, ad′(Q)ad′(P)(C))

= [Q, B]_LF(2P,C) + [P, B]_LF(2Q,C) + [Q,C]_LF(B, 2P) + [P,C]_LF(B, 2Q) = 2[Q, B]_L[P,C]_L + 2[P, B]_L[Q,C]_L+ 2[Q,C]_L[B, P]_L + 2[P,C]_L[B, Q]_L = 0.

4. A_{∈ h}_¯0, B= 1, C = 1 : puisque ad′(A)(1) = 0, l’identité est vérifiée.

Ainsi h est une superalgèbre de Lie agissant sur l’espaceZ2-gradué V (par l’intermédiaire de la

représentation ajointe tordue) et laissant invariante la forme bilinéaire super-symétrique non dégénérée et paire F sur V . La superalgèbre de Lie h est donc isomorphe à la superalgèbre de Lie osp(1, 2n),

compte-tenu des dimensions de V_¯0 et V_¯1 (d’apr`es la proposition II.3.9 et la remarque II.3.10). Comme cons´equence de cet isomorphisme, nous avons :

Preuve. D’après ce qui précède, il suffit de démontrer que si X_{∈ V}_¯1, alors(ad′(X)_|V)3_{= 0. Nous avons :} (ad′(X))2_{(1) = 2ad}′_{(X)(X) = 0}

et, pour tout Y _{∈ V}_¯1:

(ad′(X))3(Y ) = (ad′(X))2([X,Y ]L.1) = 2[X,Y ]L.ad′(X)(X) = 0 D’o`u le r´esultat.

De manière plus générale :

Proposition II.3.18. Soitπune repr´esentation de dimension finie de la superalg`ebre de Lie osp(1, 2n).

Si X_{∈ osp(1,2n)}¯1, alorsπ(X) est nilpotent.

Preuve. Nous utilisons l’isomorphisme entre les superalg`ebres de Lie osp(1, 2n) et h et nous supposons X

non nul. Montrons tout d’abord qu’il existe une base de Darboux de l’espace V¯1pour la forme bilin´eaire

non dégénérée F′:= F_|V_¯1_×V_¯1(i.e. pour[., .]L) de premier élément X .

Comme X1:= X est non nul et F′ est non dégénérée, il existe un vecteur Y1 de V¯1 non nul et

linéairement indépendant de X1 tel que F′(X1,Y1) = 1 (en effet, F′ est antisymétrique donc alternée).

Soit W le sous-espace de V_¯1engendr´e par X1et Y1, et soit :

W⊥:_{= {Y ∈ V}_¯1_{| F(Z,Y ) = 0 ∀ Z ∈ W }} son orthogonal pour la forme bilin´eaire F. Montrons que V_¯1_{= W ⊕W}⊥.

L’intersection W_∩W⊥ est r´eduite `a_{{0} : si X ∈ W ∩W}⊥, alors X=λX1+µY1(avecλ,µ ∈ C)

d’o`u 0= F′(X, X1) = −µet 0= F′(X,Y1) =λ. Par cons´equent X= 0.

D’autre part, pour tout X _{∈ V}_¯1, notons F_X′ la forme sur W définie par F_X′(Y ) = F′_{(X,Y ). La forme} bilinéaire F′ étant non dégénérée (sur V¯1 donc sur W ), elle induit un isomorphisme entre W et W∗

(isomorphisme habituel Y _{∈ W Ã F}_Y′ _{∈ W}∗). Soit X _{∈ V}_¯1. Montrons qu’il se d´ecompose sur W et W⊥.

D’après ce qui précède, F_X′ étant élément de W∗, il existe Y_{∈ W tel que F}_X′ = F_Y′. Ainsi, F′_{(X −Y,Z) = 0}

pour tout Z_{∈ W. Par conséquent, Y}′:_{= X −Y ∈ W}⊥et X= Y +Y′est la décomposition cherchée. Ainsi,

V = W ⊕W⊥_.

Fixons maintenant un vecteur X2∈ W⊥ non nul. De la mˆeme mani`ere que ci-dessus, il existe

Y2 ∈ W⊥ tel que F′(X2,Y2) = 1. En réitérant le procédé (n fois au total), nous construisons une base {X1,Y1, X2,Y2, . . . , Xn,Yn} de V¯1vérifiant F′(Xi,Yi) = 1 et F′(Xi, Xj) = F′(Xi,Yj) = F′(Yi,Yj) = 0. Consi-

dérons maintenant l’application linéaireΦdéfinie de V_¯1dansAnpar XiÃ piet YiÃ qi. Par construction

de la base de V¯1, l’applicationΦ est en fait un automorphisme de l’alg`ebre de WeylAn (en effet, V¯1

est l’espace vectoriel sous-jacent àAn). Par conséquent, quitte à considérerπ◦Φ−1au lieu deπ, nous

pouvons supposer X = p1.

Considérons l := l¯0⊕ l¯1 où l¯1:= Vect(p1, q1) et l¯0:= [l¯1, l¯1]. Alors l ≃ osp(1,2). Soitρ:=π|l: c’est une représentation de osp(1, 2) ; elle est par conséquent complètement réductible. Notonsρ=L

sa d´ecomposition (finie) en composantes simples. Pour chaque i_{∈ I, nous disposons donc d’un l-module} simple Vi. D’apr`es [BP91], le l-module Viest de plus haut poids

2 (ni∈ N) et sa dimension est ´egale `a 2ni+ 1. D’autre part, si v ∈ Viest de poids

2 avec mi∈ [[−ni, ni]], le poids deρ(p)(v) est ´egal `a

2 −

1 2. Par cons´equent, pour tout v_{∈ V}i:

ρ(p)dim(Vi)_{(v) = 0.}

Nous en d´eduisons donc que si d0= max{dim(ρi), i ∈ I}, alorsπ(p1)d0 = 0.

II.3.d Cohomologie de la superalg`ebre de Lie osp(1, 2n) et invariants de l’alg`ebre super-

ext´erieure

Notons g= osp(1, 2n) et reprenons les notations de la partie II.2.e. L’op´erateur LX est la super-

dérivée de Lie (II.52) et l’opérateur d est la différentielle super-extérieure (II.49). Rappelons que ce sont respectivement des super-dérivations de degré(0, x) et (1, ¯0) de l’algèbre super-extérieureV(g∗_{) et,} d’après la proposition II.2.24,L est une représentation de la superalgèbre de Lie g.

D´efinition II.3.19.

• Une cochaˆıne est un élément de la superalgèbreV(g∗) ;

• Un cocycle est un élément de l’espace Ker(d) ; notons Z(g) := Ker(d) ; • Un cobord est un élément de l’espace d(V(g∗)) ; notons B(g) := Im(d).

• L’alg`ebre de cohomologie H(g) est le quotient du sous-espace des cocycles par le sous-espace des

cobords : H(g) := Z(g)/B(g).

Remarque II.3.20. L’algèbre H(g) est (Z × Z2)-graduée : la graduation sur Z est obtenue grâce aux

sous-espaces Hn(g) des classes de cohomologie des n-cocycles et la Z2-graduation découle de celle de g. D’autre part, le produit dans H(g) est le produit de la superalgèbreV(g∗_{) passé au quotient. Il y est} défini sans ambigu¨ıté car d est une super-dérivation de l’algèbre super-extérieure.

Définition II.3.21. Deux cochaˆınes Ω et Ψ sont dites cohomologues si et seulement s’il existe une cochaˆıneϒtelle queΩ₋Ψ= dϒ. Les cochaˆınesΩetΨappartiennent alors à la même classe de coho- mologie, c’est-à-dire représentent le même élément dans l’algèbre H(g).

Concernant la cohomologie de g, nous disposons du théorème suivant qui est une reprise (démons- tration y compris) de l’énoncé de [Kos50] :

Théorème II.3.22. L’algèbre de cohomologie H(g) est isomorphe à la sous-algèbre de ses cochaˆınes

invariantesV(g∗)g_.

Le lemme suivant va nous permettre de démontrer ce théorème :

1. L’espace des cochaˆınes de g est somme directe du sous-espace des cochaˆınes invariantes et du sous-espace engendr´e parLX(V(g∗)) pour X parcourant g.

2. Tout cocycle invariant de g et cohomologue `a z´ero est l’image par d d’une cochaˆıne invariante. 3. Toute classe de cohomologie de g contient un cocycle invariant et un seul.

Preuve. 1) Soit T le sous-espace des cochaˆınes de g engendr´e parLX(V(g∗)) lorsque X parcourt g. Le

sous-espace T est stable parL . Comme la représentation linéaire L de g dansV(g∗_{) est complètement} réductible, il existe un supplémentaire stable J_⊂V(g∗). Alors toute cochaˆıneΩde J est invariante. En effet, si X_{∈ g, alors L}X(Ω) ∈ J car J est stable et LX(Ω) ∈ T par définition. Donc LX(Ω) ∈ T ∩J = {0}.

Inversement, toute cochaˆıne invariante est dans J. Soit en effet N le sous-espace des cochaˆınes invariantes appartenant à T. C’est un sous-espace stable donc il possède un supplémentaire stable N′

dansV(g∗_{). Puisque N ⊂ T , ceci prouve que N est engendré par L}_X_{(N) quand X parcourt g. En effet,} considérons un générateurLX(Ω) de N (par définition de T ), avecΩ∈V(g∗). Écrivons la décomposition

Ω=Ω′₊_Ω′′_avec_Ω′_{∈ N et}_Ω′′_{∈ N}′_{. Alors}_Ω′′_{est invariante car les sous-espaces N et N}′ _{sont stables} parL . DoncΩ= LX(Ω′) et N est bien engendr´e par LX(N) quand X parcourt g. Mais par d´efinition

de N,LX(N) = 0 pour tout X, donc N = {0}. Ceci montre donc que J est exactement le sous-espace des

cochaˆınes invariantes deV(g∗). D’o`u la premi`ere assertion.

2) Les sous-espaces T et J sont stables par d carLXet d commutent d’apr`es la proposition II.2.27.

Par conséquent tout cocycle cohomologue à zéro dans J est dans dJ. En effet, soitΩun tel cocycle : il existe une cochaˆıneΨtelle queΩ= dΨ. Écrivons la décompositionΨ=Ψ′+Ψ′′correspondant à la somme directeV(g∗_{) = J ⊕ T. Alors :}

Ω= dΨ= dΨ′+ dΨ′′_{∈ J}

avec dΨ_{∈ J et d}Ψ′′_{∈ T. Donc d}Ψ′′= 0 etΩ= dΨ= dΨ′_{∈ dJ.}

Soit par ailleurs D le sous-espace des cocycles appartenant à T : D_{= T ∩ Z(g). Le sous-espace D} est stable par la représentationL et il est donc engendré par LX(D) quand X parcourt g. Or, pour tout

cocycleΩde g, nous avons, d’apr`es la formule de Cartan (proposition II.2.26) :

LX(Ω) = d ◦ iX(Ω) + iX◦ d(Ω) = d(iX(Ω)).

Donc tous les éléments de D sont cohomologues à zéro.

D’autre part, puisque T et J sont stables par d, les composantes d’un cocycle dans ces deux sous- espaces sont encore des cocycles (siΩ=Ω′+Ω′′, alors 0= dΩ= dΩ′+ dΩ′′d’o`u dΩ′= dΩ′′= 0).

Nous en déduisons donc que tout cocycle est cohomologue à sa composante dans J, d’où la deuxième assertion.

3) SoitΩun cocycle. Montrons qu’il est cohomologue à un cocycle invariant. D’après le premier point, nous disposons d’une unique décompositionΩ=Ω′₊_Ω′′_avec_Ω′_{cocycle dans T et}_Ω′′_cocycle

dans J. Mais d’après ce qui précède,Ω′ est cohomologue à zéro. DoncΩest cohomologue àΩ′′, d’où la troisième assertion.

Démonstration (du théorème II.3.22). D’après la proposition II.2.28 page 94, toute cochaˆıne invariante

est un cocycle (invariant). Le lemme II.3.23 nous assure alors que toute classe de cohomologie de g contient une cochaˆıne invariante et une seule.

II.3.e Invariants de l’alg`ebre super-sym´etrique

De la même manière que nous avons étendu la représentation contragrédiente ˇad de la représen- tation adjointe d’une superalgèbre de Lie g àV(g∗_{) pour obtenir la représentation L (voir la remarque} II.2.25 page 93), nous étendons ˇad à la superalgèbre S(g∗) ; notonsΘla représentation obtenue. Pour

X_{∈ g, l’endomorphisme}ΘX est alors une super-dérivation de degré x de S(g∗) ayant la même expression

queLX : ΘX(F)(X1, . . . , Xn) = −(−1)x f n

∑

j=1 (−1)x(x1+...+xj−1)_F_(X 1, . . . , Xj−1, ad(X)(Xj), Xj+1, . . . , Xn) avec F_{∈ S}n_(g∗_{), deg(F) = f et X, X}₁_{, . . . , X}_n_{∈ g.}

Notons g= osp(1, 2n) et g¯0= sp(2n, C). Concernant la structure de l’espace des invariants de

l’algèbre super-symétrique de g, le théorème de restriction de Chevalley valable dans le cas classique est également applicable d’après [Ser99] :

Dans le document Structures de Nambu et super-théorème d'Amitsur-Levitzki (Page 109-141)