5.2 Résultat principal
5.2.5 Borne inférieure
Z Uµt(z)dÄ σ1 − µt1 ä (z) =−(σ1− µt1)(C)F1t=−(1 − t)F1t, comme énoncé dans la première partie du lemme 5.2.9.
La seconde partie en découle immédiatement en inversant les rôles joués par les
en-sembles EN et FN.
5.2.5 Borne inférieure
Tous les éléments sont maintenant réunis pour prouver l’inégalité (5.4) sous les hypo-thèses 5.1, 5.2, 5.3, 5.4, et 5.5, en voici la preuve.
preuve : On a vu précédemment que
Zn⋆(En,N, Fn,N) = min 06i,j6n rij(λi 1) rij Ä λj2ä . En combinant le lemme 5.2.9 et la proposition 5.2.8, on obtient
lim inf N Zn(EN, FN)1/N > lim inf N Zn∗(En,N, Fn,N)1/N, = lim inf N min 06i,j6nkri,jk1/NL∞(En,N) ri,j−1 1/NL∞(F n,N), > e−(F1t+Ft 2),
comme annoncé dans (5.4).
Le prochain chapitre est dédié à l’étude plus approfondie de notre problème de théorie du potentiel, qui permettra de donner des conditions suffisantes pour obtenir une formu-lation intégrale de la constante extrémale Ft
1+ Ft
2, et par conséquent une formulation plus explicite et exploitable numériquement.
Chapitre 6
Formulation intégrale pour la constante
extrémale
Comme expliqué en fin du chapitre 4 consacré à l’étude de notre problème de minimisa-tion d’énergie en théorie du potentiel logarithmique pour des mesures signées, on cherche dorénavant à étudier plus en profondeur ce problème dans un cas particulier.
Le résultat principal de ce chapitre est donné au théorème 6.3.4 où l’on obtient une for-mulation intégrale explicite de la constante extrémale Ft
1+Ft
2 qui gouverne l’asymptotique faible du problème de Zolotarev pour des ensembles discrets.
On suit dans ce chapitre la démarche de [BuRa99], article lui-même construit dans le but d’obtenir la formule dite formule de Buyarov-Rakhmanov issue de [BuRa99, Théo-rème 2] qui donne une formulation intégrale pour la mesure d’équilibre d’un problème sans contrainte avec champ extérieur.
Pour le cas des mesures contraintes par γ une mesure de masse T > t, on considère dans [BeKu01a] le problème de minimisation d’énergie Ä “P+ä
cité dans la preuve du théorème 4.2.17 sur l’ensemble
Mtγ :={ν, ν mesure, ν(C) = t, 0 6 ν 6 γ} où 0 < t < T.
On note νt la mesure minimisante pour ce problème de minimisation d’énergie et on note S(t) := supp (γ− νt) la partie de supp (γ) libre de contrainte. On définit enfin ωS(τ ) la mesure de Robin de l’ensemble S(τ ), autrement dit la mesure minimisante pour l’énergie logarithmique sur l’ensemble
{λ mesure, supp (λ) ⊂ S(τ), λ(C) = 1}.
On a alors la formulation intégrale suivante donnée dans [BeKu01a, p. 9] pour la mesure d’équilibre, formulation appelée formule de Buyarov-Rakhmanov modifiée dans cet article :
νt=
Z t
0 ωS(τ )dτ. (6.1)
Cette formule pour le cas des mesures sous contrainte sans champ extérieur est obtenue grâce à un résultat dit de dualité champ-contrainte qui permet de reformuler un pro-blème de minimisation d’énergie sous contrainte sans champ extérieur sous la forme d’un problème de minimisation d’énergie sans contrainte avec champ extérieur. On commence
96 Formulation intégrale pour la constante extrémale
donc par prouver un résultat de ce type afin d’adapter des travaux de [BuRa99] et [La06] conçus pour des problèmes sans contrainte avec champ extérieur, respectivement pour des mesures et pour un problème de théorie du potentiel vectoriel.
Pour suivre la démarche de la preuve de [BuRa99, Théorème 2] on définit ensuite une fonctionnelle adaptée à la détermination des ensembles supp Äsigmaj− µt
j
ä
, j = 1, 2, dont on détaille la construction au cours de ce chapitre avant de passer au résultat principal de cette section.
La formulation intégrale étant bien plus explicite dans le cas où les ensembles
supp Ä
σj − µτj
ä
06τ 6t, j = 1, 2
sont des intervalles réels, on donne en fin de chapitre une condition suffisante pour se trouver dans ce cas, condition valable uniquement dans le cas symétrique et adaptée du cas des mesures sous contraintes donné dans [BeKu01a, Lemme 3.1].
On impose dans tout ce chapitre les deux hypothèses supplémentaires suivantes que l’on supposera dorénavant vérifiées. On considère maintenant des contraintes finies σ1 et σ2 de même masse sur le support desquelles on impose une restriction de nature topologique. Hypothèse 6.1. On suppose dorénavant qu’on se trouve dans le cadre plus restrictif suivant :
E1 = E2 =∅, σ1(C) = σ2(C), et t1 = t2 = t∈ (0, σ1(C)) .
Hypothèse 6.2. On suppose en outre que les ensembles supp (σj) pour j ∈ {1, 2} sont de complémentaire connexe et d’intérieur vide.
L’hypothèse 6.2 est vérifiée dans le cas d’une contrainte à support contenu dans une union finie d’arcs de Jordan du plan complexe, en particulier dans le cas d’une contrainte à support réel.
6.1 Dualité champ/contrainte
L’objectif de cette section est de reformuler notre problème de minimisation d’énergie sous contrainte sans champ extérieur sous la forme d’un problème de minimisation d’éner-gie sans contrainte avec champ extérieur. Ceci permet ensuite d’utiliser et d’adapter des outils conçus pour la théorie du potentiel sans contrainte à notre problème de référence. On appelle habituellement ce type de résultat un résultat de dualité champ/contrainte, la nouveauté principale de cette section consiste à généraliser ce résultat de dualité au cas des mesures signées, on s’inspire dans ce paragraphe des résultats établis pour le cas des mesures dans [Be06, Lemme 2.6].
Soit Q une fonction continue sur C.
Définition 6.1.1. Pour s > 0, on définit l’ensemble
Qs:={˜µ = ˜µ1 − ˜µ2, ˜µi est une mesure sur Σi : ˜µi(C) = s}, et le problème de minimisation d’énergie suivant
6.1 Dualité champ/contrainte 97
avec l’énergie logarithmique tenant compte de l’influence du champ extérieur définie comme précédemment par
IQ(˜µ) = I(˜µ) + 2
Z
Q(z) d˜µ(z).
On s’intéresse dorénavant au champ extérieur donné par Q = −Uσ, continu d’après l’hypothèse 4.2.
Pour une étude détaillée générale des problèmes de minimisation énergie sans contrainte pour des mesures signées, voir par exemple [SaTo97, Theorème VIII.1.4].
Adaptons maintenant le [SaTo97, Theorème VIII.2.2] au cas particulier de notre pro-blème (P ).‹
Théorème 6.1.2. Le problème (P ) admet une unique solution ˜‹ µs caractérisée par les conditions d’équilibre suivantes :
Uµ˜s (z) + Q(z) >F‹s 1,Q, z ∈ Σ1, Uµ˜s (z) + Q(z) 6F‹s 1,Q, z∈ supp (˜µ1), −Uµ˜s (z)− Q(z) > F‹s 2,Q, z ∈ Σ2, −Uµ˜s (z)− Q(z) 6 F‹s 2,Q, z∈ supp (˜µ2), (6.2)
pour certaines constantes F‹s 1,Q,F‹s
2,Q.
Proposition 6.1.3. Soient s, t > 0 tels que s + t = σ1(C) = σ2(C). Alors, la solution µt = µt
1 − µt
2 au problème extrémal sous contrainte sans champ extérieur (P ) et la solution ˜µs = ˜µs
Q,1− ˜µs
Q,2 au problème avec champ extérieur Q =−Uσ
sans contrainte (P ) sont liées par la formule suivante :‹
˜
µs = σ− µt. preuve : Soit ˜µ = σ− µt= ˜µ1− ˜µ2 avec ˜µj = σj − µt
j pour j = 1, 2. Remarquons que l’appartenance de µtà l’ensemble Mt
σ implique que ˜µ est un élément de Qs, et donc en particulier que celle-ci a une énergie logarithmique finie.
En notant Q(z) = −Uσ(z) comme précédemment, on observe alors que Uµ˜(z) + Q(z) =−Uµt(z).
Ainsi, (6.2) se déduit immédiatement de (4.10) en définissant F‹s
j,Q =−Ft
j pour j = 1, 2, ce qui prouve bien
˜
µs = σ− µt.
Remarque. A propos de la première partie de la preuve précédente, il nous paraît perti-nent de mentionner le fait que, d’après [SaTo97, Théorème VIII.2.2], l’assertion réciproque est également vérifiée : la solutionµ =e µes au problème extrémal (P ) avec champ extérieur‹ Q = −Uσ vérifie toujours les conditions d’équilibre (6.2), où les constantes extrémales
‹
Fs
1,−Uσ,F‹s
2,−Uσ sont uniques, car d’après la proposition 6.1.3, on a F‹s
j,−Uσ = −Ft
j pour
j ∈ {1, 2}), et l’unicité des Ft
j a été établie précédemment dans le cadre de la démonstra-tion du théorème 4.3.1.
Notre proposition 6.1.3 nous permet alors d’affirmer des propriétés a priori inattendues pour ce problème avec le champ extérieur Q = −Uσ : on sait maintenant que la première et la troisième inégalité du système (6.2) sont valables pour tout z ∈ C, ou encore que
˜ µs
98 Formulation intégrale pour la constante extrémale