Préliminaires
1. Les diverses sommes sont obtenues à partir des 36 configurations possibles du résultat affiché par chacun des dés ; elles sont visualisées dans le tableau ci-contre :
1 2 3 4 5 6
On obtient donc le tableau de probabilités suivant :
S 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Partie 1 : Stratégie pour Alice
2. Bob joue son deuxième tour, et obtient un total de 12.
a) Puisqu’Alice a obtenu 8 au premier tour, il faut qu’elle obtienne au moins 8 au second tour en lançant deux dés pour dépasser 15, donc 8, 9, 10, 11 ou 12.
En utilisant les résultats de la question 1., la probabilité qu’Alice dépasse 15 avec la stratégie 2 est : p= 5
b) Pour battre Bob qui a obtenu 12, Alice doit obtenir sur les deux tours 13, 14 ou 15, soit 5, 6 ou 7 au second tour. Elle doit donc lancer un ou deux dés.
• Avec un seul dé (stratégie 1) : elle doit obtenir 5 ou 6 (impossible d’obtenir 7 avec un seul dé !), et la probabilité pour que cela se produise est :1
6+1 6 =1
3.
• Avec deux dés (stratégie 2) : elle devra obtenir 5, 6 ou 7 pour gagner, avec une probabilité de : : 4
12,la stratégie 2 est plus avantageuse.
3. En raisonnant de la même façon que dans 2.b), si Bob obtient un total de 11 après son deuxième tour, Alice devra obtenir un total compris entre 12 et 15 pour le battre. Il lui faut donc un score compris entre 4 et 7 à son deuxième tour.
• Avec un seul dé (stratégie 1) : elle doit obtenir 4, 5 ou 6 pour gagner, et la probabilité pour que cela se produise est :1
6+1 6+1
6 =1 2.
• Avec deux dés (stratégie 2) : elle devra obtenir 4, 5, 6 ou 7 pour gagner, avec une probabilité de :
On constate que les deux stratégies donnent la même probabilité de gagner, soit 1
2 ,les stratégies 1 et 2 sont aussi avantageuses l’une que l’autre.
Remarque : on peut suggérer tout de même ici à Alice de choisir la stratégie 1, qui d’une part lui évite la défaite par dépassement de 15, et d’autre part maximise la probabilité de faire un score égal à celui de Bob (1
6 contre 1 18).
Partie 2 : Stratégie pour Bob
On suppose que Bob et Alice ont tous les deux obtenus 8 au premier tour. Bob doit jouer son deuxième tour, et on suppose qu’Alice jouera ensuite en tenant compte du résultat de Bob et en choisissant la stratégie qui optimise ses chances de victoires.
4. A la question 2.b), on a vu que si Bob a obtenu un total de 12, Alice, qui cherche à optimiser ses chances de victoire, doit choisir la stratégie 2. Cette stratégie la fait gagner avec une probabilité de 5
12, et donc perdre avec une probabilité de 1− 5
12= 7 12.
Ainsi, la probabilité de victoire de Bob s’il obtient 4 au second tour est 7 12.
5. A la question 3., on a vu que si Bob obtient un total de 11, Alice peut choisir indifféremment la stratégie 1 ou 2. Dans les deux cas, elle gagne avec une probabilité de1
2 et donc perd avec une probabilité de 1 2.Bob a donc une probabilité de victoire de1
2 s’il obtient 3 au second tour.
Remarque : Dans cette question, on demandait d’expliquer le choix d’Alice. La question est déroutante puisque les stratégies 1 et 2 donnent la même probabilité de victoire.
6. Suivant qu’il choisisse la stratégie 0, 1 ou 2, Bob est en mesure d’obtenir un score allant de 0 à 12 au second tour, soit un total de 8 à 20 sur les deux tours. S’il obtient un score supérieur à 7 au second tour, il dépassera 15 et perdra.
Score de Bob au 2nd tour 0 1 2 3 4 5 6 7 entre 8 et 12
Probabilité de victoire 0 1 6
• Si Bob fait 0 (stratégie 0), Alice est sûre de gagner en jouant un seul dé, donc la probabilité de victoire est nulle.
• Si Bob fait 1, Alice gagnera en faisant un score de 2 à 7, ce qui est réalisé avec une probabilité de 5 6 avec la stratégie 1 (score de 2 à 6), et une probabilité de 1+2+3+4+5+6
36 = 7
112( avec la stratégie 2. Alice suivra donc la stratégie 1 (pour optimiser ses chances de victoire), ce qui donne à Bob une probabilité de victoire de 1−5
6=1 6.
• Si Bob fait 2, on calcule de même que la stratégie 1 est la meilleur pour Alice ; elle gagne alors avec une probabilité de 2
3 (contre5
9 avec la stratégie 2), d’où la probabilité de1
3 de victoire de Bob.
• Les probabilités pour un score de 3 ou 4 ont déjà été calculées dans les questions 3. et 4.
• Pour un score de 5 ou 6 au second tour pour Bob, on calcule que la stratégie 2 est la meilleure pour Alice, avec des probabilités de victoire valant respectivement 5+6
36 =11
36 (Alice doit faire 6 ou 7), et 6
36=1
6 (Alice doit faire 7), d’où les probabilités de victoire de25 36 et5
6 de Bob.
• Enfin, si Bob obtient 7 au second tour, son score total est 15 : ce n’est pas la peine qu’Alice joue son deuxième tour, Bob a déjà gagné !
7. Il est clair que la stratégie 0 est à rejeter, car Bob est alors certain de perdre. Pour déterminer si Bob doit lancer un ou deux dés, il faut calculer la probabilité de victoire dans chacun des deux cas.
S’il choisit la stratégie 1, on obtient le tableau suivant, en imaginant un arbre de choix :
Score obtenu par Bob par la stratégie 1 1 2 3 4 5 6 Probabilité que Bob gagne (Alice optimise
son jeu) Probabilité que Bob gagne en faisant ce
score avec la stratégie 1
1
En faisant la somme de la dernière ligne, on obtient la probabilité que Bob gagne avec la stratégie 1, soit : 14
27≈0,518.
S’il choisit la stratégie 2, on obtient le tableau suivant :
Score obtenu par Bob par la stratégie 2 2 3 4 5 6 7 entre 8 et 12 Probabilité de ce score 1
36 Probabilité que Bob gagne (Alice optimise
son jeu)
Probabilité que Bob gagne en faisant ce score avec la stratégie 2
1
En faisant la somme de la dernière ligne, on obtient la probabilité que Bob gagne avec la stratégie 2, soit : 577
1296≈0,445 On a14
27> 577
1296, donc Bob doit choisir la stratégie 1, s’il veut optimiser ses chances de victoire.
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