1. On réalise un arbre représentant la situation, avec le mâle M1, les femelles F1, F2, F3. On munit l’univers de la loi d’équiprobabilité (tirage au hasard).
Les issues favorables sont {(M1, F1) (M1, F2) (M1, F3) (F1, M1) (F2, M1) (F3, M1)}.
Donc la probabilité cherchée est égale à 6 12=1
2. M1
F1
F1 F2 F3 M1 F2 F3 M1 F1 F3 M1 F1 F2 F2
F3
2. Avec neuf poissons, en commençant un arbre par essais (un mâle, deux mâles . . . ), on découvre une répar-tition possible : 3 mâles et 6 femelles. (Bien sûr 3 femelles et 6 mâles convient).
L’univers est alors constitué de 9×8=72 issues et les issues favorables sont : {(M1, F1) . . . (M1, F6) (M2, F1) . . . (M2, F6) (M3, F1). . . (M3, F6)} et les couples symétriques soit 36 issues favorables.
Ainsi la probabilité de l’événement « avoir deux poissons de sexe différent » est bien égale à 1 2. Autrement : avecxmâles etyfemelles on est conduit àxy=18 etx+y=9 etc.
3. a) En effet, pour que l’événement « obtenir deux poissons de sexe différent » ait une probabilité égale à1 2, il faut que le nombre total de paires de poissons distinctes soit le double du nombre de paires distinctes de sexe différent. Ainsi ce nombre est multiple de 2, donc il est pair.
b) ) Dans le cas de 70 poissons, nous avons 70×69 issues possibles (en tenant compte de l’ordre), soit 70×69
2 =2415 paires distinctes de poissons. (En effet une paire distincte donne deux 2 couples dis-tincts).
2415 n’est pas pair. Donc la probabilité d’avoir deux poissons de sexe différent ne peut pas être égale à 1
2.
4. a) A la vue des exemples précédents, on peut conjecturer que si la propriété (H) est vérifiée alorsnest un carré parfait.
b) Soitnle nombre de poissons. On a doncn(n−1)issues possibles. Soitale nombre de mâles etble nombre de femelles, on aa+b=n.
De plus pour un mâle donné, on a doncbchoix femelles. Ainsi puisqu’on tient compte de l’ordre, on a donc 2abcouples avec deux poissons de sexe différent.
p=1
2 équivaut à 2ab n(n−1)=1
2, c’est-à-dire à 4ab=n(n−1).
Donc si (H) est vérifiée, on a donc 4ab=n(n−1) =n‘2−n. De plusa+b=n.
Ainsi 4ab= (a+b)2−(a+b)équivaut à 4ab=a2+b2+2ab−a−b, c’est-à-dire àa+b= (a?b)2 c’est-à-diren= (a−b)2.nest donc un carré parfait !
c) Réciproquement, soitn un carré parfait. Alorsn=k2. Soita le nombre de mâles etb le nombre de femelles.
A la question précédente, on a montré que : (H) est vérifiée et n =a+b équivaut à a+b=n et n= (a−b)2.
Ainsik2=n= (2a−n)2soitk=2a−nouk=n−2asoita=n+k
2 oua=n−k 2 RETOUR AU SOMMAIRE
TOULOUSE
Troisième exercice
Séries autres que S.
Bracelets
Éléments de solution
Sophie et Martin réalisent des bracelets à partir de morceaux de chaine dont ils peuvent ouvrir et refermer des maillons.
1. Sophie dispose de deux morceaux de chaine comportant chacun trois maillons et d’un autre comportant deux maillons.
Ouvrant les deux maillons du morceau de deux, Sophie les utilise pour relier les deux morceaux de trois.
Elle obtient un bracelet de huit maillons et n’a ouvert et refermé que deux maillons.
2. Martin, lui, dispose uniquement de morceaux de chaine ayant trois maillons.
Il veut en faire des bracelets en ouvrant le moins possible de maillons et en utilisant tous les maillons.
a) Ouvrir les maillons d’un morceau et s’en servir pour relier les trois autres. On obtient un bracelet de douze maillons. C’est le mieux : pour défaire le bracelet et retrouver les maillons, on ouvre un maillon, puis en tournant, un autre après trois maillons, un troisième après trois maillons. On a ouvert trois maillons, il y a trois morceaux, et un quatrième avec les trois maillons ouverts.
b) Avec huit morceaux. Ouvrant les maillons d’un morceau, on relie en chaine quatre morceaux (de douze maillons) ; il reste trois morceaux de trois maillons ; on ouvre les maillons d’un morceau pour relier en bracelet ce qui reste.
c) Avec sept morceaux, le nombre d’ouvertures est le même.
d) Pour un nombre de morceaux multiple de 4 (comme 672) ? soit 4a? on ouvre les maillons dea−1 mor-ceaux pour former un chaine avec 3a−1 morceaux ; avec cette longue chaine, il reste trois morceaux ; trois ouvertures suffisent pour former le bracelet.
Il y a donc 3aouvertures (c’est-à-dire 504 pour l’exemple).
e) • Pour un nombre de morceaux multiple de 4 plus 3 (comme 671, s’agissant de 2013 maillons), ? soit 4a+3 ? on ouvre les maillons deamorceaux pour former un chaine avec 3a+1 morceaux ; avec cette longue chaine, il reste deux morceaux ; trois ouvertures suffisent pour former le bracelet.
Il y a donc 3a+3 ouvertures (c’est-à-dire 504 pour l’exemple).
• Pour un nombre de morceaux multiple de 4 plus 1 (comme 673), ? soit 4a+1 ? on ouvre les maillons deamorceaux pour former un chaine avec 3a+1 morceaux ; cette longue chaine épuise les maillons, on ouvre l’un d’eux pour la fermer en bracelet.
Il y a donc 3a+1 ouvertures (c’est-à-dire 505 pour l’exemple).
• Pour un nombre de morceaux multiple de 4 plus 2 (comme 674, s’agissant de 2022 maillons), ? soit 4a+2 ? on ouvre les maillons deamorceaux pour former une chaine avec 3a+1 morceaux ; avec cette longue chaine, il reste un morceau ; deux ouvertures suffisent pour former le bracelet.
Il y a donc 3a+2 ouvertures (c’est-à-dire 506 pour l’exemple).
Autre proposition d’agencement de la rédaction :
On propose de considérer un bracelet de longueurLobtenu en ouvrant un nombre minimumN de maillons. On distingue donc parmi les maillons du bracelet final ceux qui ont été ouverts pendant la manipulation : pour alléger le discours, on les appelle « de type O », les autres « de type F ».
1. On remarque que sur quatre maillons consécutifs au moins un est de type « O ».
2. On traite seulement le casL>3. Ainsi il y a au moins un « O », dont on se sert comme référence. Quitte à enlever ce « O »on peut travailler avec une ligne de longueurL−1 plutôt qu’un bracelet de longueurL, et vice-versa : il faut simplement ajouter un maillon pour passer de la ligne au bracelet.
La question est devenue « quel est le nombre minimumM=N−1 de maillons de type « O »dans une ligne de longueurL−1 » ?
La réponse est :M=qsiL−1 est écrit sous la forme 4q+r, avecr=0,1,2 ou 3. En effet il faut au minimum ce nombre à cause de la propriété « sur quatre maillons consécutifs au moins un est de type « O » ». Et par ailleurs ce nombre convient en faisant 3F +1O +3F + 1O. . .
AinsiN=q+1
Morceaux 4 8 7 672 671 673 674
Maillons 12 24 21 2016 2013 2019 2022
Nbr ouverts 3 6 6 504 504 505 506
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VERSAILLES
Premier exercice
Série S.