Le but de ce paragraphe est d’établir les équations de propagation du champ électroma-gnétique dans un SOA en présence de CPO. Nous considérons que tous les champs ont des polarisations colinéaires. Nous supposons que le SOA ne guide que le mode TE, dont le profil transversal est noté U(x, y). Le champs se propagent selon la direction longitudinale du SOA orientée selon l’axe z. Dans le cas où tous les champs gardent la même polarisation linéaire, il est possible de montrer à partir des équations de Maxwell que le champ électromagnétique total E vérifie l’équation d’onde scalaire suivante :
∇2E −n 2 op c2 ∂2E ∂2t = 1 ǫ0c2 ∂2P ∂2t, (II.39)
où P est la polarisation non linéaire. Nous rappelons que nopest l’indice de réfraction du SOA, ǫ0la permittivité du vide et c la célérité de la lumière dans le vide. Le champ électromagnétique total E peut s’écrire :
E(x, y, z, t) = U(x, y) X
p=−1,0,1
Ep(z)ei(kpz−ωpt), (II.40)
avec kp la norme du vecteur d’onde. Dans ce chapitre, nous considérons seulement trois champs copropagatifs : une porteuse optique de fréquence ω0, dont l’amplitude lentement variable est notée E0; et les deux bandes latérales de modulation, de fréquences ω±1 = ω0 ± Ω, dont les amplitudes lentement variables sont notées E±1. On décompose de même la polarisation liée au milieu à gain P :
P(x, y, z, t) = U(x, y) X
p=−1,0,1
Pp(z)ei(kpz−ωpt). (II.41) Ces trois équations nous permettent de déduire l’équation d’onde scalaire à une dimension dans le cadre de l’approximation de l’enveloppe lentement variable, en multipliant l’équation (II.39) par le conjugué de U(x, y), et en intégrant sur les dimensions transverses x et y :
dEj
dz = i ωj Γ
où nop est l’indice effectif du mode considéré. Le facteur de confinement Γ prend en compte le fait que Pj = 0 en dehors de la zone active. Comme nous l’avons expliqué dans la partie II.1.b., il est défini comme la fraction de l’aire du mode optique dans la zone active.
Nous nous plaçons au voisinage de la fréquence de la porteuse E0, c’est-à-dire que nous considérons que l’écart en fréquence entre les champs est inférieur ou comparable à la durée de vie spontanée des porteurs τs : Ωτs.1. La polarisation totale P liée au SOA peut s’écrire :
P = ǫ0χ(N )E, (II.43)
avec χ(N) la susceptibilité optique du SOA au voisinage de ω0. Nous avons montré dans la partie II.2 qu’il était alors possible de se placer dans le cadre du modèle phénoménologique, et que la susceptibilité χ(N) était donnée dans ce cas par l’équation (II.32) :
χ(N ) = −nωopc
0 (α + i)g(N), (II.44)
où le gain matériau g(N) est supposé linéaire au voisinage de la densité de porteurs moyenne ¯
N (Eq.(II.31)).
Pour décrire le milieu à gain, nous nous plaçons dans le cadre de l’équation de bilan1, c’est-à-dire que nous ne considérons que les effets de population, et que nous négligeons la dynamique propre des cohérences. Cela est justifié car T2 ≪ τs et T−1
2 ≫ Ω, étant donné que le temps de relaxation des cohérences T2 est de l’ordre de 0, 1 ps (soit T−1
2 /(2π) = 1500 GHz).2 L’équation de bilan décrit les mécanismes par lesquels les porteurs sont générés ou perdus dans la région active [60] : ∂N ∂t = I qV −Nτ s −g(N )|E| 2 ~ω0 + D∇2N, (II.45)
Le premier terme correspond à l’injection de porteurs par le courant de biais du SOA, noté I. Le second terme correspond aux recombinaisons non radiatives et à l’émission spontanée. Le troisième terme correspond à l’émission stimulée, et enfin le dernier terme décrit la diffusion des porteurs. q est la charge de l’électron, V est le volume de la zone active, et D est le coefficient
1. en anglais rate equation.
2. Il est intéressant de remarquer que ces mêmes hypothèses ont été faites pour analyser les CPO dans les milieux atomiques à niveaux discrets, que ce soit lors de la première observation des CPO [78] ou les premières observations de lumière lente dans les cristaux dopés [12]. Le formalisme de la matrice densité qu’introduisent les différents auteurs se réduit de même à une équation de bilan. Ainsi, cela met en évidence que le terme "cohérent" des "oscillations cohérentes de population" peut être trompeur car il ne se réfère pas aux "cohérences" atomiques mais au fait que, comme Sargent l’a décrit dans [77], le battement entre une pompe et une sonde décalés en fréquence par Ω crée des pulsations de population à la fréquence Ω si Ωτs ≪ 1, qui interférent de manière "cohérente" avec la sonde. Cela est à comprendre au sens premier du terme, à savoir que les pulsations de population donnent naissance à des interférences avec la sonde incidente, du fait de l’existence d’une relation de phase définie. En effet nous avons expliqué que le gain vu par la sonde et induit par pulsations de population, est à basse fréquence en opposition de phase avec le battement engendré par la sonde et la pompe (voir la Fig.II.8). Nous avons montré que cela génère un creux spectral dans le gain vu par la sonde, que Sargent nomme alors "creux cohérent" (voir la Fig.II.9). Quelques années plus tard, les pulsations de population générées par ce mécanisme sont nommées “oscillations cohérentes de population” ou CPO. Le premier papier y faisant référence sous ce vocable semble être Lee et al. en 1980 [78]. Le formalisme de la matrice densité, et donc la prise en compte de la dynamique des cohérences atomiques, n’est nécessaire pour étudier les pulsations de population que lorsque l’écart en fréquence Ω entre les différents champs est supérieur ou comparable à T2, ou lorsque l’hypothèse T2≪ T1 n’est plus valable. Cependant les mécanismes en jeu sont alors très différents de celui impliqué dans les CPO. Ils impliquent des processus intrabandes tels que le spectral hole burning. Ces cas sont traités par exemple dans les semi-conducteurs par Agrawal dans [74], et dans les milieux à niveaux discrets par Boyd dans [80].
Equations de propagation en présence de CPO dans un SOA 68
de diffusion. Le gain g(N) peut être supposé identique pour tous les champs puisque l’écart en fréquence entre les différents champs, Ω, est bien inférieur à la bande passante du gain : ΩT2 ≪ 1. La longueur de diffusion √Dτs est de l’ordre de 2 − 3 µm, et donc bien supérieure à la demi-longueur d’onde λ/nop. De plus la diffusion des porteurs dans la dimension transverse est limitée car la largeur de zone active est en générale plus petite que la longueur de diffusion. Ainsi, la densité de porteurs peut être considérée comme spatialement homogène (même en présence d’ondes stationnaires). L’équation de bilan peut donc s’écrire :
dN dt = I qV − Nτ s −g(N ) < |E| > 2 ~ω0 , (II.46)
où < . > correspond à une moyenne sur le volume de la zone active. Afin d’alléger la notation, nous omettrons cette moyenne dans la suite du manuscrit.
Nous considérons à présent que la porteuse optique E0 a une puissance grande par rapport aux bandes latérales de modulation E±1. Ainsi l’intensité optique peut s’écrire :
|E|2= M0(z) + M1(z)e−iΩt+ c.c. (II.47) M0 est la composante continue de l’intensité, et M1 = E0E∗
−1+ E1E∗
0 est le terme de battement entre les champs à la fréquence Ω. (∗) désigne le complexe conjugué. Notons que la fréquence de modulation Ω est typiquement comprise entre 100 kHz à 30 GHz dans ce manuscrit. Comme nous l’avons déjà expliqué, la modulation de l’intensité optique induit des CPO, soit une modulation de la densité de porteurs. Cela est visible directement à partir de l’équation de bilan (II.46). La densité de porteurs s’écrit donc :
N (z, t) = ¯N(z) + N1(z)e−iΩt+ c.c. (II.48) De plus, étant donné que nous supposons le gain matériau g(N) linéaire autour de ¯N (Eq. (II.31)), nous pouvons écrire :
g(z, t) = ¯g(z) + g1(z)e−iΩt+ c.c., (II.49) avec :
¯g(z) = g( ¯N (z)), g1(z) = aN1(z).
Nous avons allégé la notation du gain différentiel par rapport à l’équation (II.31) en remplaçant aN¯ par a, mais gardons à l’esprit que nous avons montré que a dépend de la densité de porteurs moyenne ¯N dans un SOA. En réinjectant les équations (II.47), (II.48) et (II.49) dans l’équation de bilan (II.46), nous obtenons la variation de la densité de porteurs N1 et donc la variation du gain g1 à la fréquence Ω :
g1 = aN1= −¯gM1/Is 1 + M0/Is− iΩτs
, (II.50)
où Is est l’intensité de saturation définie par :
Is= ~ω0
Nous avons ainsi l’expression du gain matériau, ce qui va nous permettre de déduire les équations de propagation dans le SOA.
A partir de l’équation (II.42) et de l’expression du gain matériau déduite de l’équation de bilan (II.46), nous obtenons aisément les équations de propagation pour les composantes E0, E1 et E−1 du champ : dE0 dz = −12γE0+1 − iα 2 Γ¯gE0, dE1 dz = −12γE1+1 − iα 2 (Γ¯gE1+ Γg1E0) , dE−1 dz = −12γE−1+1 − iα 2 (Γ¯gE1+ Γg1∗E0) . (II.52)
Nous avons introduit le coefficient γ afin de prendre en compte les pertes linéiques du SOA, que nous supposons être les mêmes pour les trois composantes du champ compte tenu de leur proximité spectrale.
Il est important de se rappeler que les paramètres suivants dépendent de la densité de porteurs moyenne ¯N :
• le gain différentiel a et le gain matériau moyen ¯g : nous avons en effet montré que l’ap-proximation linéaire du gain matériau par rapport à la densité de porteurs N n’est valable que localement dans un SOA (Eq. (II.31), voir la partie II.2),
• la durée de vie spontanée des porteurs τs: nous avons montré sa dépendance par rapport à la densité de porteurs moyenne ¯N dans l’équation (II.38) (voir le paragraphe II.3), • l’intensité de saturation Is, puisqu’elle dépend de a et τs par définition (Eq.(II.51)). Ainsi, via la densité de porteurs moyenne ¯N , ces paramètres dépendent de z, du courant de biais I et de la puissance optique incidente Pin. Or le courant de biais I et la puissance optique incidente Pin vont varier sur une large gamme dans les expériences que nous décrirons dans la suite de ce manuscrit, puisque ce sont les deux paramètres permettant de contrôler le retard ou le déphasage introduit par CPO. De plus, nous allons utiliser des SOAs fortement saturés, avec de forts gains, ce qui implique de grandes variations longitudinales de la densité de porteurs moyenne. Or, dans la littérature, la plupart des modèles considèrent a, τs et Is comme constants, ce qui limite d’une part la précision du modèle à un courant et une puissance optique incidente donnés, et ce qui limite drastiquement d’autre part les plages de courant de biais et de puissance optique incidente pour lesquelles le modèle est valable. Ainsi, pour développer un modèle valable pour une large plage de courants et de puissances optiques incidentes, il est nécessaire de développer une méthode permettant de connaître a priori les dépendances de la densité de porteurs moyenne ¯N , et donc de a, τs, ¯g et Is, en fonction de z, du courant de biais I et de la puissance optique incidente Pin. Le parti pris n’est évidemment pas de revenir à des modèles plus compliqués tels que celui issu du formalisme de la matrice densité, mais d’essayer de déduire un maximum d’informations grâce à des caractérisations expérimentales préalables facilement réalisables. Le paragraphe suivant explique les méthodes que nous avons mises en œuvre.
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