Aujourd'hui

L'utilisationdesréseauxdePetriaquelquepeudé linéaujourd'huipourlareprésentationmusi ale,

bienquelare her hethéoriqueles on ernantreste viva e.Leslimitationste hniquesdesma hinesdes

année80,interdisantdefaitl'intera tiontempsréelave l'exé utiond'unréseau,maisaussil'absen ede

modèlederéseauxtemporelsélaborésont onduitàleurabandonautournantdesannées90.Cependant,

l'évolutionde esmodèlesthéoriquesdesréseauxtemporelspourraitlesremettreaugoût dujour (etla

suitede e mémoires'enveutlapreuve).

Uneautre appro hede lareprésentationmusi alepourraitremettreen lumièrelesréseauxdePetri.

Nousfaisonsi iréféren eauxtravauxdel'équipeReprésentationMusi aledel'Ir am on ernantl'analyse

musi aleassistéeparordinateur[9℄.Ladémar he onsistei iàdévelopperunemusi ologie omputationelle

àlasuitedetravauxmathématiques(Babbitt,Xénakis...),et detravauxinformatiques omme euxde

Mar elMesnage et AndréRiotte [71℄autour delamodélisationde partitions.Ils'agit des'appuyersur

desoutilsmathématiques (théoriedesgroupes)et d'informatiquethéoriquepouranalyserdespiè es,en

proposerdesmodèles,et éventuellementutiliser esdernierspour omposerdenouvellespiè esdansune

logiqued'analyse ompositionnelle hèreàPierreBoulez[20℄.Or ertainstravauxré entsee tuésdans

e adre fontapparaîtreune utilsation de stru ture de réseaux[3℄ laissantenvisagerune utilisation de

Ordres partiels et réseaux d'o urren es

Commenousl'avonsévoquédansle hapitrepré édent,notreobje tifestd'utiliserunereprésentation

parréseau dePetridelastru turetemporelledespartitions. Cettereprésentationdoit omprendreàla

fois des données quantitatives sur l'ordre des événements, ainsi que les ara téristiques quantitatives

des intervalles séparant es événements. En e qui on erne la représentation d'un ordre partiel entre

desévénements, unestru ture spé iquede réseauxde Petri est parti ulièrement adaptée: les réseaux

d'o urren es.

Dansnotre as,l'utilisateur,qu'ilsoit ompositeuroumusi ien,nemanipulepasdesréseauxdePetri

pourspé ierl'organisationdesapiè e.Ildisposed'unformalismeadaptéàl'e rituremusi alequenous

présentonsdanslapartiesuivante.Par onséquent,latransformationd'unepartitonenréseaudePetrien

vuedesonexé ution,passeparunephasede ompilation.Pourélaborer epro essusdetransformation

etnousassurerqueleréseaud'o uren esproduit représentel'ordretemporeldelapartition,nousnous

appuyonssurlesS-langages.D'abordnousexprimonslesrelationstemporels ontenuesdanslapartition

sousformedeS-langage,puisnous onstruisonsunréseaureprésentant eS-langage.

Dans e hapitre, nous faisons le lien entre réseaux d'o uren es et S-langages. Nous ommençons

par rappeler quelques unes des propriétés des réseaux d'o urren es, puis donnons et démontrons les

opérationspermettantdepasserd'unereprésentationàl'autre.

4.1 Dénition et propriétés

Lesréseauxd'o urren esontétéintroduitsparNielsendans[75℄.Ils'agitderéseauxpla e-transitions

dontlastru tureestquelquepeuparti ulière.

Dénition4.1 Unréseaude Petrimarqué

P N =< R, m0>

estunréseaud'o urren essi:

• ∀p ∈ P : |•p| ≤ 1

• ∀p ∈ P : |•p| = 1 ⇒ m0(p) = 0

• ∀p ∈ P : |•p| = 0 ⇒ m0(p) = 1

• < R, m0>

est quasi-vivant

Lemarquageinitial duréseauestdéterminéparlastru turede e dernier.Ilestd'usage dedésigner

lesupport de emarquage, 'est àdirel'ensembledespla essansprédé esseurs,par

M in(R)

.

Nous rappelonsà présent quelques propriétés immédiates des réseaux d'o urren e dont le le teur

pourratrouverlespreuvesdans[31℄.

Propriété4.1 Un réseau d'o urren es forme ungraphe sans ir uit et haque n÷ud est pré édé d'un

nombreni de n÷uds.

Unepremière onséquen ede ettepropriétéestqu'ilexistetoujoursdansunréseaud'o uren esau

t1

t2

t3

t4

t5

t6

t7

t8 t9

Fig.4.1Unexemplederéseaud'o urren es

Propriété 4.2 Unréseaud'o urren es estunréseausain:

∀m ∈ A(R, m0), ∀p ∈ P, m(p) ≤ 1

De plus, les ve teurs ara téristiquesdes séquen es sont sains i.e, une transition n'apparaît qu'unefois

dansune séquen e defran hissement.

Cesdeuxpropriétés onfèrentauxréseauxd'o urren eunstatutprivilégiépourreprésenterdesordres

partiels entre événements.Enasso iantunévénementàune transition, onestassuré qu'au ours d'une

séquen edefran hissementunévénementseradé len héuneseulefois.

Deplus,lastru tured'unréseaud'o urren espermet de omparersestransitionsdeuxàdeux.

Dénition4.2 Soit

P N =< R, m0>

unréseaud'o urren es, ave

P

sespla es, et

T

ses transitions, soient

x

et

y

deuxn÷udsde

R

(

x, y ∈ P ∪ T

):

• x

pré ède

y

(que l'onnotera

x ≤ y

)si

x ∈∗y

• x

et

y

sont en onit(noté

x♯y

) si:

∃(t_x, ty) ∈ T², tx6= t_y|t_x≤ x, t_y ≤ y,•tx∩•ty 6= ∅

• x

et

y

sont on urrents(

x||y

)sini

x ≤ y

,ni

y ≤ x

,ni

x♯y

Cette lassi ationpeuts'interpréterintuitivement:lapré éden eindiquequ'unetransitionnepeut

êtrefran hieque sil'autre l'aété, le onit traduitl'impossibilitéd'avoirlesdeux transitions dansune

mêmeséquen edefran hissement,ennla on urren eindiquequelestransitionspeuvents'agen erdans

n'importequelordreauseindesséquen esdefran hissements.

Lagure4.1présenteunexemplesimplederéseaud'o urren es.Sur etexemple,outrelesrelations

depré éden eimmédiatementidentiables,onpeutobserverdestransitionsen onit(

t2♯t3

,

t2♯t5

,

t3♯t4

) eten on urren e(

t1||t6

,

t7||t8

...).

On peutvoirdans unréseaud'o urren es,lamodélisation des énariosdedé len hements

d'événe-ments ontenantdes hoix.Eneet,silesnotionsdepré éden eet de on urren espermettent

d'appré-henderdes ordrespartielsentre desévénementsdevantsedéroulerdans unemême exé ution,lanotion

de onitintroduit l'ex lusivitéentredes hoixdedéroulementsdus énario.

Dénition4.3 Soit

R

unréseaud'o urren e,une onguration

C

de

R

estunsous-ensemble de

T

tel que:

• •C ⊂ C•∪ ||M in(R)||

• ∀t1, t2∈ C, ¬(t1♯t2)

Sur l'exemple de la gure 4.1, les ensembles

{t1, t2, t4}

,

{t6, t7, t8}

ou en ore

{t1, t3, t6, t7, t5, t8, t9}

sontdes ongurationsduréseau.

Une onguration est un support d'une séquen e fran hissable. En e sens, si l'on onsidère une

exé utionparti ulièreduréseaud'o urren es,l'ensembledestransitions onstituantunpréxede ette

exé utionformeune ongurationduréseau.

Cettedernièreremarqueestappuyéepardeuxpropriétésimportantesdes ongurations:

Propriété4.3 Soit

R

un réseau d'o urren es et

C

une de ses ongurations, soit

σ = t1. . . tn

une séquen edetransitiondont

C

estlesupport,alors

σ

estuneséquen ede fran hissementsdepuis

m0

ssi:

∀i, j, t_i≤ t_j ⇔ i ≤ j

Propriété4.4 Soit

R

un réseau d'o urren es et

C

une de ses ongurations, soit

σ = t1. . . tn

une séquen ede fran hissementsàpartirde

m0

dont

C

est lesupport. Soit

i ∈ [|1, n|]

:

ti||ti+1⇒ m0[t1. . . ti+1ti. . . tn>

Cesdeuxpropriétéssont lassiquespourdesreprésentationsd'ordrespartiels,lapremièreindiqueque

siune transition en pré èdeune autre, une séquen e defran hissementimpliquant lesdeux transitions

les verra toujours apparaître dans le même ordre, tandis que la se onde propriété indique qu'on peut

permuterdestransitions on urrentesdansuneséquen edefran hissements.

Dans le document Aspects temporels d'un système de partitions musicales interactives pour la composition et l'exécution (Page 60-64)