Fig. 4.36 – Syst`eme de manipulation
traiter les bords du bassin ou `a les filtrer num´eriquement (m´ethodes d’echo − cancelation utilis´ees en traitement de signal).
4.8
Asservissement de la plate-forme
Apr`es avoir valid´e l’asservissement du m´ecanisme de flottaison-magn´etique M F M , nous allons nous int´eresser, dans cette section, `a l’asservissement de la plate-forme compl`ete. L’asservissement des trois axes (d´ecoupl´es sur le mod`ele lin´eaire) x, y et ψ de la plate-forme, d´efinis par les ´equations diff´erentielles 4.2, se fait s´epar´ement en suivant la mˆeme d´emarche qu’on avait suivi pour asservir la position du flot- teur du M F M (voir figure 4.38). Les courants i2 et i3 sont recalcul´es `a partir des
courants iy et iψ avant d’ˆetre inject´es dans le syst`eme.
Dans une optique de validation, nous avons simul´e la r´eponse de la plate-forme boucl´ee `a un ´echelon de couple de 10nN m appliqu´e `a la plate-forme autour de z. La simulation correspond au sch´ema-bloc de la figure 4.38. Elle a ´et´e faite avec le mod`ele non-lin´eaire (M N L) de la plate-forme, pr´esent´e en d´etail au cours du chapitre 3 et appel´e P F sur la figure 4.38. Les estimateurs, quant `a eux, utilisent les trois mod`eles lin´eaires calcul´es `a partir des trois ´equations diff´erentielles 4.2 du syst`eme d´ecoupl´e. La figure 4.39 repr´esente l’´echelon de couple externe simul´e et estim´e bruit´e. La figure 4.40 repr´esente la rotation autour de z de la plate-forme suite `a l’application de l’´echelon de couple.
Nous avons ensuite simul´e la r´eponse de la plate-forme `a un ´echelon de force de 10µN appliqu´e suivant y `a l’instant t = 10s. La simulation a ´et´e faite, dans un premier temps, avec le mod`ele non-lin´eaire (M N L) de la plate-forme appel´ee P F sur la figure 4.38. Cette mˆeme simulation a ´et´e refaite avec le mod`ele lin´eaire de la plate-forme (M L) pr´esent´e en d´etail au cours du chapitre 3.
4.8 Asservissement de la plate-forme 158
Fig. 4.37 – Force mesur´ee et d´eplacement du flotteur
4.8 Asservissement de la plate-forme 159
Fig. 4.39 – Echelon de couple simul´e et estim´e bruit´e
4.8 Asservissement de la plate-forme 160
Fig. 4.41 – Echelon de force simul´e et estim´e
deux forces estim´ees avec les deux mod`eles. On constate une petite diff´erence tol´erable entre les deux trac´es de la force estim´ee en r´egime transitoire. En r´egime stationnaire, les r´eponses des deux mod`eles collent correctement au bruit pr`es. La variance de ce bruit de mesure ajout´e est de l’ordre de 1.25 x 10−12(m2s). La figure 4.42, quant `a elle, repr´esente la r´eponse selon y de la plate-forme `a l’´echelon de force appliqu´e suivant y.
Pour illustrer l’effet du couplage entre les diff´erentes directions de mesure sur la dynamique du syst`eme boucl´e, nous avons simul´e la r´eponse de la plate-forme `a deux ´echelons de force Fxextet Fyext, appliqu´es simultan´ement `a l’instant t = 5s. La simulation a ´et´e faite avec le mod`ele non-lin´eaire de la plate-forme (M N L), pour Fyext = 10 µN et pour diff´erentes valeurs de Fxext (10, 20 et 50 µN ). Rappelons que ce couplage n’est pas mod´elis´e dans les mod`eles lin´eaires utilis´es et qu’il va donc d´egrader la qualit´e de l’estimation des efforts.
Sur la figure 4.43, on a superpos´e les courbes de la force Fyext estim´ee pour les diff´erentes valeurs de Fxext. La diff´erence entre les forces Fyextestim´ees, montre que le couplage entre les diff´erentes directions de mesure pr´esente une influence plutˆot faible sur l’estimation de la force dans ce cas de figure.
La figure 4.44, repr´esente le d´eplacement de la plate-forme dans le plan (xOy) suite `a l’application des ´echelons de force Fyext et Fxext.
4.8 Asservissement de la plate-forme 161
Fig. 4.42 – D´eplacements de la plate-forme suivant y
4.8 Asservissement de la plate-forme 162
Fig. 4.44 – D´eplacements de la plate-forme dans le plan (xOy) pour Fyext = 10 µN et
4.9 Conclusion 163
4.9
Conclusion
Nous avons, au cours de ce chapitre, abord´e la probl´ematique de l’asservissement en position de la plate-forme de mesure de micro et nano force dans le plan (xOy). Dans le but de simplifier la tˆache d’asservissement, nous avons proc´ed´e dans un premier temps au d´ecouplage des trois axes x, y et ψ de la plate-forme. Cela nous a permis ensuite de commander s´epar´ement les axes en se mettant dans le cas d’un syst`eme 1ddl. La validation exp´erimentale de la commande d´evelopp´ee a ´et´e effectu´ee sur le prototype exp´erimental du m´ecanisme de flottaison-magn´etique M F M .
Dans le but de donner un aspect p´edagogique `a ce chapitre, nous avons choisi une m´ethode d’asservissement tr`es simple par placement de pˆoles. Nous avons choisi pour la mˆeme raison d’estimer la force externe Fext (entr´ee inconnue) `a l’aide d’une «d´econvolution» par placement de pˆoles. Cela nous a permis d’illus- trer l’influence des bruits de mesure induits par les capteurs de position ainsi que l’influence du bruit de boucle induit par la commande i du syst`eme boucl´e qui est tr`es perturbatrice pour l’estimation de la force externe. Un moyen pour resoudre ce probl`eme consiste `a rendre l’estimateur moins sensible `a ces bruits en pla¸cant diff´eremment ses pˆoles dans le plan s sans oublier que cela se fait au prix de la stabilit´e de l’estimateur lui mˆeme.
En conclusion, ce chapitre fait ressentir le besoin d’une approche plus aboutie conditionn´ee par deux contraintes : tout d’abord, il faut que, pour les incertitudes du mod`ele ˆG du processus `a asservir et pour le bruit de boucle induit par i, on puisse d´eterminer un estimateur robuste stable pour l’estimation de la force ex- terne ainsi que le vecteur d’´etat du syst`eme indispensable `a l’impl´ementation de la commande par retour d’´etat ; Ensuite, la loi de commande optimale doit stabli- ser le syst`eme incertain en boucle ferm´ee pour toutes les incertitudes admissibles connues.
Ce type de commande peut d´ecouler d’une minimisation d’un crit`ere lin´eaire qua- dratique qui est souvent de type ´energ´etique. Le but ´etant d’amener le syst`eme d’un ´etat initial donn´e `a un certain ´etat final, en respectant ´eventuellement cer- tains crit`eres.
Il existe un certain nombre de m´ethodologies de synth`ese de correcteurs lin´eaires optimaux. Certaines sont bas´ees sur les sp´ecifications fr´equentielles des perfor- mances de l’asservissement comme la synth`ese par placement de pˆole avec calibrage des fonctions de sensibilit´e, la synth`ese H∞ et la synth`ese µ. D’autres sont bas´ees
sur les sp´ecifications temporelles des performances de l’asservissement comme la synth`ese LQG et la synth`ese H2.
Sans contester un instant l’int´erˆet de la th´eorie H∞, nous avons d´ecid´e dans le
4.9 Conclusion 164
dans le domaine temporel en choisissant la commande robuste par synth`ese H2.
Cette commande qui suppose une connaissance a priori d’informations sur les entr´ees inconnues et les perturbations du syst`eme va pr´esenter de nombreux avan- tages pour notre capteur :
– performances dynamiques et statiques ;
– faible sensibilit´e aux variations des param`etres du mod`ele et aux bruits de me- sure ;
– facilit´e de r´eglage du contrˆoleur et de l’estimateur `a l’aide de deux scalaires To
et Tcrepr´esentant des horizons de filtrage et de commande.
Chapitre 5
Asservissement de la
plate-forme par synth`ese H2
Un obstacle `a une reconstruction satisfaisante de la force tient aux bruits de me- sure et aux erreurs de mod´elisation qui d´egradent les performances des capteurs de force. Ce probl`eme se pose que le capteur fonctionne en mode actif ou passif (commande nulle). Un cadre naturel pour traiter ce probl`eme est celui de l’esti- mation optimale dans le cadre lin´eaire qui est associ´e au Filtrage de Kalman. Ce chapitre explicite comment mettre en oeuvre un tel filtre. Dans le cas de figure o`u le capteur fonctionne en mode actif, cette mise en oeuvre aboutit `a une commande par synth`ese H2.