Aspects th´eoriques : consistance et normalit´e asymptotique ?

Les propri´et´es asymptotiques de l’EMV dans le cadre d’observations d´ependantes ont ´et´e abondamment ´etudi´ees depuis le milieu des ann´ees 1970. En particulier l’article de Sweeting [Swe80] donne un jeu de conditions suffisantes pour garantir la consistance et la normalit´e asymptotiques de l’EMV des param`etres d’un processus stochastique. Ces conditions tr`es g´en´erales (Growth and convergence ”C1” et Continuity ”C2” dans [Swe80], p.1376) portent sur le comportement asymptotique des matrices d’information empiriques lorsque le nombre d’observations augmente.

Les conditions de [Swe80] sont formul´ees d’une mani`ere assez abstraite ; l’information th´eorique de Fisher n’y apparaˆıt d’ailleurs que comme un cas particulier dans le rˆole de limite de l’information empirique. L’article de Mardia et Marshall [MM84] apporte quant `a lui un regard plus sp´ecifique aux applications en statistique spatiale et propose deux reformulations relativement simplifi´ees des conditions suffisantes de consistance et normalit´e asymptotiques ´enonc´ees dans [Swe80]. La premi`ere de ces reformulations consiste en les trois points suivants :

1. Continuit´e : noyau de covarianceC2 _{en ψ sur le domaine Ψ (∀x, y ∈ D)}

2. Information croissante :_In−1 _{→ 0}P

3. Convergence de l’information empirique :I−12

n Jn−1I −1

2

n → IP

Le th´eor`eme 1 de [MM84] ´etablit que les trois conditions ci-dessus sont suffisantes pour que la relation ψ_n∗ ≈ N (ψL 0_,I

n(ψ0)) rencontr´ee dans le cas i.i.d. reste valable. La conver-

gence de l’information (point 2) signifie que la plus petite valeur propre de_Intend vers

+_{∞, i.e. que l’´echantillon consid´er´e devient infiniment informatif au sujet de tous les} param`etres du mod`ele. Remarquons d’autre part que le point 3 peut ˆetre remplac´e par une condition de convergence en moyenne quadratique (puisqu’elle est plus forte que la convergence en probabilit´e), i.e. lim E

 ||I−12 n Jn−1I −1 2 n − I||2  = 0. Suivant ([MM84], p. 138), cette derni`ere s’´ecrit aussi sous la forme d´evelopp´ee

lim p X i,j,k,l=1 InkiInljtr  KkjKKliK= 0, (5.39) o`u _{∀i, j ∈ [1, p], I}nij = (In−1)ij et Kij = _∂K ψ ∂ψ (ψ0)  ij. Le lecteur non-sp´ecialiste de ce

sujet conviendra ais´ement qu’il n’est pas ´evident de se faire une intuition sur la base de l’´eq. 5.39. Le deuxi`eme th´eor`eme issu de [MM84] —qui constitue le coeur de l’article en

question— donne un jeu de conditions ´equivalentes, vraisemblablement plus propices `a l’interpr´etation qualitative :

Deuxi`eme th´eor`eme de Mardia & Marshall ([MM84], p.139). Soient λ1≤ . . . ≤ λn les valeurs propres ordonn´ees de K, et soient λik et λ

ij k (k =

1, . . . , n) celles, ordonn´ees selon les modules croissants, des matrices d´eriv´ees premi`ere et seconde Ki et Ki,j (1 ≤ i, j ≤ p). Si les conditions suivantes sont

remplies pour n_{→ +∞ :}

1. _{∀i, j ∈ [1, p], lim λ}n= C <∞, lim |λin| = Ci <∞, lim |λijn| = Cij <∞

2. _{∀i ∈ [1, p], ||K}i||−2 = O(n− 1 2−δ) avec δ > 0, 3. _{∀i, j ∈ [1, p], a}ij = lim n_t ij titj o1 2 existe, o`u tij = tr K−1KiK−1Kj
, et la matrice A = (aij)_i,j∈[1,p] est inversible,

alors l’EMV est consistant et asymptotiquement normal, avec ψ_n∗ ≈L N (ψ0_,I

n(ψ0)).

Remarquons que la condition 3 revient `a l’existence d’une matrice de corr´elation asymp- totique pour l’EMV, et que les conditions 2 et 1 imposent respectivement que l’informa- tion croisse, et que le rythme de cette croissance soit suffisamment rapide —en ´evitant les situations pathologiques avec accumulation d’observations de moins en moins infor- matives `a l’infini. Ce r´esultat permet par exemple `a Mardia et Marshall d’´enoncer des conditions tr`es simples pour le cas particulier d’un treillis r´egulier ([MM84], section 4). Ces mˆeme auteurs proposent ensuite une ´etude exp´erimentale par simulation num´erique (section 5) ; elle illustre le fait que l’approximation asymptotique est d´ej`a plutˆot satisfai- sante pour des r´ealisations de processus gaussiens bi-dimensionnels isotropes (4 exemples avec diff´erents noyaux) observ´es sur une grille 10<sub>× 10 (n = 100), et que la variance</sub> asymptotique constitue mˆeme souvent une approximation grossi`ere mais acceptable (de la variance observ´ee) lorsque le plan d’exp´eriences est une grille 6_{× 6 (n = 36).}

Partant du fait que l’inverse de la matrice d’information de Fisher est commun´ement utilis´ee comme approximation de la matrice de covariance de l’EMV, l’article de Abt et Welch [AW98] propose quelques d´eveloppements th´eoriques et des ´etudes par simulation num´erique, visant `a ´evaluer la pertinence et la qualit´e de cette approximation dans le cas o`u le domaine d’observation est compact et o`u la taille de l’´echantillon augmente par densification du nombre d’observations au sein de ce domaine (infill asymptotics). Ils cal- culent les matrices d’information de Fisher et leurs inverses pour des vecteurs al´eatoires

issus de processus gaussiens avec diff´erents noyaux de covariance (calculs explicites de l’inverse de la matrice d’information pour les noyaux de covariance triangulaire et expo- nentiel ; approximations dans le cas gaussien), et montrent que —pour que les param`etres soient identifiables— l’EMV est consistant sous des asymptotiques infill.

Si les r´esultats asymptotiques sont indiscutables, les exemples produits par les auteurs pour d´emontrer l’applicabilit´e de l’approximation asymptotique dans le cas d’un pe- tit nombre d’observations sont tr`es partiels ; nous reviendrons sur ce point important dans la section suivante. Dans le mˆeme registre, Abt d´eveloppe dans un article de 1999 [Abt99] une approximation de la variance de Krigeage prenant en compte l’estimation des param`etres de covariance. Cette derni`ere permet de pallier au moins partiellement la sous-estimation notoire de la variance de Krigeage ”classique”. Mˆeme si les r´esultats ob- tenus permettent effectivement d’affiner la connaissance de l’erreur quadratique moyenne de pr´ediction, ils reposent sur l’approximation asymptotique gaussienne maintenant bien connue. Or, comme le souligne l’auteur avec honnˆetet´e dans la conclusion de l’article, utiliser l’approximation gaussienne non-biais´ee avec variance asymptotique dans les cas pratiques peut fort bien ˆetre grossier, voire abusif. Nous pr´esentons dans la section sui- vante une analyse de r´esultats obtenus par simulation au sujet de la loi effective de l’EMV avec tr`es peu d’observations et leur comparaison avec l’approximation asymptotique.