7.2 Noyaux pour le krigeage de fonctions sym´etriques
7.2.3 Application : Krigeage avec noyau sym´etris´e
Nous pr´esentons maintenant les r´esultats d’une toute premi`ere exp´erience illustrant le Krigeage de fonctions sym´etriques. L’application ´etudi´ee est la fonction de Branin sym´etris´e yBHS introduite ci-avant, et les techniques compar´ees s’inspirent `a la fois des
m´ethodes mises en oeuvre dans la premi`ere section de ce chapitre sur l’approximation du code Moret, et des r´esultats th´eoriques sur les noyaux des processus `a r´ealisations sym´etriques pr´esent´es dans la section pr´ec´edente.
Le point de d´epart est le suivant : on observe yBHS sur un plan X `a 9 points obtenu par
tirages ind´ependants selon la loi uniforme sur le carr´e unit´e, et on essaye de reconstruire la fonction par cinq m´ethodes diff´erentes. Les surfaces de r´eponse obtenues sont alors ´evalu´ees sur une grille r´eguli`ere T `a 21× 21 ´el´ements, et on calcule pour chacune d’entre elles l’erreur quadratique moyenne d’approximation
EQMi := 1 441 X x∈T (yBHS(x)− mi(x))2 (1≤ i ≤ 5),
o`u les mi sont les moyennes de Krigeage respectives. Ces derni`eres sont con¸cues selon
1. m1 correspond `a un krigeage ordinaire de yBHS avec noyau gaussien anisotrope,
sur la base du plan d’exp´eriences X `a 9 points. Les param`etres de covariance sont estim´es `a partir des observations faites en X.
2. m2 correspond `a un krigeage ordinaire de yBHS avec noyau gaussien anisotrope,
sur la base du plan d’exp´eriences Xsym `a 18 points, sym´etris´e de X par rapport
`
a la premi`ere bissectrice. Les param`etres de covariance sont estim´es `a partir des observations faites en Xsym.
3. m3 correspond `a un krigeage ordinaire de yBHS avec noyau gaussien anisotrope,
fait sur la base de la restriction X′sym du plan d’exp´eriences Xsym `a un demi-plan
(domaine fondamental de Φsym1), et resym´etris´e a posteriori (les points de T sont
si besoin sym´etris´es `a l’´etape des pr´edictions par Krigeage). Les param`etres de covariance sont estim´es `a partir des observations faites en X′sym.
4. m4 correspond `a un krigeage ordinaire de yBHS avec le noyau Beta, sur la base du
plan d’exp´eriences X `a 9 points. Le noyau Beta est exactement le noyau somme de l’´equation 7.12 ci-dessus, dont les param`etres de covariance sont estim´es `a partir des observations faites en X (fix´ees pour le moment aux valeurs obtenues lors de la construction de m1).
5. m5 correspond `a un krigeage ordinaire de yBHS avec le noyau Alpha, sur la base
du plan d’exp´eriences X `a 9 points. Le noyau Alpha est une composition du noyau gaussien anisotrope kg avec le projecteur RAc
1 sur le syst`eme de repr´esentants Ac1 ={x = (x1, x2)| x1≥ x2}, i.e. ∀x, x′∈ [0, 1]2, kα(x, x′) = kg(RAc
1(x), RAc1(x′)). Les param`etres de covariance sont ici aussi fix´es —pour des raisons pratiques temporaires— aux valeurs obtenues lors de la construction de m1.
Fig.7.10 – Fonction de Branin sym´etris´ee avec le plan X `a 9 points, puis le plan Xsym
sym´etris´e de X par rapport au mˆeme axe que la fonction de Branin sym´etris´ee
Fig.7.11 – Krigeage sur la base du plan X de Branin sym´etris´ee (m1), avec covariance
Fig.7.12 – Krigeage sur la base du plan Xsymde Branin sym´etris´ee (m2), avec covariance
gaussienne. EQM2 : 694.11
Fig.7.13 – Krigeage sur la base du projet´e du plan X sur{x1 ≥ x2} de Branin sym´etris´ee
Fig.7.14 – Krigeage sur la base du plan X de Branin sym´etris´ee, avec covariance gaus- sienne somme (m4). EQM4 : 330.21
Fig.7.15 – Krigeage sur la base du plan X de Branin sym´etris´ee, avec covariance gaus- sienne en projection sur le domaine fondamental{x1≤ x2} (m5). EQM5 : 297.61
Mod`ele Sym´etries Plan Sp´ecificit´es EQM m1 Non X noyau gaussien anisotrope 820.93
m2 Oui Xsym — 694.11
m3 Oui P (X) P : projection sur un domaine fondamental 544.83
m4 Oui X Noyau somme sur les orbites de Φ 330.31
m5 Oui X Noyau incluant P 297.61
Tab. 7.3 – Comparaison des mod`eles de Krigeage pour l’approximation de yBHS
Ce premier essai est tout `a fait encourageant pour le d´eveloppement et l’utilisation de mod`eles de Krigeage incorporant des sym´etries, et plus g´en´eralement des invariances par action de groupe. Si une sym´etrisation du plan d’exp´eriences (Xsym Cf. 7.12) a pu
ici sensiblement am´eliorer la pr´ecision des pr´edictions compar´ees `a celles d’un Krigeage construit sur la base du plan X (Cf. 7.11), les r´esultats r´esum´es dans le tableau 7.3 indiquent que les m´ethodes propos´ees dans cette section permettent de tirer encore davantage profit de la connaissance a priori concernant les invariances de la fonction ´etudi´ee. Malgr´e certaines similarit´es apparaissant respectivement entre 7.12 & 7.14 et 7.13 & 7.2.3, l’approche par sym´etrisation du noyau semble ˆetre porteuse d’informations additionnelles sur la fonction invariante ´etudi´ee, notamment ici en ce qui concerne son comportement autour de l’axe de sym´etrie. Remarquons au sujet de la conception du noyau Alpha, composition d’un noyau stationnaire avec un projecteur, que le domaine fondamental Ac1 choisi n’est pas arbitraire : simuler un processus anisotrope sur Ac1 puis sym´etriser n’est pas ´equivalent `a faire de mˆeme en se basant sur A1; en quelque sorte,
l’anisotropie et la sym´etrie ne commutent pas ! Ce deuxi`eme noyau —exp´erience non repr´esent´ee ici— donnerait en fait un EQM de 753.45. Cela n’empˆeche bien entendu nullement les deux noyaux d’ˆetre invariants `a gauche et `a droite par l’action Φsym1. Pour revenir sur le bilan g´en´eral de l’approximation de la fonction de Branin sym´etris´ee par Krigeage, il ne faut pas oublier qu’il s’agit ici d’une premi`ere illustration, et que les r´esultats positifs obtenus m´eriteraient d’ˆetre confirm´es (et ´etendus) dans le cadre d’applications ult´erieures. Le simulateur MORET s’y prˆete particuli`erement bien, et une ´etude est en cours pour d´efinir un noyau permettant de prendre en compte les sym´etries du kef f, i.e. `a la fois sa 2π-p´eriodicit´e en chacune des variables, et son invariance par
rotations d’angles {kπ2, 1 ≤ k ≤ 3} et retournement du syst`eme de crayons —non pris en compte au d´ebut de ce chapitre. Ces huit derni`eres invariances sont en fait directement reli´ees `a une action du groupe di´edral D8, dit aussi groupe du carr´e (groupe