10.2 R´esultats
10.2.7 Arguments quantitatifs
Nous avons r´ealis´e un calcul de dynamique en fonction de la longueur de diffusion
atome-atome pour ce syst`eme. Nous nous placerons `a une ´energie de collision Ecoll =
1 mK. A cette ´energie, nous avons v´erifi´e que nous ´etions dans le r´egime de Wigner
(si on proc`ede `a un calcul de dynamique `aEcoll = 1µK, nous obtenons le mˆeme taux
in´elastique qu’`aEcoll = 1 mK). Nous avons obtenus les matricesK, Set Tpour des
valeurs deαcomprises entre 1.001a0 et 5a0, ce qui correspond `a des valeurs deaa−a
comprises entre−989a0 et 15a0. Nous avons regard´e la convergence pourα = 5a0.
Nous avons propag´e la matriceZ jusqu’`aρm = 100 a0. Nous avons bien v´erifi´e qu’`a
des distances ρm = 150a0 et 200a0, on obtenait les mˆemes r´esultats. Pour la DVR,
nous avons utilis´e np = 400 points de Gauss–Legendre compris entre ω = [0, π/3],
ce qui correspond en fait `a np/2 = 200 points entre ω = [0, π/6]. Le nombre de
secteurs choisis est ns = 4000. Le crit`ere de convergence choisi est une convergence
`a au moins deux chiffres significatifs. Nous avons utilis´e les mˆemes crit`eres pour des
param`etresαinf´erieurs sachant qu’il est plus difficile de faire converger lesα grands
que les α petits.
Taux de collision
Nous avons obtenu des taux de collision pouraa−a compris entre −989 a0 et 15 a0.
Au-del`a, il faudrait utiliser plus de secteurs pour converger les taux.
Longueur de diffusion atome-atome n´egative Les taux de collision en
fonc-tion de la longueur de diffusionaa−a n´egative sont pr´esent´es sur la figure 10.14 pour
une ´energie de collision fix´ee `a 1 mK. Nous avons v´erifi´e que nous ´etions dans le
r´egime de Wigner, car pour des ´energies de collision plus basses, on trouve le mˆeme
taux in´elastique. Il faut donc comparer les taux `a la longueur de diffusion positive
en prenant comme r´ef´erence ceux `a longueur de diffusion n´egative.
Pour les bosons, les taux ´elastiques et in´elastiques sont du mˆeme ordre pourvi = 4 et
5. L’in´elastique est l´eg`erement sup´erieur `a l’´elastique pour vi = 4, alors que c’est le
contraire pourvi = 5. Les taux n’´evoluent pas avecaa−a dans cette zone-l`a. Lorsque
aa−a s’approche de z´ero, ils commencent `a varier.
Pour les fermions, les taux in´elastiques sont tr`es bas compar´es aux taux ´elastiques.
Ceci est dˆu au fait que nous utilisons un mod`ele colin´eaire. On ne peut donc pas
les comparer avec les taux caract´eristiques obtenus avec le formalisme exact `a 3D.
Dans le cas de ce dernier, toutes les approches de l’atome collisionnel sont possibles,
ce qui n’est pas le cas dans le mod`ele colin´eaire qui est beaucoup plus strict, surtout
pour les fermions. L`a encore, il n’ y a pas d’´evolution avec la longueur de diffusion.
On a pr´esent´e sur la figure 10.15 l’´evolution des taux en fonction de vi pour une
longueur de diffusion n´egative aa−a = −89 a0 (α = 1.01 a0). On voit bien que les
taux in´elastiques sont plus bas que les taux ´elastiques dans presque tous les cas.
Il faut bien penser qu’il n’y a pas de structure rotationnelle ici, on a uniquement
la structure vibrationnelle. Les niveaux ´energ´etiques sont donc plus ´eloign´es que
dans le cas 3D (car les niveaux rotationnels sont beaucoup plus rapproch´es que les
niveaux vibrationnels). On a ´egalement peu de niveaux de la diatomique, donc peu
-900 -800 -700 -600 -500 -400 -300 -200 -100 0
aa-a (a0)
10-14
10-13
10-12
10-11
10-10
10-9
K (cm
3 .s
-1 )
F : élastique
F : inélastique
B : élastique
B : inélastique
(a) vi= 5
-900 -800 -700 -600 -500 -400 -300 -200 -100 0
aa-a (a0)
10-14
10-13
10-12
10-11
10-10
10-9
K (cm
3 .s
-1 )
F : élastique
F : inélastique
B : élastique
B : inélastique
(b)vi= 4
Fig. 10.14 – Taux de collision en fonction de la longueur de diffusion atome-atome.
Vue d’ensemble.
0 1 2 3 4 5
vi
10-13
10-12
10-11
10-10
10-9
K (cm
3 .s
-1 )
B : élastique
B : inélastique
(a) Bosons
0 1 2 3 4 5
vi
10-14
10-13
10-12
10-11
10-10
10-9
K (cm
3 .s
-1 )
F : élastique
F : inélastique
(b) Fermions
de niveaux possibles de relaxation. Il est donc plus difficile d’avoir des processus
in´elastiques dans ce cas-l`a, ce qui explique les faibles taux in´elastiques rencontr´es.
Pour les fermions, il est int´eressant de signaler que le rapport τ =Kel/Kin semble
ˆetre constant pour vi = [0,4] et il augmente pour vi = 5. Il faut donc regarder
l’´evolution de ce rapport τ en fonction de la longueur de diffusion. On remarque
que, comme pour dans le cas du formalisme exact en 3D pour Li3 et Na3, on observe
la d´epl´etion caract´eristique des taux in´elastiques pour le dernier niveau vibrationnel
initial de la diatomique et aussi bien pour les bosons que pour les fermions.
Longueur de diffusion atome-atome positive La figure 10.16 pr´esente les taux
de collision quand aa−a est positif.
Pour les bosons, lorsque que aa−a augmente, les taux ´elastiques et in´elastiques
res-tent encore du mˆeme ordre de grandeur pour le dernier niveau vibrationnel. Ils ont
cependant diminu´e, compar´es au cas o`u la longueur de diffusion est n´egative. Nous
avons des r´esultats similaires pour l’avant dernier vibrationnel. Il n’y a donc pas de
suppression des collisions in´elastiques.
Pour les fermions, pour le dernier niveau vibrationnel, bien que l’on parte de taux
in´elastiques tr`es bas, ils diminuent encore plus quand la longueur de diffusion
aug-mente. Les taux ´elastiques eux augmentent. On obtient donc un d´ebut de suppression
des effets in´elastiques, contrairement aux bosons. Si on compare avec l’avant dernier
niveau vibrationnel, les taux in´elastiques diminuent tr`es l´eg`erement, mais ensuite
augmentent pendant que les taux ´elastiques diminuent. A un moment donn´e, les
taux in´elastiques peuvent ˆetre du mˆeme ordre de grandeur que les taux ´elastiques.
Il n’y a donc pas de suppression. Il faudrait obtenir les taux pour des longueurs de
diffusion plus grande pour pouvoir confirmer ces observations.
On observe des formes correspondant `a des r´esonances sur ces deux figures. Elles
sont probablement dues `a des ´etats virtuels, comme dans l’´etude de la sensibilit´e du
terme `a trois corps [77]. Ici ce serait une ´etude de sensibilit´e par rapport aux termes
`a deux corps, car il n’y a pas de terme `a trois corps.
Longueur de diffusion atome-diatome
On peut estimer le comportement du module de la longueur de diffusion
atome-diatome pond´er´ee˜aa−d=aa−d/d quand α→ aa−a etaa−a ≫rm (c’est-`a-dire quand
aa−a est tr`es grand) :
|˜aa−d| ≃ρ∗ ≃1.777 (rm+aa−a)≃1.777 aa−a, (10.23)
pour les fermions car on peut consid´erer que la barri`ere r´epulsive agit en premi`ere
approximation comme une barri`ere infinie au point tournant ρ∗ quand l’´energie de
collision est tr`es petite. Si on consid`ere que l’on a un probl`eme `a un seul canal (le
canal ´elastique), ce qui est justifi´e pour les fermions, car il n’y a plus de processus
in´elastiques `a grande longueur de diffusion, un tel potentiel donnerait une longueur
-20 -10 0 10 20
aa-a (a0)
10-18
10-17
10-16
10-15
10-14
10-13
10-12
10-11
10-10
10-9
K (cm
3 .s
-1 )
F : élastique
F : inélastique
B : élastique
B : inélastique
(a)vi=5
-20 -10 0 10 20
aa-a (a0)
10-13
10-12
10-11
10-10
10-9
K (cm
3 .s
-1 )
F : élastique
F : inélastique
B : élastique
B : inélastique
(b) vi=4
de diffusion ´egale au point tournant. D’o`u la relation attendue en (10.23). Le module
de la longueur de diffusion atome-diatome est donc donn´e par :
|aa−d| ≃ π6 aa−a ≃1.91aa−a. (10.24)
On rappelle que cette formule n’est valable que lorsque aa−a est tr`es grand.
-20 -10 0 10 20
aa-a (a0)
0
10
20
30
40
|
a a-d
| (
a 0
)
Fermions
Bosons
| aa-d | = (6/π) aa-a
vi=5
Fig. 10.17 – Module de la longueur de diffusion atome-diatome en fonction de
lon-gueur de diffusion atome-atome, issu du calcul num´erique. On a report´e la relation
lin´eaire estim´ee entre |aa−d| etaa−a.
La figure 10.17 pr´esente le module de la longueur de diffusion atome-diatome en
fonction de la longueur de diffusion atome-atome. Pour les bosons, on a un
com-portement quelconque (on obtient un comcom-portement similaire `a la figure 5 de [77])
Pour les fermions, on obtient le comportement lin´eaire estim´e en (10.24) quand la
longueur de diffusion atome-atome est grande. On ne devrait pas s’attendre `a ce
comportement, car l’estimation de cette relation de proportionnalit´e n’est a priori
valable que quand aa−a est tr`es grand (au moins aa−a ≫rm). Ce qui est ´etonnant,
c’est que l’on obtient ce comportement, mˆeme pour des longueurs de diffusion de
l’ordre de rm (= 2 r0).
Petrov et al. [81, 82] trouvent une relation entre |aa−d| et aa−a :
Ils utilisent un pseudo-potentiel de port´ee nulle (r0=0). Dans cette approche, il
n’existe qu’un seul ´etat li´e de la diatomique et donc pas de relaxation possible.
Pe-trov et al. ´etudient cependant un processus de type F + F’F o`u un des trois fermions
est diff´erent, ce qui n’est pas le cas ici o`u on ´etudie un processus de type F + FF
avec trois atomes identiques. Comme 6/πest un facteurg´eom´etrique(´egal `a l’inverse
de la position du noeud de la fonction adiabatique fermionique pour trois atomes
identiques), on peut s’attendre `a ce qu’il soit diff´erent pour une collision de type F
+ F’F et que la relation (10.24) soit chang´ee.
La formule (10.24) semble ˆetre ´egalement applicable au formalisme 3D, car le
mat-ching entre coordonn´ees de Delves–Fock et Jacobi pond´er´ees (en 3D) est le mˆeme
que celui que nous avons utilis´e dans ce mod`ele colin´eaire.
D’apr`es nos r´esultats, mˆeme pour un potentiel de port´ee non nulle (mais pas trop
grande), on obtient la relation de proportionnalit´e (10.24) `a partir de longueurs de
diffusion atome-atome pas trop grande (aa−a≃13a0 pourrm = 12a0). Il semblerait
qu’il y ait deux type de comportement de la longueur de diffusion atome-diatome
lorsque la longueur de diffusion atome-atome (en valeur absolue) est grande pour un
syst`eme compos´e d’atomes fermioniques. Lorsque aa−a est grande et n´egative, aa−d
est constante et lorsqueaa−a est grande et positive,aa−d est proportionnelle `aaa−a.
Dans le document
Étude quantique de collisions moléculaires à ultra-basse énergie : applications aux alcalins et alcalino-terreux
(Page 170-177)