Pour une description complète de l’algorithme de radiosité, et en particulier des techniques pour calculer les facteurs de forme et des méthodes itératives pour procéder aux échanges lumi-neux, il est utile de se référer à l’ouvrage de Sillion et al. [SP94].
3.3. Approche de type radiosité
3.3.1 Principe de l’algorithme de radiosité
3.3.1.1 Décomposition en éléments finis
L’algorithme de radiosité est basé sur la méthode des éléments finis : il nécessite de subdi-viser la scène en éléments de surface, ou facettes, de taille suffisamment petite pour pouvoir considérer qu’ils émettent une radiosité uniforme en tout point. La méthode consiste alors à calculer les inter-réflexions, c’est-à-dire les échanges énergétiques entre toutes ces surfaces élé-mentaires.
3.3.1.2 Calcul de l’éclairement direct
La première étape consiste à calculer, pour chacune des facettes, l’éclairement direct reçu de chaque source lumineuse, dite primaire, d’après l’équation 3.5. Cette phase préliminaire fournit
une première approximation, généralement grossière5, de l’éclairage global de la scène.
3.3.1.3 Calcul des inter-réflexions
La deuxième phase consiste à calculer les inter-réflexions, c’est-à-dire les échanges lumi-neux entre les facettes. La technique la plus classique est le processus itératif de Southwell : à chaque étape, l’élément de surface le plus énergétique devient lui-même une source dite secon-daire, et la part réfléchie de l’énergie qu’il a reçue jusque-là est distribuée à toutes les autres facettes. Chaque échange énergétique fait intervenir un coefficient appelé facteur de forme, qui permet de tenir compte de la position relative et de la géométrie des facettes, ainsi que des
oc-cultations éventuelles par d’autres objets de la scène. Le facteur de forme Fij entre les éléments
de surface Ai et Aj, qui correspond à la fraction du flux quittant Ai qui est interceptée par Aj,
s’exprime par une double intégrale :
Fij = 1 Aj Z Ai Z Aj cos θi cos θj π d2 ij vijdAidAj (3.15)
où θi et θj sont les angles respectifs entre la normale à une facette et la direction vers l’autre,
et dij est la distance entre les deux (figure 3.5). Le coefficient vij est égal à 1 si les éléments de
surface considérés sont mutuellement visibles ; en cas d’occultation, vij est nul. L’étape de
dis-tribution est répétée jusqu’à ce que l’énergie résiduelle dans la scène soit négligeable comparée à l’énergie due à l’émission directe des sources, ou que la différence entre deux itérations soit devenue imperceptible (ce qui nécessite la définition d’un critère perceptif).
3.3.1.4 Visualisation
À l’issue du processus, on dispose de la luminance en tout point de la scène. Il suffit alors, pour produire l’image d’un point de vue donné, de procéder à un simple lancer de rayon pour trouver la facette vue à travers chaque pixel, et en déduire la luminance correspondante. Si la
5. Le calcul de l’éclairement direct peut être suffisant dans des scènes ouvertes où les inter-réflexions sont négligeables.
dΑi ni θi dij dΑj nj θj
FIG. 3.5 – Illustration des paramètres pour le calcul des facteurs de forme.
complexité géométrique de la scène le permet (s’il n’y a pas trop de facettes), une visualisation interactive est ainsi possible.
3.3.1.5 Hypothèses
Historiquement, l’algorithme repose sur trois hypothèses fondamentales : – les sources sont ponctuelles ;
– les surfaces sont lambertiennes, c’est-à-dire qu’elles réfléchissent la lumière de manière diffuse (leur luminance est indépendante de la direction de réflexion) ;
– il n’y a pas d’interaction de la lumière avec le milieu.
3.3.2 Extension aux milieux participants
L’extension de l’algorithme de radiosité pour prendre en compte les milieux diffusants (plus couramment appelés milieux participants dans le domaine de la synthèse d’images) a été in-troduite dans le domaine de la synthèse d’images par Rushmeier et Torrance [RT87]. Il s’agit de la méthode zonale, qui consiste à subdiviser non seulement les surfaces, mais également les volumes, en zones recevant et émettant une énergie uniforme en tout point. L’algorithme reste inchangé, avec une hypothèse supplémentaire : le milieu diffuse la lumière de façon isotrope.
Aux échanges énergétiques entre deux facettes Ai et Aj, on ajoute les échanges entre deux
élé-ments de volume, ou voxels, Vpet Vq, et entre une facette Ai et un voxel Vp. Chacun de ces trois
types d’échange donne lieu à une redéfinition du facteur de forme :
FAiAj = Z Ai Z Aj τij cos θi cos θj π d2 ij vijdAidAj (3.16a) FVpVq = Z Vp Z Vq τpq 1 π d2 pq vpqdVpdVq (3.16b) FAiVp = Z Ai Z Vp τip cos θi π d2 ip vipdAidVp (3.16c)
3.3. Approche de type radiosité
où τ est la densité optique du milieu séparant les zones considérées :
τ (d) = e−R
d
0 K(x) d x
(3.17)
K(x) indiquant les variations spatiales du coefficient d’extinction du milieu. La phase de rendu
doit également être adaptée, afin de tenir compte du milieu. Ainsi, on utilise toujours un lancer de rayon en chaque pixel de l’image, mais ce rayon doit intègrer l’énergie des voxels traversés en plus de la luminance de la facette vue, et tenir compte de l’atténuation en fonction de la distance.
Cette méthode a été implémentée par Bresciani et Rossi [BR93] pour être validée par des mesures en brouillard artificiel. Ils concluent qu’il est possible d’utiliser la méthode zonale pour étudier des systèmes d’éclairage public dans le brouillard, sans toutefois donner d’exemple d’application.
3.3.3 Extension aux matériaux et aux milieux anisotropes
L’hypothèse d’isotropie de la réflexion et de la diffusion constitue une simplification im-portante, et souvent insatisfaisante. De nombreuses techniques ont été tentées pour lever cette hypothèse, et pouvoir prendre en compte des propriétés photométriques plus générales, en par-ticulier pour les matériaux, mais également pour les milieux dispersés [PPS97], généralement au prix d’une extrême complexité. On parle alors de radiosité généralisée.
Une première méthode, dite des ordonnées discrètes [Lan94], consiste à étendre la discré-tisation des positions de l’espace à celle des directions pour représenter la distribution direc-tionnelle d’énergie lumineuse échangée par les divers éléments surfaciques et volumiques de la scène. On peut également utiliser des fonctions telles que les harmoniques sphériques [BT92] pour représenter ces distributions. Le calcul des échanges lumineux est alors effectué non seule-ment pour chaque éléseule-ment de surface et de volume, mais aussi pour chaque éléseule-ment d’angle solide [Whi93]. Max [Max94] a proposé une approximation de cette méthode permettant de li-miter les artefacts (effet « rayonnant ») induits par la discrétisation des directions, en effectuant les échanges lumineux de manière progressive par propagation de l’énergie de chaque zone vers son voisinnage.
3.3.4 Limites et solutions
3.3.4.1 Discrétisation de la scène
Le premier problème soulevé par l’algorithme de radiosité est lié au maillage de la scène en éléments finis. La qualité du résultat des calculs est directement affectée par la qualité de ce découpage, qui est pratiquement impossible à réaliser de manière efficace sans préjuger de l’illumination finale de la scène. L’obtention de résultats précis impose donc un maillage fin de l’ensemble de la scène. Une façon de se ramener à un découpage plus léger consiste à utiliser des méthodes dites d’ordre supérieur : au lieu de représenter la distribution des luminances sur une zone en la découpant en éléments de radiosité constante, ces méthodes utilisent des bases de fonctions telles que les ondelettes [Chi92], qui permettent de limiter le nombres de coefficients
dans les zones de faible variation. Mais la méthode la plus efficace est la radiosité hiérarchique : les zones impliquées dans un échange lumineux ne sont découpées que si le facteur de forme dépasse une valeur seuil, ce qui indique qu’une quantité importante d’énergie est échangée, qu’il est probablement utile de détailler. Il est possible de coupler ces deux méthodes.
3.3.4.2 Évaluation des facteurs de forme
L’évaluation des facteurs de forme constitue la deuxième difficulté majeure dans l’algo-rithme de radiosité, principalement à cause des problèmes d’occultation partielle. Des expres-sions analytiques sont disponibles dans certains cas particuliers, mais en général, des approxi-mations sont nécessaires. Le plus simple est de considérer que le facteur de forme est constant en tout point de chaque facette, et de procéder à un unique calcul au centre. Néanmoins, à part dans le cas de géométries simples, l’obtention de résultats vraiment précis nécessite l’application de techniques de Monte Carlo.
3.3.4.3 Complexité de mise en œuvre
En fait, l’algorithme de radiosité est vraiment efficace dans les conditions pour lesquelles il a été conçu, c’est-à-dire l’éclairage global dans une scène diffuse sans milieu participant. L’exten-sion aux matériaux non-diffus est possible, mais la prise en compte du phénomène de diffuL’exten-sion anisotrope et multiple donne lieu à des solutions extrêmement coûteuses en structure de don-nées et en temps de calcul, du fait de la discrétisation fine – celle du milieu de propagation, en particulier – nécessitée par l’approche par éléments finis. L’approche hiérarchique permet de compenser en partie cette accroissement de la complexité, mais nécessite des procédures de décision heuristiques (pour savoir s’il faut subdiviser les zones) délicates à mettre au point d’abord, et à mettre en œuvre ensuite. Pour finir, le principal attrait de cet algorithme, qui est de produire des résultats indépendants du point de vue, est fortement amoindri par le fait que la prise en compte d’un milieu participant, même simpliste du point de vue photométrique, impose des techniques de rendu évoluées faisant appel au tracé de rayons pour générer des images.