Approche stochastique

Dans un probl`eme physique, il est souvent utile de repr´esenter des observa- tions en fonction d’entr´ees bien connues. En r`egle g´en´erale, ces observations se pr´esentent de mani`ere non-lin´eaire. L’utilisation d’une approche stochastique vise `a fournir un lien entre les variables d’entr´ee et les observables (terme g´en´erique utilis´e par les statisticiens pour d´efinir les sorties). Dans ce genre d’approche, les entr´ees et les observables sont consid´er´ees comme des variables al´eatoires. L’objectif du mod`ele stochastique sera de d´eterminer les lois de pro- babilit´e des observables `a partir de celles des entr´ees.

CHAPITRE 1. PROBL ´EMATIQUE ET ´ETAT DE L’ART 24

Simulation de Monte Carlo

La m´ethode de Monte Carlo (MC) d´esigne toute m´ethode visant `a calculer une valeur num´erique en utilisant des proc´ed´es al´eatoires ou des techniques probabilistes. Elle a ´et´e introduite en 1947 par Nicholas Metropolis [55] et pu- bli´ee pour la premi`ere fois lors d’un article paru en 1949 [56]. Une application de la m´ethode MC dans notre probl`eme consiste `a lancer une simulation num´e- rique pour toutes les positions de l’objet d’´etude dans l’espace. Les r´esultats pour chaque configuration sont r´epertori´es afin d’´etablir la loi de probabilit´e liant la valeurs des champs EM en fonction de la position. Souvent utilis´ee comme r´ef´erence lors d’´etude en variabilit´e, cette approche apporte souplesse et pr´ecision.

Dans [57], l’auteur propose l’utilisation d’une simulation de Monte Carlo afin d’´etudier l’impact de lumi`eres dont les longueurs d’onde sont comprises entre 600 et 1000 nm sur des tissus humains pour le traitement de cancer de la peau (traitement phototh´erapie dynamique). La simulation de Monte Carlo d´emontre qu’il existe une relation entre p´en´etration des ondes et les propri´et´es des tissus. L’avantage de ce proc´ed´e r´eside dans sa possibilit´e de simuler toutes les configurations possibles, sans se soucier de la complexit´e du mod`ele ou de la g´eom´etrie de la source. Tous les r´esultats sont r´ecup´er´es, ce qui permet de faire la meilleure conjecture possible. Cependant, l’´etude a ´et´e tr`es simpli- fi´ee notamment sur le choix des param`etres (variables d’entr´ee). L’auteur a volontairement limit´e ce choix et stipule clairement que le temps d’´etude aug- mente rapidement avec le nombre de param`etres consid´er´es. Ces conclusions se retrouvent dans des ´etudes portant sur la transmission d’antenne [58, 59]. Il apparait clairement que l’usage d’une telle approche dans notre contexte serait trop coˆuteuse en temps de calcul.

Collocation stochastique

Les collocations stochastiques (CS) sont des m´ethodes probabilistes employ´ees en variabilit´e afin de d´eterminer la moyenne et la variance de l’observable. Cette m´ethode prend en compte des incertitudes en mesurant l’impact de dif- f´erents al´eas d’entr´ee (ou variables al´eatoires) sur les observables de sorties.

`

treindre l’´etude aux entr´ees les plus influentes sur les observables. Le nombre de simulations num´eriques requis est donc r´eduit tout en conservant un r´e- sultat pr´ecis, simple et efficace. Cette approche permet une convergence des r´esultats beaucoup plus rapide que la m´ethode de simulation de Monte Carlo. Cependant, son efficacit´e d´epend du nombre de variables al´eatoires pr´esent en entr´ee. Elle diminue lorsque celui-ci augmente. De surcroˆıt, il est important de les identifier efficacement en ne gardant que celles qui ont le plus d’influence sur la sortie.

Dans l’´etude propos´ee dans [60], les m´ethodes de collocation stochastique sont utilis´ees afin de d´eterminer l’influence de l’angle d’incidence d’une onde lors du calcul du DAS sur un tissu humain. Une onde plane de fr´equence 900 MHz, vient ´eclairer un mod`ele homog`ene d’une tˆete provenant du fantˆome SAM8. Les variables d’entr´ee du mod`ele correspondent `a deux angles de pro- pagation de l’onde tandis que les sorties correspondent `a la moyenne et la variance du DAS 10 g. Le DAS est obtenu grˆace `a la FDTD et une analyse de sensibilit´e globale est ainsi propos´ee. Ces m´ethodes ont deux avantages : elles sont non intrusives et ne modifient pas la m´ethode num´erique utilis´ee. En outre, elles sont faciles `a mettre en place. N´eanmoins, la CS ne propose que la moyenne et la variance de l’observable, ce qui est insuffisant pour notre cas de figure. En effet, nous souhaitons obtenir la valeur pr´ecise du champ en un point pr´ecis de l’espace. Et comme toute approche statistique, elle n´eces- site la multiplication de simulations num´eriques afin de pouvoir r´ecup´erer les informations n´ecessaires `a sa mise en place.

Chaos Polynomial

Le chaos polynomial (CP) est une technique statistique introduite par Wiener en 1938 et utilis´ee pour l’´etude de la variabilit´e d’un observable. Tout comme les m´ethodes CS, le nombre de simulations num´eriques est r´eduit aux entr´ees les plus influentes. Cependant, la particularit´e du CP r´eside dans sa capacit´e `

a fournir la densit´e de probabilit´e (PDF9) de la sortie et `a offrir une analyse approfondie, dite “analyse de sensibilit´e”, afin de hi´erarchiser l’influence des param`etres d’entr´ees sur la variabilit´e de la sortie [61] .

8. Sp´ecifique Anthropomorphephique Mannequin 9. Probability Density Function

CHAPITRE 1. PROBL ´EMATIQUE ET ´ETAT DE L’ART 26

Le chaos polynomial a fait ses preuves en dosim´etrie num´erique pour la caract´erisation de l’exposition d’un mod`ele de tˆete humaine en pr´esence d’un t´el´ephone portable [62]. L’auteur propose la construction d’un mod`ele statis- tique bas´ee sur la CP pouvant calculer le DAS sous diff´erents angles d’incli- naison du t´el´ephone. Les distributions statistiques du DAS 10g et du DAS 1g dans le cerveau sont d´etermin´ees grˆace `a des simulations FDTD dans diff´e- rentes configurations. Cet article pr´esente des r´esultats sur la pr´ecision du DAS en comparant ceux obtenus par la FDTD et ceux obtenus par le CP. Leur pr´e- cision d´epend principalement du nombre de point de configuration s´electionn´e en entr´ee. Une erreur de moins d’1%est obtenue `a partir de 50 configurations soit 50 simulations FDTD `a lancer. L’avantage de cette approche est qu’elle propose une m´ethode offrant un r´esultat rapide et pr´ecis. Cependant, cette pr´ecision est d´ependante du nombre de simulations lanc´ees. Cette multipli- cation de simulations est donc toujours un frein pour la r´esolution de notre probl`eme.

Conclusion

Ainsi, malgr´e tous les progr`es effectu´es, aussi bien sur le plan de l’optimi- sation des mod`eles math´ematiques que sur le plan de l’´evolution informatique (vitesse des machines), les m´ethodes statistiques ont pour inconv´enient com- mun de se heurter `a un probl`eme de temps de calcul. En effet, la r´ecolte d’informations indispensables `a l’application d’une telle approche n´ecessite de r´ealiser un grand nombre de simulations num´eriques. Il n’est donc pas int´eres- sant d’employer ce genre d’approche quand le calcul ´electromagn´etique d’une configuration requiert un temps de calcul tr`es important.

1.4.3.2 Approche bas´ee sur la construction d’un mod`ele de