3.3 Approche statistique des écoulements gaz-particule
Dans ce qui suit, le mot particule désignera des entités uides appartenant à la phase dispersée et aussi à la phase continue. Lorsqu'il s'agit de la phase dispersée, on parlera de particules discrètes (les gouttes) et de particules uides lorsqu'il sera question de la phase continue (le gaz). Une description probabiliste des écoulements est adoptée où les deux phases sont considérées comme un ensemble de particules uides et de particules discrètes "s'interpénétrant" (au sens du modèle à deux uides).
3.3.1 Vecteur d'état
L'écoulement diphasique étudié est constitué d'une phase continue, le gaz, identi ée également comme la phase uide dans laquelle évoluent des éléments discrets, les gouttes, consituant la phase dispersée.
La phase uide est décrite comme étant composée de particules uides. Une particule uide est un petit élément de uide dont l'échelle de longueur caractéristique est inférieure à l'échelle de Kolmogorov mais largement supérieure au libre parcours moyen moléculaire. Une particule uide a une masse m, un volume V et une vitesse ⃗U égale à la valeur du champ de vitesse eulérien à la position de la particule uide, ⃗U(t) = ⃗U(t, ⃗x). Les gouttes sont assimilées à des particules sphériques, toutes identiques (même diamètre) et de masse volumique constante.
Dans le cadre d'une modélisation statistique d'un écoulement diphasique dispersé, le mé- lange gaz/gouttes peut être décrit par un seul vecteur d'état à deux particules : une particule uide et une particule discrète [52]. Ce vecteur d'état regroupe l'ensemble des coordonnées de phases internes de chaque particule, uide et discrète, qui sont indépen- dantes les uns des autres et regroupent l'ensemble des paramètres représentatifs de l'état de chaque particule à l'instant t. Dans le cadre d'une description statistique eulérienne, les coordonnées de phases internes sont distinguées des coordonnées de phases externes qui correspondent aux coordonnées eulériennes du centre de chaque particule. Dans cette étude, l'objectif est de modéliser les interactions entre la phase dispersée et le mouvement uide turbulent, en revanche les interactions de type collisions entre deux particules dis- crètes ne sont pas prises en compte. Les gouttes étant supposées avoir toutes la même taille, on ne s'intéresse donc qu'à la modélisation de la polydispersion en vitesse. Trois coordonnées de phases internes sont alors retenues : la vitesse de la particule discrète ⃗vp, la
vitesse du uide vu ⃗vs1, qui sont des coordonnées de phases relatives à la particule discrète
et la vitesse de la particule uide ⃗vf. Dans l'espace des phases, ce vecteur d'état s'écrit,
⃗
Z = (⃗vf, ⃗vp, ⃗vs) (3.1)
L'espace des phases est distingué de l'espace physique dans lequel ⃗Z = (⃗uf, ⃗up, ⃗us).
L'introduction à la fois de la vitesse du uide vu ⃗vs et de la vitesse du uide ⃗vf en tant
que coordonnées de phases internes est justi ée puisque, en raison de l'inertie des parti- cules et des eets de croisement de trajectoire, ces deux vitesses possèdent des statistiques diérentes. De plus, ces deux vitesses ne correspondent pas aux mêmes trajectoires : ⃗vf
est la vitesse du uide le long de la trajectoire d'une particule uide ⃗xf tandis que ⃗vs est
la vitesse du uide le long de la trajectoire d'une particule discrète ⃗xp. A n de prendre en
compte les interactions particule uide-particule discrète, la présence de ces deux vitesses du uide, qui sont traitées comme deux variables indépendantes, est nécessaire [52,76].
Le mélange uide-particule est entièrement décrit lorsqu'il est possible de dé nir à chaque instant l'ensemble des états de toutes les particules ( uides et discrètes) de la population. Pour cela, la description statistique envisagée fait appel à des fonctions de distributions eulériennes.
3.3.2 Fonctions de distributions eulériennes
A n de caractériser la polydispersion en vitesse, une fonction de distribution jointe2
ayant pour coordonnées de phase ( ⃗vf, ⃗vp, ⃗vs) est introduite :
pEf p( ⃗vf, ⃗vp, ⃗vs; ⃗xf, ⃗xp, t) (3.3)
où pE
f p( ⃗vf, ⃗vp, ⃗vs; ⃗xf, ⃗xp, t) d ⃗vfd ⃗vpd ⃗vsest la probabilité de trouver, à un instant t et en deux
points xés de l'espace ⃗xf et ⃗xp, deux particules de vitesses respectives ⃗vf et ⃗vp, ⃗vs étant
la vitesse du gaz vue par la particule centrée en ⃗xp.
Fonctions de distributions marginales
pEf ( ⃗vf; ⃗xf, t) = ∫ pEf p( ⃗vf, ⃗vp, ⃗vs; ⃗xf, ⃗xp, t) d ⃗xpd ⃗vpd ⃗vs (3.4) pEp ( ⃗vp, ⃗vs; ⃗xp, t) = ∫ pEf p( ⃗vf, ⃗vp, ⃗vs; ⃗xf, ⃗xp, t) d ⃗xfd ⃗vf (3.5) pE
f et pEp sont des fonctions de distribution dites marginales de pEf p. Elles permettent
d'avoir accès séparément aux informations de la phase uide et de la phase dispersée, respectivement. Notamment, ∫ pEf ( ⃗vf; ⃗x, t) d ⃗vf=αˆ f(⃗x, t) (3.6) ∫ pEp ( ⃗vp, ⃗vs; ⃗x, t) d ⃗vpd ⃗vs=αˆ p(⃗x, t) (3.7) Avec, αf(⃗x, t) + αp(⃗x, t) = 1 (3.8) avec 0 ≤ αf(⃗x, t)≤ 1 et 0 ≤ αp(⃗x, t)≤ 1.
αf(⃗x, t) et αp(⃗x, t)représentent la probabilité de trouver la phase uide continue, res-
pectivement la phase dispersée, au temps t et à la position ⃗x. Fonctions de distribution massiques
2. pE
f p(⃗vf, ⃗vp, ⃗vs; ⃗xf, ⃗xp, t)n'est pas une fonction de densité de probabilité dans le sens où ∫
ΩE
pEf p(⃗vf, ⃗vp, ⃗vs; ⃗xf, ⃗xp, t) d⃗vfd⃗vpd⃗vs≤ 1 (3.2) Où ΩE représente l'ensemble des états possibles dans l'espace des phases. En eet, il n'est pas toujours possible de trouver, avec une probabilité égale à 1, à un instant t et à deux positions diérentes, une particule uide et une particule discrète dans un état donné.
3.3. Approche statistique des écoulements gaz-particule 31 A n de décrire complètement l'état des particules, uide et discrètes, une fonction de distribution de masse est introduite pour chaque phase :
FfE( ⃗vf; ⃗x, t) ˆ=ρfpEf ( ⃗vf; ⃗x, t) (3.9)
FpE( ⃗vp, ⃗vs; ⃗x, t) ˆ=ρppEp ( ⃗vp, ⃗vs; ⃗x, t) (3.10) 3.3.3 Équation de transport de Fokker-Planck
La fonction de distribution jointe pE
f pvéri e une équation de Fokker-Planck, également
véri ée par chacune des fonctions de distribution de masse eulérienne FE
f et FpE (Minier
et Peirano [52]). Sous les hypothèses dé nie au 3.2, cette équation de transport s'écrit de manière générale dans l'espace des phases :
∂pEf p ∂t + vf,i ∂pEf p ∂xf,i + vp,i ∂pEf p ∂xp,i =− ∂ ∂vf,i [
(⟨Af,i|⃗vf⟩ + ⟨Ap→f,i|⃗vf⟩) pEf p
] − ∂ ∂vp,i [ ⟨Ap,i|⃗vp, ⃗vs⟩ pEf p ] − ∂ ∂vs,i [
(⟨As,i|⃗vp, ⃗vs⟩ + ⟨Ap→s,i|⃗vp, ⃗vs⟩) pEf p
] +1 2 ∂2 ∂vf,i∂vf,j ((BfBfT)ijpEf p) + 1 2 ∂2 ∂vs,i∂vs,j ((BsBsT)ijpEf p) (3.11) Dans l'équation (3.11) :
⟨·|⃗vf⟩ et ⟨·|⃗vp, ⃗vs⟩ sont des moyennes conditionnelles. Ces termes représente la moyenne
d'ensemble réalisée sur un grand nombre de particules et conditionnée par le fait que pour chaque particule intervenant dans la moyenne les variables ⃗up et ⃗us, pour la
phase dispersée, et ⃗uf pour la phase uide doivent être respectivement égales à ⃗vp,
⃗vs et ⃗vf.
les termes Af,i, Ap,i, As,isont les composantes des diérents vecteurs accélération.
les termes Ap→f,i et Ap→s,i correspondent aux termes de couplage inverse, ils modé-
lisent la force exercée par les particules sur la phase uide.
les termes de la dernière ligne sont les termes dits de Fokker-Planck, ils résultent de la modélisation des incréments de vitesse du uide et du uide vu avec une équation diérentielle stochastique de Langevin (Minier et Peirano [52], Tanière [82]).
⃗
B = Bij est un tenseur symétrique d'ordre 2 et représente une matrice de diusion.
BT
ij est la matrice transposée.
Si on enlève les termes Fokker-Planck, on retrouve une équation de Liouville classique (Minier et Peirano [52]).
A n d'alléger les notations, les termes de moyennes conditionnelles ⟨Ak|⃗vk⟩ seront pré-